從“紙上數學”到“指上數學”
——淺析小學數學幾何概念“非紙筆”練習的設計與實施

◎丁新顏 （南昌師范學院）

在小學數學課堂教學中，概念教學是重要的組成部分，概念的理解是學生應用能力和邏輯思維養成的基礎。本文重點就如何提升學生的空間想象能力進行研究，提出了一些方法，僅供參考。

一、現狀分析

“小學生空間想象能力普遍比較弱”這是教學幾何概念時數學老師普遍遇到的現實問題。究其原因，筆者發現在教學中存在以下問題；

幾何概念學習方式單一。很多教師在教學幾何概念時強調公式的記憶和背誦，不注重公式的推導，不重視圖形之間的轉化，學生的學習方式只是單一的看、聽，而缺乏動手操作、驗證感悟，致使學生對幾何概念理解浮于淺表層，沒有從中獲得豐富的發展。

幾何概念練習形式單一。練習基本上是教材上的，或者是在配套習題冊中通過筆頭在紙上完成的題目。一般新課學習了什么知識，做的練習就是筆頭解決相應的問題，學生缺乏直觀體驗，空間觀念和思維能力很難得到提升。

幾何概念與實際生活問題的連接點單一。當學生學習了一定的幾何知識，教師請學生解決的是書本上的練習題。然而，書本中呈現的實際問題涉及面很窄，真正生活中，孩子缺乏用數學知識解決實際問題的經歷，甚至有學生誤以為數學學習的目的就是為了做題考試。

這些問題的存在，導致幾何概念教學中教師的教和學生的學常常處于“紙上談兵”的狀態，無法很好地達成幾何教學的主要目標——積累幾何活動經驗，發展空間觀念，感知幾何推理的魅力，體會幾何的美。

二、研究意義及方法

瑞士著名學者皮亞杰曾說，空間觀念的形成不像拍照，兒童要想建立空間觀念，必須有動手做的過程。然而由于教材受呈現形式的制約，出現的練習基本以紙筆練習為主，動手操作類的練習非常少，因此小學數學幾何概念的“非紙筆”練習的開發迫在眉睫。

1.梳理小學數學幾何概念，厘清幾何概念間的關系

為了幫助學生獲得理解幾何概念的路徑，豐富直觀體驗，積累一定的經驗。首先要對于整個小學階段的幾何概念教學進行梳理，厘清知識之間、研究方法之間的關系，便于設計結合教學內容、遵循課程標準的非紙筆練習。下面是人教版12冊教材中幾何教學內容的梳理。

一年級上冊1.認識圖形（一）立體圖形 一年級下冊1.認識圖形（二）平面圖形的認識、平面圖形與立體圖形的關系二年級上冊1.角的初步認識2.觀察物體（一）二年級下冊1.圖形的運動（一）；軸對稱圖形、平移現象、旋轉現象2.活動課；通過平移、旋轉設計圖案三年級上冊1.長方形和正方形；四邊形的認識、周長的認識、長方形和正方形的周長三年級下冊1.面積；面積和面積單位、長方形、正方形的面積計算、面積單位間的進率四年級上冊1.角的度量2.平行四邊形和梯形；平行與垂直、平行四邊形和梯形3.實踐活動；神奇的莫比烏斯帶四年級下冊1.觀察物體（二）2.三角形；三角形的特征、分類、三角形和四邊形的內角3.圖形的運動（二）軸對稱、平移五年級上冊1.多邊形的面積；平行四邊形、三角形、梯形的面積；組合圖形的面積，不規則圖形的面積五年級下冊1.觀察物體（三）2.長方體和正方體；長方體和正方體的認識、表面積、體積單位間的進率、容積和容積單位3.圖形的運動（三）平移4.探索圖形；立體圖形的涂色問題

續表

從上表可以看出，小學階段，學生是從最常見的立體圖形開始接觸幾何概念，由“體”到“面”，由靜止到運動，其中還貫穿各類圖形間的轉換與應用等，幾何概念知識之間是層層深入、環環相扣、螺旋上升的。

2.設計幾何概念中的“非紙筆”練習，實施幾何概念的深度教學

“兒童的智慧在他們的手指尖上”，新課程理念下，動手實踐、自主探究、合作交流等數學學習活動已經成為學生學習數學的重要方式。在幾何概念教學中設計“非紙筆”練習，有利于實施幾何概念的深度教學。“非紙筆”練習有別于一般的紙筆練習，它是以動手操作的形式對知識進行探究、鞏固和應用。學生是要在觀測、擺拼、畫圖、制作、實驗、社會實踐等多種操作活動中，逐漸形成、理解鮮活的幾何概念，并在活動中慢慢體會幾何的基本知識所蘊含的多種數學思想；演繹化歸思想、轉化思想、幾何變換思想、數形結合思想、分類辨別思想等。

三、研究“非紙筆”練習在不同課程類型中的實施

1. 在新授課中增加直觀體驗，幫助概念理解

在幾何概念的新授課中，孩子能否清晰地建立概念，對于以后的學習至關重要。在這樣的“種子”課中，如果能設計一個層次分明的操作活動，一方面讓不同基礎的學生在活動中都有不同層次的收獲和提升，另一方面使學生對概念的理解在層層遞進的操作實踐中逐漸加深。

案例1：角的初步認識

活動要求及成果：

（1）在用規則圖形中找出角或折出角。

（2）用不規則圖形折出角。

（3）用小棒拼出一個角。

（4）制作一個活動角。

對于二年級的學生來說，角的概念比較抽象，學生接受起來比較困難。為了幫助學生更好地理解角的概念，筆者設計了四個階梯式操作練習；分別在用規則、不規則的紙折出一個角，幫助孩子理解圖形之間的轉化和內在的聯系；用小棒搭一個角，進一步體會，角有一個頂點和兩條直直的邊；通過制作一個活動角，加深角的大小與邊的張合有關，而與邊的長短無關。通過四次創造角的活動，將觀察、操作、演示、討論等方法貫穿于其中，引導學生在感知的基礎上加以抽象概括，充分遵循了從感知經表象到概念這一認知規律，讓學生在大量的實踐活動中掌握知識，形成能力。把外在可見和內在不可見的“角”深深地印在大腦里面。

2.在練習課中動手操作，以動促思

七巧板是古老的中國傳統益智玩具，好處與用處多不勝數，它能夠把對實物與形態之間的橋梁連接起來，在培養孩子的觀察力、想象力、形狀分析及創意邏輯上都有巨大的發展空間。一年級下冊《認識圖形》（二）這個單元中，學生在認識了長方形、正方形、平行四邊形、三角形等平面圖形后，在練習課中要給足學生操作活動的時間，用七巧板擺拼圖形，以活動促進學生思維。

案例2：平面圖形的拼組

活動要求及成果：

（1）用七巧板中部分圖形，拼出認識的平面圖形。

（2）用七巧板，拼自己喜歡的圖形并給它命名。

（3）用七巧板的七塊板，拼指定的平面圖形。

學生在用七巧板中部分圖形拼出不同大小、不同形狀的三角形時，學生的觀察力和記憶力被充分調動起來；在用七巧板拼出自己喜歡圖形并對其命名的練習時，學生的興趣被調動起來了，他們的空間想象力和創造力，隨著板塊的擺放被激發出來；在完成指定圖形拼擺的過程中，學生進一步鞏固了平面幾何圖形的特征，體會圖形之間的變換思想，發展了空間觀念。

3.在綜合與實踐課中感受數學奧秘，拓展數學視野

教材中的綜合與實踐課與普通的數學課相比，動手操作性的活動更為豐富，它是在已有知識體驗的基礎上，主動應用知識解決問題的學習活動，因此更具有綜合性、實踐性、開放性和自主性。《神奇的莫比烏斯帶》是人教版教材四年級上冊的一節綜合與實踐活動課，這個內容教學參考幾乎沒有，教學建議也比較簡略，只是對莫比烏斯帶的用途做了簡單的介紹。莫比烏斯帶屬于拓撲學的內容，教材以數學游戲的形式，創設了一系列操作實踐活動，鼓勵學生在活動中觀察、猜想、比較、驗證、思考、發現，從中體會到數學的魅力與神奇，開闊學生數學思維。

案例3：神奇的莫比烏斯帶

活動要求及成果：

（1）先把一個長方形紙帶變成有兩個面、兩條邊的圖形，再把一個長方形紙帶變成只有一個面、一條邊的圖形。

（2）沿著莫比烏斯帶的二分之一處剪開并觀察它的變化與特征。

（3）沿著莫比烏斯帶的三分之一處剪開并觀察它的變化與特征。

（4）沿著莫比烏斯帶的四分之一處剪開并觀察它的變化與特征，猜想沿五分之一剪開后的變化，并找出規律。

研究單

為了讓學生體悟到莫比烏斯帶的神奇，本節活動課設定了三個學習目標；一是動手操作，經歷探索和認識莫比烏斯帶的過程，積累活動經驗；二是在猜想、驗證中體會莫比烏斯帶的特征；三是在活動中感受經歷猜想與探索的過程，感受莫比烏斯帶的神奇變化，感受數學奧秘，拓展數學視野。

四、幾何概念教學中設計“非紙筆”練習的思考

雖然數學實踐作業在小學階段目前只是彈性要求，沒有制定持續實施的計劃，對怎樣才能達到提升學生幾何思維能力、系統開展幾何概念實踐作業還缺乏更為科學、系統的規劃。然而在教育發展的新時代，基于當前對雙減政策以及對新課標的解讀、貫徹和實際教學的需求，結合幾何教學的內容，需要為學生設計開發更多的具有趣味性、綜合性和開放性的“非紙筆”練習。在幾何概念教學設計“非紙化”練習的過程中，有以下幾點思考；

1.非紙筆練習要有連續性，實現常態化

幾何概念教學中，“非紙筆”練習的設計要根據教材的編排，遵循各年級、各單元的課程目標，結合課時安排，在內容上固定，方法上年級協同，形成系列的非紙筆練習。讓教師在教學中能清晰的安排每個學期“非紙筆”練習。

2.非紙筆練習要規范活動方案，深化課堂教學

教師需要對于“非紙筆”化練習的設計進行課堂教學的研討，通過研討，對“非紙筆”化練習的設計的目標、內容、形式進行探究，在不斷的探究中積累經驗，形成比較完善的設計方案。在教學中開展非紙筆練習，教師按照活動意圖、材料準備、實施步驟、效果反思等幾個具體步驟來實施。只有經歷嘗試、反思、調整、再嘗試、再反思、再調整的過程，才能實現深化概念教學。

3.非紙筆練習要貼合生活實際，實現學以致用

學生學習的幾何知識，絕不僅僅是為了解答書本上的練習題，而是要利用所學的知識解決一些生活中的問題，學以致用。教師根據各年級的目標，設計在生活中運用的練習，讓學生感受數學和生活是緊密聯系的，數學學習是充滿樂趣的。例如，在學習了長方體和正方體的表面積之后，我們專門研究包裝問題。如對4個同樣長方體盒子進行包裝，有幾種方法？怎樣包裝最節省包裝紙？學生在自行研究后交流；同樣是4個長方體盒子，為什么最節省的不是同一種疊法呢？這些疊好盒子的表面積與疊好后的長、寬、高有著怎樣聯系？

在研究完這個問題后，學生就會把書本上的長方體表面積問題與生活中的包裝問題聯系在一起了，去關注生活中的包裝除了關注美觀、方便外，還要考慮包裝紙即表面積的節省問題等。

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，獲取知識非要真切的體驗不可，只有讓學生在親身實踐中去體驗所學的知識，才能達到“活學活用”的效果。通過“非紙筆”練習的設計與實施，不僅讓學生對幾何概念新題型的適應性大大增強，而且發展學生的數學能力，提高了核心素養。這種富有現實性、有意義的練習形式，對培養孩子的探索精神、實踐能力以及孩子的個性發展都是很有益處的，這樣的嘗試給學生了一片嶄新、遼闊的發展空間，放飛學生的想象力，也激發學生的潛能。※