基于最小均方和遞歸最小二乘的自適應濾波器設計

劉耀文

江西理工大學信息工程學院 江西 贛州 341000

引言

由于現代芯片的工藝提高，現如今計算機的計算速度獲得了空前的提高[1]。本文使用自適應數字濾波器實現語音信號的降噪處理，濾波器的設計數字濾波器總的來說可以分兩大類：經典濾波器和現代濾波器，經典濾波器需要事先提取信號的統計特性[2]，例如經典的維納濾波器以及經過改良的卡爾曼濾波器，對于已知統計特性的語音信號和噪聲信號可以做到不錯的濾波性能，但是由于信道和噪聲的統計特征往往是較難于已知的，或者是復雜多變的，因此，針對某些變參數信道，經典濾波器的穩定性就會大幅降低，為克服這一困難，設計了自適應濾波器。自適應濾波器能夠根據信道的統計特征自我學習，通過自適應方法自主的改變濾波器的權重系數[3]，從而獲得最佳的信道濾波性能，并實現對信號和噪聲特征的跟蹤，從而能夠滿足各種信道條件，因此自適應濾波器具備了強大的選擇性能，以及跟蹤能力。

1 自適應濾波器的基本原理與結構

1.1 LMS最小均方誤差自適應濾波算法

本文采用定步長LMS算法。本文中采用的濾波器為橫向有限沖擊響應的維納自適應濾波器，假設輸入信號與期望信號均為平穩隨機信號，其誤差函數為橫向濾波器的二次函數，也即其函數圖像是一條向中間下凹的拋物面線，故必具有誤差較小值的點，該點為最小均方誤差的最優解[4]。

若對其求梯度，可以得出其梯度函數為：

當梯度等于零的時候，可以解出最小均方、差的最優濾波器參數解為w*=R-1P。

雖然在理論推導中可以知道最小均方誤差算法存在理論最優解，但是這個理論算法是難以實現的，因為輸入信號的自相關矩陣是難以求得的，即使可以通過自相關函數進行求解，而且其矩陣計算量過大，所以如果采用公式求解，對于信號的濾波是無法做到實時處理的，目前最廣泛的應用為梯度下降法，利用梯度下降法的思想，對均方誤差求解梯度，再根據梯度的反方向進行權重更新，以求解均方誤差的最小點，其更新公式為[5]：

其中需要計算自相關矩陣的特征值，為了避免計算特征值，一般采用計算自相關矩陣的跡來表示特征值，最小均方誤差存在以下幾種缺點，由于計算量大，迭代次數多，所以其收斂速度較慢。二是要求不同時刻的輸入信號是線性無關的，如果其統計特性存在相關性，則前一次迭代產生的噪聲將影響到下一次迭代，造成誤差的反復傳播，收斂速度進一步減緩[6]。

1.2 RLS遞歸最小二乘法自適應濾波算法

最小二乘算法則采用了確定性思想，該算法主要探討如何通過有限個觀測數據來尋求濾波器的最優解，即求橫向濾波器的最優權重，首先介紹遞歸運算算法求解思想，該算法將誤差函數的均方達到最小值[7]。

遞歸最小二乘法思想是使用了開始到目前為止所有誤差的加權均方誤差，所以對非平穩信號也有不錯的降噪效果，同時具備快速的收斂速度，同時最小二乘法是一種數學優化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據，并使得這些求得的數據與實際數據之間誤差的平方和為最小。但是最小二乘有個問題，就是前面計算出最優估計量后，當有新的數據進來時候，又要重新計算最優估計量。數據量比較大的時候，計算量會變得特別大。

1.3 語音評價方法

客觀評價是指用語音信號某個參數系統的去表征語音通過降噪系統后的失真程度，用此來評估降噪系統的性能指標。

1.3.1 信噪比。信噪比是指信號功率和噪聲功率占比的一種度量方式，對于總體來說可以初步判斷一個語音信號的質量問題，信噪比越高說明一個語音信號的信號功率占比越高，主觀表現就是有用信號功率越高，其語音的可懂性也就越高，一般來說一個安靜環境下的錄音信噪比大概在40-80dB左右。

1.3.2 感知語音質量評估測度。感知語音質量評估測度常用于語音質量的評估，由于其具備良好的普適性，很多場景都會使用，首先將原始信號和含有噪聲的失真語音信號經過預處理，將其歸一化處理后在時域上進行對齊，消除時延帶來的誤差，對齊后經過聽覺變換獲得信號的幅值大小一同輸入到差分器中進行擾動處理，計算出語音信號在時域和頻域上的MOS分數。

由于存在各種不同的語音評價方式，對于一個語音信號要結合多種語音評價方法進行質量評估，對于感知語音質量評估測度來說可以有效地體現出語音信號的實際聽感，在考慮到信噪比的情況下可以評估出實際信號的主觀感受，下文試驗也可以證明對于一個信號來說信噪比和PESQ分數并不是處于正比關系，所以對于一個自適應濾波器來說要綜合考慮信噪比和PESQ分數來考量一個濾波器。

2 MATLAB仿真和實驗結果

2.1 實驗分析思路

首先設計好的通用LMS和RLS算法的自適應維納濾波器，改變濾波器階數，步長，噪聲類別來尋找降性能最佳的濾波器參數（濾波器階數，步長）。通過最大似然比距離、信噪比、PESQ語音測評、收斂速度來評價降噪性能[8]。再設計實驗驗證學習好某一噪聲的最佳濾波器參數對其他噪聲的適應能力。

2.2 對高斯噪聲的降噪性能分析

原始語音信號受到高斯噪聲的污染之后再通過LMS算法實現的自適應濾波器，經過降噪后其輸出信噪比、PESQ評價分數、最大似然比距離如表1所示，經過自適應LMS濾波器后噪聲基本被濾除，輸出信噪比為19.9871，已經滿足了清晰噪聲的信噪比要求，并且其PESQ評價分數近4.0分，已經可以做到輸出噪聲語音質量很好的要求，也可以說明LMS自適應濾波器對高斯噪聲污染的語音信號的降噪效果優于椒鹽噪聲污染的語音信號的降噪效果。

表1 加高斯噪聲語音信號的濾波效果

如表2所示，雖然LMS算法實現的自適應濾波器對一般噪聲有著不錯的降噪性能，但是LMS濾波的收斂速度不夠快，導致語音聽感沒有那么好，在主觀聽感上表現開始的刺耳聲，導致無法提供一個很好的降噪效果，本文采用的收斂速度檢測是用一段平均剩余噪聲小于某一閾值時的最小迭代次數決定的，現在通過實驗可以知道LMS對六種噪聲的收斂速度對比表格如表2表3所示，RLS的收斂速度則有明顯的提高[9]。

表2 LMS對六種噪聲的收斂速度對比

表3 RLS對六種噪聲的收斂速度對比

為了定性的對兩側的濾波性能做出比較，設計以下實驗：使用同一噪聲（高斯噪聲）下，濾波器階數均為7，濾波器步長均為0.008，驗證兩者的濾波性能對比如下表4所示，可以看出RLS算法下的自適應濾波器不僅在收斂速度由于LMS算法下的自適應濾波器，而且其濾波效果也好于LMS算法，經過RLS算法的降噪濾波，其PESQ接近4.5分的高分，已經基本還原了原始語音信號。

表4 兩種算法對高斯噪聲的性能分析

2.3 對小信噪比信號的追蹤效果

上文主要討論了歸一化信號序列和噪聲序列一比一幅值比（功率比）下的對比實現，但是當信號通過遠距離的傳輸，往往輸入到自適應濾波器的原始輸入信號的信噪比非常的小，這個時候的信號可以稱為小功率信號。經過預加重和功率放大其信噪比依然不高，那么上面論證的性能表現無法完全適應于小信噪比情況，下面將討論小信噪比下濾波器參數選擇問題，主要使用輸出信噪比作為參考，對比常規信噪比和小信噪比之間的最佳參數（濾波器階數和濾波器步長），首先需要確定信噪比和主觀聽感之間的關系，定義噪聲幅值是語音信號幅值10倍以上稱為小信噪比信號。

首先在常規信噪比得到的最佳濾波器階數（7）、最佳濾波器步長（0.008）條件下對小信噪比的濾波效果如下表5所示，當噪聲功率的逐漸提高，輸出信噪比逐漸下降，PESQ分數逐漸下降，最大似然比距離逐漸增大，說明當噪聲功率較大時，上文中的濾波器不能做到有效的濾波，根據香農定理可知，信道容量的大小隨著信噪比的下降而降低，當噪聲功率太大時，輸入信號所攜帶的信息將逐漸降低。

表5 常規信噪比參數對小信噪比的適應情況

在小信噪比下，隨著自適應濾波器階數的增加濾波效果顯著提高，到20左右達到濾波效果閾值。

2.3 根據上述實驗提出的參數追尋方法

根據上文的實驗分析，經過自適應濾波器后的輸出信號的信噪比呈現先增長后降低的趨勢，也就是說起信噪比和濾波器階數之間的關系存在唯一最大值，那么濾波器階數沒有多極值情況下的虛假最佳參數，根據這一特性可以實現一個自適應濾波器最佳階數的主動探尋算法，這是非常有意義的，因為語音信號所受噪聲的不同其最佳濾波性能所對應的濾波器階數也是不同的，所以對于濾波器的階數選擇尤為重要，如果可以根據噪聲的不同而自動匹配不同的濾波器階數，則更加具有使用價值。

首先本算法是根據信噪比為度量進行參數反饋隨著迭代次數的增加，信噪比逐漸提高，在濾波器階數為15左右開始趨于平穩，也就是說高斯噪聲在LMS自適應濾波器條件下的最佳濾波器階數為15，進過實驗得出，6種噪聲在自適應迭代得到的最佳濾波器階數如表6所示，可以看出，通過對不同噪聲進行最佳濾波器階數的探尋可以看出，在相同的濾波效果下，指數噪聲需要的濾波器階數最小，只有高斯噪聲的1/4，也可以說明此方法可以找到不同噪聲污染下的語音信號所需要的最佳濾波器階數。

表6 不同噪聲的最佳濾波器參數迭代結果

3 結束語

本文主要就自適應維納濾波器的濾波原理和兩種實現算法，即LMS最小均方誤差算法和RLS遞歸最小二乘法，利用歸一化噪聲和語音信號定量進行各種實驗。

自適應濾波器在信號增強領域有著積極廣泛的作用，可以實現未知環境下對信號進行實時濾波或者增強，相比于傳統的濾波器有著更為強大的濾波效果和適應性，所以成為如今自適應信號處理的熱門研究問題，加上如今計算機計算力的指數提高，研究自適應濾波器的成為一個極其具有使用價值的課題[10]。

本文在參閱了大量數字濾波器的基礎知識情況下，首先介紹了自適應濾波器和卡曼濾波器的優缺點，進一步對LMS和RLS算法實現的自適應濾波器作了深入研究，著重對6種常用噪聲的濾波效果和最佳濾波參數做出實驗探討，針對自適應最佳濾波器階數和自適應最佳濾波器步長進行了研究，經過LMS自適應濾波器后的語音信號在濾波器階數為N=7-10，濾波器步長在0.008時達到最佳效果，其信噪比普遍可以達到20dB以上，基本可以滿足語音信號的降噪性能指標。

最后，本文根據上面的實驗結論得出一個適用于本文評價系統的結論，隨著自適應濾波器的階數增加和自適應濾波器步長的縮減，其濾波效果呈現先增長后降低的趨勢，也就是說存在唯一極大值，根據這個結論我們可以實現自適應濾波器最佳階數和自適應濾波器的最佳步長進行迭代，實現橫向濾波器參數和濾波器步長以及濾波器階數的自動尋找，結果表明，經過設計的濾波器可以有效地追蹤好各種噪聲的各類最佳參數。