基于B—S模型的可轉換債券定價研究

●焦 點

一、引言

近年來，我國金融市場快速發展，監管制度和法規日益完善，市場體系日趨成熟。債券市場已成為我國金融市場體系中最具活力的部分，在提高市場融資效率、服務實體經濟、促進經濟發展方面扮演著重要的角色[1]。當前，我國債券融資規模占比不斷增加，已經超過股票市場融資，具有廣闊的發展前景。可轉換債券是債券的一種形式，可轉換債券發行首先是為降低融資成本，發行可轉換債券所支付的利息比普通債券的固定利率要少；其次，可轉換債券包含期權價值，對投資者有強大的市場吸引力[2]。

可轉換債券定價是否合理，在一定程度上決定著發行方通過可轉換債券進行融資的成敗，只有合理定價才能為發行方獲得融資，達到降低融資成本的目的，贏得投資者對公司業績的認可和期待，合理定價是保證可轉換債券市場運行態勢良好的關鍵[3]。國外對可轉換債券定價的研究較為成熟，國內可轉換債券的發展與理論研究脫節，可轉換債券種類不夠豐富。因此，通過借鑒發達市場的定價理論與方法，結合我國市場實際，才能制定出符合我國國內市場實際的定價模型。

在可轉債擴容的大背景下，我國可轉換債券發展仍面臨著上市公司融資方式不合理，股權融資和債券融資比例不協調，上市公司未能充分利用創新型金融衍生工具進行融資等亟待解決的問題[4]。因而，發展可轉換債券市場，完善可轉換債券制度和解決可轉債實際應用難點，可以在一定程度上解決上市公司融資結構問題。可轉換債券不僅可以降低發行方的融資成本，也可以讓投資者獲得行使轉換權以獲利的機會[5]。本文將可轉換債券的股權價值和債券價值分離，首先利用未來現金流量現值法對可轉換債券的債券價值進行定價，然后利用傳統B—S模型對2015—2020年發行的符合B—S定價模型假設條件的可轉換債券期權價值進行定價，最后利用加入附加條款的拓展B—S模型對可轉換債券樣本數據進行二次定價，同時與第一次定價進行比較。

二、基于B—S模型的傳統定價分析

本文利用B—S定價模型的傳統方法對樣本數據進行研究，首先將HFZY轉債作為樣本代表進行分析和計算，在定價過程中分別計算可轉換債券的債券價值和期權價值。

（一）樣本數據

本文選取2016—2020年發行的24只可轉換債券為樣本數據，分別為2016年發行的HF轉債；2017年發行的SL轉債、GH轉債、ZHH轉債、GHH轉債、YJ轉債；2018年發行的HY轉債、SH轉債、ZH轉債、DL轉債、SJ轉債、ZD轉債、ST轉債；2019年發行的NS轉債、TR轉債、ZG轉債、HFZY轉債；以及2020年發行的MS轉債、SD轉債、HZ轉債、TE轉債、DH轉債、華天轉債和XG轉債。經過篩選，最終得到19只可轉換債券，選取2020年11月21日前的100個交易日的數據。

（二）純債價值的計算

HFZY轉債基本信息如表1，其主體資信優良，履約能力較強，盈利能力在市場中處于較高水平，發展前景較好，可以保證可轉換債券的本息償付。

表1 HFZY轉債的基本信息(2020年11月21日)

鵬元資信評估有限公司對該可轉換債券的信用進行了專業的評級，根據評級報告顯示，該可轉換債券的信用評級為AA級，能夠保證可轉換債券的安全性，違約風險較低。同時，該可轉換債券的債信由牡國投記性連帶責任保證擔保，進一步地降低了信用風險。

結合以上內容計算HFZY轉債的價值：

將一般債券的價值和到期日能夠得到的利息加本金進行貼現，得出債券發行時的價格。貼現率就是市場上正在交易的一般公司債券的平均到期收益率。在選取一般公司債券的平均到期收益率時，選用與可轉換債券的到期日比較接近的債券進行計算。與HFZY轉債到期日比較接近的一般公司債券平均收益率是5.30%，HFZY轉債的債券2020年11月21日價值部分計算過程和結果如下：

同理，本文選取的其它可轉換債券樣本2020年11月21日當日債券價值如下：SL轉債（94.45）、HF轉債（92.71）、GH轉債（91.14）、HY轉債（92.81）、ST轉債（93.04）、ZH轉債（80.35）、DL轉債（92.14）、NS轉債（83.65）、TR轉債（86.67）、MS轉債（80.88）、SD轉債（81.43）、SJ轉債（89.30）、ZD轉債（95.56）、YJ轉債（91.39）、HZ轉債（83.94）XG轉債（82.44）、TE轉債（83.16）、華天轉債（80.08）。

（三）轉股期權價值的計算

1.確定標的股價的年波動率σ。根據我國目前證券市場的實際情況，本文借鑒田敬華(2015)的研究采用歷史波動率替代標的股價隱含波動率[6]。確定樣本之后，從數據庫中獲取某一時間內的標的股價(St)，St表示第t天的估價；再計算標的股價的連續復利收益率ut，即相鄰兩天股票價格的對數值之差，即ut=lnst-lnst-1；最后計算標的股價年波動率，股票價格日波動率為股價連續復利收益率的標準差，即：

其中u是ut的平均值，年波動率

本文以天為時間間隔，以2020年11月21日為截止日，選取HFZY轉債2020年6月26日至11月21日區間，100個交易日的股價作為觀察樣本。標的股票HFZY股票價格的日波動率計算過程如下：

第一步：計算標的股價連續復利收益率

第二步：計算連續復利收益率的平均值

第三步：計算股價的日波動率

第四步：計算標的股票價格的年波動率

2020年的股票交易日為251天，則T=251，標的股價的年波動率為：

2.確定無風險利率rc。因為我國銀行存款的違約風險非常低，所以本文計算過程中選用可轉換債券同期銀行存款利率R作為計算參數，再通過公式rc=ln(1+R)將利率轉化為連續年復利率，最后得到的數據為無風險利率。HFZY轉債發行于2019年4月，期限為5年，對應的數據則為2019年4月份5年期的銀行存款利率5.2%，那么無風險利率的計算結果為ln(1+5.2%）=4.98%。

將參數數值代入Black—Scholes定價模型進行計算，得到樣本數據的期權價值：

第一步：各參數數值如下

第二步：計算d1、d2

第三步：計算N（d1）、N（d2）

N（d）表示在標準正態分布中離差小于d的概率。查閱正態分布下的累計概率表可以得到：

第四步：計算轉換期權的價值

（四）基于B—S模型的傳統定價效果分析

HFZY轉債的轉換比例為14.51（100/6.89），將HFZY轉債的轉換比例代入計算，可以得出該可轉換債券的轉換期權價值為0.76×14.51=11.03元，通過Black—Scholes定價模型得出HFZY轉債11月21日的理論價格為：

HFZY轉債的價值=純債券價值+期權價值=88.78+11.03=99.81元

而HFZY轉債11月21日實際價格為110.84元，相對于理論價值的偏差率為11.05%。對樣本數據進行逐一計算，再比對理論價格與實際價格，結果如表2所示。由表2數據可知Black—Scholes定價模型適用于本文可轉換債券樣本數據的定價，同時該方法得出的可轉換債券理論價格大都小于樣本所對應的實際價格。計算理論價格與實際價格之間的偏差率，最小為HF轉債的0.6%，最大為YJ轉債的19.88%，樣本數據平均偏差率為7.98%，在可接受的誤差范圍內。由此可見，該模型計算所得可轉換債券的理論價格與實際價格較為接近，不會出現誤差過大的結果。

表2 利用傳統Black—Scholes定價模型計算得出理論價格與實際價格對比

三、基于B—S模型的拓展定價分析

傳統的Black—Scholes定價模型只計算期權價值，沒有計算附加期權條款價值，要減小理論與實際價格之間的誤差，就需要計算可轉換債券附加期權價值。因此，本文在傳統的Black—Scholes定價模型的基礎上進行優化，將模型拓展應用于可轉換債券附加期權價值的計算。

（一）贖回期權價值的計算

首先，計算贖回權價值的原理是基于前文闡述Black—Scholes定價模型傳統計算方法再進行調整的。標的股票價格S0、可轉換債券距離到日期的年限t、股價的年波動率σ、無風險利率rc這四項參數數值不變，只有執行價格X需要做出調整。贖回條款“……如果發行公司標的股票在任意連續30個交易日中至少有20個交易日的收盤價不低于當期轉股價格的130%……公司有權按規定將可轉換債券贖回”，根據這一內容，贖回權看作轉換權時標的股價必須大于大于轉換權的1.3倍。那么計算贖回期權過程中，執行價格X為8.96（6.89×130%）元，代入Black—Scholes模型進行計算，步驟如下：

第一步：各參數數值如下

第二步：計算d1、d2

第三步：計算N（d1）、N（d2）

N（d）表示在標準正態分布中離差小于d的概率。查閱正態分布下的累計概率表可以取得結果。

第四步：計算轉換期權的價值

計算出每份贖回期權的價值為0.28元，每份HFZY轉債包含的贖回期權價值為3.94（0.28×14.54）元。

（二）回售期權價值的計算

回收期權價值的計算與贖回期權的原理相同，除執行價格X需要根據條款內容調整之外，其余參數的數值都維持不變[7]。回售條款內容“在滿足一定條件下，可轉換債券持有人有權將其持有的可轉換債券全部或部分按面值的106%回售給發行公司”顯示，回售期權看做轉換期權時，可轉換債券的面值是原來的1.06倍，也就是106元，執行價格通過計算可得7.31[106/(100/6.89)]元，代入Black—Scholes模型的計算公式進行計算，步驟如下：

第一步：各參數數值如下

第二步：計算d1、d2

第三步：計算N（d1）、N（d2）

N（d）表示在標準正態分布中離差小于d的概率。查閱正態分布下的累計概率表可以得到：

第四步：計算轉換期權的價值

計算出每份回售期權的價值為0.65元，每份HFZY轉債包含的回售期權價值為9.45（0.65×14.54）元。

（三）基于B—S模型的拓展定價效果分析

根據前文的計算結果，可以得出HFZY轉債期權價值=11-3.94+9.4=16.46元，進而得到HFZY轉債理論價格為：

HFZY轉債理論價值=純債券價值+期權價值=88.78+16.46=105.24元

11月21日當日HFZY轉債的實際價格為110.84元，相對于理論價格的偏差率為5.32%。

樣本數據理論價格與實際價格的比對結果如表3所示。根據表3可知Black—Scholes定價模型適用于本文可轉換債券樣本數據的定價，理論價格大多略高于實際價格。偏差率最小的是SL轉債為0.83%，偏差率最大的是ZD轉債為10.73%，平均偏差率為4.82%，該結果的誤差在可接受范圍內，并且從總體來看，偏差率基本都有所減小。根據表3的結果，可計算出偏差率的方差為0.08%，該方差數值更小，說明將Black—Scholes定價模型拓展應用后，可轉換債券的定價結果更符合國內市場實際情況。

表3 將Black—Scholes定價模型拓展應用于附加條款計算得出的理論價值與實際價格對比

對運用Black—Scholes定價模型拓展應用后計算的結果進一步分析，按照偏差率的高低，可以將可轉換債券分成三類：

第一類是理論價格和實際價格偏差率較小的可轉換債券組合：SL節能、HF紙業、ST能源、DL電力、TR堂、MS銀行、YJ啤酒這七個發行方發行的可轉換債券。其中SL節能、ST能源、DL電力三家屬于能源類行業，HF紙業、YJ啤酒、TR堂三家屬于辦公、家庭用品類行業。國家對銀行、能源類企業有嚴格的政策管理，而作為生活必需品的辦公、家庭用品類行業，在市場上占有一部分固定的目標群體，業績相對來說較穩定，因此，上述企業的信用評級較高，違約風險較低，可轉換債券的真實利率水平與本文的計算結果基本吻合。

第二類是理論價格和實際價格偏差率相對偏高的可轉換債券組合：GH有線、寧波HY、ZH發展、HFZY、中鐵SD、中信HZ、華天科技這七個發行方發行的可轉換債券。這些主要都是運輸行業，在經濟市場和國內生產總值所占比重都較大，國家把控嚴格，信用評級較高。然而，在運營過程中，總會有一些不可預料的情況出現，比如人為情緒失控引發交通事故、暴風天氣導致航班延誤等。不可預料的情況使這些行業需要承擔一定的信用違約風險，繼而影響所發行的可轉換債券的真實利率水平，最后導致計算結果略微偏高，影響定價準確度。

第三類是理論價格和實際價格偏差率較高的可轉換債券組合：NS鋁業、XG機械和TE重工這三個發行方發行的可轉換債券。從行業來看，這三個企業都屬于重工企業，重工企業在生產運營過程中要考慮的人文環境因素較多，需要一定的成本對生產排放的污染物進行處理。我國對重工企業的管制也相對嚴格，企業的選址一般都在城市郊區，交通不便利，運營成本相對較高，種種因素都使得該類企業信用評級不高。因此，該類風險較大的企業在運用B-S模型進行定價時需要更進一步優化。

綜上所述，運用B—S模型對可轉換債券進行定價時，需要考慮可轉換債券發行方所處的行業，以便考究需要定價的可轉換債券違約風險。由于Black—Scholes定價模型使用的利率參數接近于無風險利率，所以更適用于信用風險評級高、信用違約風險較低的行業。

四、結論

可轉換債券作為一種包含期權和債權價格的特殊金融工具，能夠降低債券發行方的融資成本，解決企業融資結構不合理、融資渠道有限等問題。可轉換債券同時能利用其包含的看漲期權為投資者提供更多的投資方案選擇，平衡投資風險。因此，可轉換債券目前在金融市場的發展過程中擔當著非常重要的角色，在未來市場中擁有較好的發展前景。

B—S模型適合用于我國可轉換債券的定價，但是在定價研究過程中，需要考慮附加條款的價值。本文通過研究發現，傳統B—S模型定價結果的偏差率為7.98%，該方法可能導致可轉換債券的價格被低估，而拓展后B—S模型定價結果偏差率為4.82%，定價結果偏差更小。綜合來看，附加條款對可轉換債券的定價有著十分重要的作用，投資者在制定投資方案時必須要注意附加條款的內容。