基于數學建模核心素養的教學設計
——以指數函數概念為例

●高照穎 趙寶江

近幾年高考中對學生數學建模素養的考查層出不窮，以解決實際生活問題為主，而高中教師對培養學生數學建模還停留在應試教育階段，用“唯分論”去評價學生的數學建模素養，能做對題才是重點，沒有意識到數學價值，那么如何設計有效地融入數學建模、真正用數學、體現數學價值魅力的教學過程至關重要，培養學生獨立思考能力，實際問題數學化，更好地掌握理解新知，將學到的數學知識應用到實際生活中，培養學生建模素養和發現數學美的眼睛。

一、基于數學建模核心素養的教學設計策略

1.實際問題驅動，創設合理情境。問題是數學建模教學的脈搏，好的問題使得建模教學活動更具活力，學生參與建模的積極性更強，以問題為主線啟發誘導學生對實際問題的直觀感知、思考分析、巧妙解決與感悟反思，層層遞進“螺旋上升”式的建模思維培養。教學設計以實際例子進行引入，創設數學問題背景，激發學生對新知的渴求，讓學生全身心地投入到數學建模應用環境中，要求教師在情境設置中選取應用性及趣味性強的建模問題，進一步讓學生體會建模快樂與魅力。

2.滲透建模思想，呈現完整建模過程。建模教學中要學習的數學模型對于高中生來說是個比較難駕馭的課題，課堂處理方法相對靈活，因此教師在教學中要善于營造數學建模環境，呈現完整建模過程，通過抽象和簡化，使用數學語言對實際現象所作的一個近似刻畫，進而促進學生深刻認識數學模型。數學建模過程大致有以下幾個流程：提出問題—思考問題—闡明符號—假設模型—建立模型—求解模型—驗證與改進等,教師在教學設計過程中應根據教學內容，滲透建模思想，呈現完整的數學建模過程[2]。

3.創新教學設計流程，深化建模意識。教學設計分為六步走：創、析、建、練、用、悟。“創”是針對給出的實際問題，創設情境，初步感知，激發學生的求知欲；“析”是分析問題，分析實際問題中數據之間的邏輯關系，嘗試運用圖像、表格等表示出來利于分析理解；“建”是建立模型，將抽象的數學問題符號化、精細化并求解模型；“練”是練習鞏固，通過數學建模解決實際問題，真正理解并熟練應用模型；“用”是學以致用，能夠運用已學模型解決其他情境中的問題，舉一反三，熟練應用；“悟”是感悟理解，是基于建模素養下的課堂教學收獲與反思，感悟數學建模的思想方法解決實際問題，深化建模意識應用于實際生活。

二、基于數學建模核心素養的教學設計案例

選自人教A版新教材，以指數函數概念教學設計為例，根據教學設計五步走，滲透培養學生數學建模素養。

《指數函數概念》（一）

步驟一：“創”創設問題情境

教師：通過問題敘述，引出本節課所學新知情境問題1：同學們，你們領略過祖國的哪些大好河山？是北方的萬里長城？還是南方的西湖美景？隨著人民日益增長的美好生活使得旅游成了人們娛樂放松的方式之一。那么老師要考考大家，現在有A景區和B景區，在2011年起A地區針對人群數提高門票，而B地區免費觀光游玩。如表1所示，2011年—2015年，不同年份人數增加情況。

表1 不同年份與A、B景區旅游人次統計表

比較A地區和B地區人次的變化，同學們發現怎樣的規律？

情境問題2：同學們，有一種放射性元素叫碳14，生物體死亡后其含量會按比率衰減（稱為衰減率），大概每過5730年就衰減為原來含量的1/2。如若按照上述規律，試問其剩余量與死亡年數的關系是什么？

學生：分析給出的兩個實例，小組討論，初步感知

設計意圖：通過旅游人數變化規律和生物體碳14變化規律這兩個實例，讓學生在實際生活中自主發現其中的數學問題，激發學生真正用數學的意念，初步感知建模實際問題。

步驟二：“析”分析問題

教師：提示學生對于情境問題1，可采用畫出圖像，觀察會出現什么規律？情境1中根據表格的數據，用matlab軟件分別畫出A地區和B地區旅游人數變化示意圖（圖略）。

學生：通過觀察圖像，可以看出：A地區人次變化近似直線上升，B地區人次是非線性變化，年增加量越來越大。

教師：該怎么用數學語言表達B地區人數變化規律呢？我們可以知道用減法可得B地區人數的年增加量，用除法可得B地區人數的年增長率。

學生：嘗試用2002年人數除以2001年的人數，再用2003年人數除以2002，以此類推可以得到

驚喜發現B地區景區人數增長率近似為一個常數。

設計意圖：教師啟發誘導，帶領學生投入B地區人次變化的分析思考，讓學生在做中學，自主探究，建構主義強調應用已學的知識建構未知的知識領域，培養學生用數學的意識。

步驟三：“建”建立模型與求解

教師：增長率為常數（大于0且不等于1）的變化方式，叫做指數增長．B景區人數變化情況如何用數學式子表示呢？嘗試列出表格尋找數據間的邏輯關系。

學生：通過小組探究列出表格

表2 年份與旅游人數關系

設X年后的游客人數為2001年的y倍，那么可得數學表達式

y=1.11x（x∈（0，+∞））①，其中指數X是自變量

教師：學生們通過一步步探究得出B地區人數變化的函數模型，這就是簡單的數學建模過程。

設計意圖：循序漸進地引導學生對實際問題建立數學模型，有利于學生對實際問題的分析，學生從對模型的感性認識上升至理性思考，進一步打消學生對分析實際問題的畏難心理，對數學建模有初次的感知和信心。

步驟四：“練”練習鞏固

教師：針對情境問題1，同學們已經嘗試通過函數模型①近似表示出B地區旅游人次變化情況，已經初步感知如何運用數學建模解決實際問題，在此基礎上，下面就請同學們自主探究完成情境問題2，可采用假設法并列出表格，觀察數據之間有怎樣的數量關系？嘗試并建立相應函數模型近似表示之間的關系。

同學：通過列表找出邏輯關系：

表3 死亡時間與體內碳14含量的關系

符號：x表示死亡年數，y表示剩余碳14，可得y=（1-p)x，則

教師總結：更一般的，用字母來替換兩個函數式的底數，那么函數可表示為y=ax，其中a＞0，且a≠1，x為自變量。通過同學們經歷數學建模過程找到問題1和問題2的函數模型，引出本節課所要學習的什么是指數函數：一般地，形如函數y=ax(a＞0且a≠1)叫指數函數，其中是X自變量，定義域為R。

設計意圖：教師引導學生完成問題1的數學建模，學生對指數模型還停留在初步感知，學生通過自主練習完成問題2的建模活動，建構知識，使指數函數概念這節課更具有啟發性和成長性，學生在練習中提升數學建模素養，感受成功的喜悅。

步驟五：“用”學以致用

作業布置：必做題：115頁練習3，求1個月（30天）后，海藻是原來的多少倍？

選做題：115頁閱讀與思考，通過上網查詢，能否給出一個倍增的指數函數模型實例。

設計意圖：通過作業布置，必做題是對指數函數模型的鞏固應用，選做題通過查閱資料放射性物質的衰減，尋找倍增的指數函數模型實例，是對指數函數模型的變式應用，引導學生數學建模的意識和喜愛，從而循序漸進的提升建模素養。

步驟六：“悟”感悟理解

教師引導下學生總結：本節課通過對景區B和放射性元素碳14兩個實際問題的解決，經歷從實際函數問題出發轉化化歸為數學問題，其次通過建模輔助工具信息技術畫出指數函數圖像，再次通過演繹推理、數據計算擬合出符合實際情境的函數模型并對函數模型進行求解，最后回歸于實際的指數函數問題中。教學中由“特殊—一般”得出指數函數概念，其中體現了數學建模在解決實際問題的廣泛應用。

設計意圖：“悟”感悟理解，這一環節相當于對指數函數概念的堂課小結與回顧，不僅僅要求學生通過本堂課回顧學習指數函數的概念，還歸納總結在指數函數教學過程中滲透建模思想，體現完整建模過程，真正會用數學建模思想，從而在函數課堂及今后學習中潛移默化地提升學生建模素養，深化學生用數學建模方法解實際生活問題的意識。

三、教學設計反思

相比于傳統指數函數概念教學設計，本教學設計創新教學設計流程并融入數學建模思想，引導學生通過兩個實際數學問題，找到用于近似模擬B地區人數變化規律和死亡生物體內碳14變化規律的指數函數模型，通過教師引導學生自主探究經歷數學建模過程，拋棄了教師的滿堂灌與專制，實現了數學建模課堂教學多角度、多趣味、多形式，實現了有效的指數函數模型教學。通過教學五步走“創—析—建—練—用—悟”，進一步創設數學建模環境，加強師生的數學建模意識。不僅在課堂教學設計中滲透數學建模思想，而且在課后鼓勵學生們利用課余時間進行數學建模活動完成選做題，進一步理解指數函數模型且激發學生建模信心，在日常教學過程中潛移默化提升學生建模素養。