不定方程x2+324=my19（m=1，2，3，6，9，18）的整數(shù)解

李秀秀，高 麗，戴妍百，李改利

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

不定方程在數(shù)論中占有重要地位，從三世紀(jì)初就已經(jīng)開始被研究。對于二次不定方程、三次不定方程和更高次的不定方程以及指數(shù)型方程，在解法上一直沒有一般性的結(jié)論，但總的原則是通過初等或高等的方法，把要求解的不定方程轉(zhuǎn)化為一個或一些相對簡單的、可以處理的方程來進(jìn)行求解，這就在解法上體現(xiàn)了一些技巧性和趣味性。

不定方程

是數(shù)論中的一類重要方程，它的整數(shù)解問題一直被廣泛關(guān)注。有很多學(xué)者在這方面做了深入的研究，取得了一定的成果。文獻(xiàn)［1］研究了不定方程xm=y2+1 的整數(shù)解問題，得出該方程沒有整數(shù)解的結(jié)論；文獻(xiàn)［2］研究了當(dāng)D=64，m=2，n=7，11時，方程（1）沒有整數(shù)解；文獻(xiàn)［3］研究了當(dāng)D=144，m=3，n=19時，方程（1）沒有整數(shù)解；文獻(xiàn)［4］研究了當(dāng)D=144，m=1，2，3，4，6，n=11 時，方程（1）沒有整數(shù)解；文獻(xiàn)［5］研究了當(dāng)D=4，m=8，n=11 時，方程（1）僅有解(x，y)=(±2，1)；文獻(xiàn)［6］研究了當(dāng)D=4 096，m=4，n=11 時，方程（1）僅有解(x，y)=(±64，2)；文獻(xiàn)［7］研究了當(dāng)D=1 024，m=4，n=9時，方程（1）僅有解(x，y)=(±32，2)；文獻(xiàn)［8］研究了當(dāng)D=256，m=4 時，方程（1）在n=7 時僅有整數(shù)解(x，y)=(±16，2)，在n=11 時無整數(shù)解；文獻(xiàn)［9］研究了當(dāng)D=4 096，m=4，n=13 時，方程（1）無整數(shù)解；文獻(xiàn)［10］研究了當(dāng)D=64，m=4 時，方程（1）在n=5時僅有整數(shù)解(x，y)=(±8，2)，在n=9時無整數(shù)解；文獻(xiàn)［11］研究了當(dāng)D=64，m=4，n=7，11時，方程（1）無整數(shù)解；文獻(xiàn)［12］研究了當(dāng)D=256，m=1，n=17 時，方程（1）無整數(shù)解；文獻(xiàn)［13］研究了當(dāng)D=1 024，m=1，n=15 時，方程（1）無整數(shù)解。

對于D=324，m=1，2，3，6，9，18，n=19 時方程（1）的整數(shù)解問題，未見研究過。本文在閱讀上述相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，利用代數(shù)數(shù)論和同余理論等初等數(shù)論的相關(guān)知識，研究當(dāng)D=324，m=1，2，3，6，9，18，n=19 時，不定方程x2+D=myn(x，y∈Z，n∈N，n≥2)的整數(shù)解問題，得出該方程無整數(shù)解的結(jié)論，從而豐富了這類方程整數(shù)解的研究內(nèi)容。

1 主要引理

引理1［14］設(shè)M是唯一分解整數(shù)環(huán)，正整數(shù)k≥2，以及α，β∈Z，(α，β)=1，αβ=τk，τ∈M，則有α=ε1μk，β=ε2?k，μ，?∈M，其中ε1，ε2是M中的單位元素，并且ε1ε2=εk，ε為單位元素。

2 定理及證明

定理1不定方程

無整數(shù)解。

證明方程（2）可分為x≡1(mod 2)和x≡0(mod 2)兩種情況進(jìn)行討論。

1.當(dāng)x≡1(mod 2)時，在Z[i]中，方程（2）可寫為(x+18i)(x-18i)=my19。設(shè)(x+18i，x-18i)=η，則有η|(2x，36i)，可得η只能取1，1 +i，2。

因 為x≡1(mod 2)，因 此x+18i≡1(mod 2)，則η≠2；若η=1 +i，則N(1 +i)|N(x+18i)，即2|x2+324，又x≡1(mod 2)，矛盾，故η≠1 +i。因此η=1。

因此方程（2）的取值有以下6種情況：

1）m=1，b=±1，± 2，± 3，± 6，± 9，± 18；

2）m=2，b=±1，± 3，± 9；

3）m=3，b=±1，± 2，± 3，± 6；

4）m=6，b=±1，± 3；

5）m=9，b=±1，± 2；

6）m=18，b=±1。

下面將分情況進(jìn)行討論。

1）當(dāng)m=1時，

由式（6）可得，要使等式成立，需滿足a2=1 或-17|19a2。顯 然-17|19a2不 滿足，當(dāng)a2=1 時，有19 ×(1 -51+612 -2 652+4 862 -3 978+1 428 -204+9)=9 × 27=243 ≠19，故a2≠1，b≠±1。

b）當(dāng)b=±2時，由式（5）可得

由式（7）～（9）可得，要使等式成立，需滿足262 153|19a2或262 135|19a2，顯然不滿足，故b≠±2。

c）當(dāng)b=±3時，由式（5）可得

由式（10）～（12）可得，要使等式成立，需滿足387 420 495|19a2或387 420 483|19a2，顯然不滿足，故b≠±3。

d）當(dāng)b=±6時，由式（5）可得

由式（13）～（15）可得，要使等式成立，需滿足101 559 956 668 419|19a2或101 559 956 668 413|19a2，顯然不滿足，故b≠±6。

e）當(dāng)b=±9時，由式（5）可得

由式（16）～（18）可得，要使等式成立，需滿足150 094 635 296 999 123|19a2或150 094 635 296 999 119|19a2，顯然不滿足，故b≠±9。

f）當(dāng)b=18時，由式（5）可得

由式（19）可得，要使等式成立，需滿足a2=25或a2=1 369。

I）當(dāng)a2=25 時，代入式（19）發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果與1818+1不相等，故a2≠25。

II）當(dāng)a2=1 369 時，代入式（19）發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果與1818+1不相等，故a2≠16。

故b≠18。

g）當(dāng)b=-18時，由式（5）可得

由式（20）可得，要使等式成立，需滿足a2=1或a2=49。

I）當(dāng)a2=1 時，代入式（20）發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果與1818-1不相等，故a2≠1。

II）當(dāng)a2=49 時，代入式（20）發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果與1818-1不相等，故a2≠49。

故b≠-18。

2）當(dāng)m=2時，

由式（22）可得，要使等式成立，需滿足10|19a2或-8|19a2顯然不滿足，故b≠±1。

b）當(dāng)b=±3時，由式（21）可得

由式（24）可得，要使等式成立，需滿足a2=4，把a(bǔ)2=4 代入式（23），結(jié)果為-1 850 103 188，與式（24）不符，故a2≠4，b≠3。

由式（25）可得，要使等式成立，需滿足387 420 486|19a2顯然不滿足，故b≠-3。

c）當(dāng)b=±9時，由式（21）可得

由式（26）～（28）可得，要使等式成立，需滿足150 094 635 296 999 122|19a2或a2=1，a2=4，a2=16。顯 然150 094 635 296 999 122|19a2不滿足，故b≠9。

I）當(dāng)a2=1 時，代入式（26），發(fā)現(xiàn)結(jié)果為235 599 294 651 398 353，與式（28）不符，故a2≠1。

II）當(dāng)a2=4 時，代入式（26），發(fā)現(xiàn)結(jié)果為68 915 164 338 103 003，與式（28）不符，故a2≠4。

III）當(dāng)a2=16 時，代入式（26），發(fā)現(xiàn)結(jié)果為14 172 320 590 872 043，與式（28）不符，故a2≠16。

故b≠-9。

3）當(dāng)m=3時，

由式（30）可得，要使等式成立，需滿足7|19a2或-5|19a2，顯然不滿足，故b≠±1。

b）當(dāng)b=±2時，由式（29）可得

由式（31）～（33）可得，要使等式成立，需滿足262 147|19a2或262 141|19a2，顯然不滿足，故b≠±2。

c）當(dāng)b=±3時，由式（29）可得

由式（34）～（36）可得，要使等式成立，需滿足387 420 491|19a2或387 420 487|19a2，顯然不滿足，故b≠±3。

d）當(dāng)b=±6時，由式（29）可得

由式（38）可得，要使等式成立，需滿足101 559 956 668 417|19a2顯然不滿足，故b≠6。

由式（39）可得，要使等式成立，需滿足a2=1，把a(bǔ)2=1代入式（37），可得結(jié)果為233 313 421 664 143，與式（39）不符，故a2≠1，b≠-6。

4）當(dāng)m=6時，

a）當(dāng)b=±1時，由式（40）可得

由式（41）可得，要使等式成立，需滿足4|19a2或-2|19a2，顯然不滿足，故b≠±1。

b）當(dāng)b=±3時，由式（40）可得

由式（43）可得，要使等式成立，需滿足387 420 490|19a2顯然不滿足，故b≠3。

由式（44）可得，要使等式成立，需滿足a2=1，a2=4。

I）當(dāng)a2=1 時，代入式（42），可得出結(jié)果為-651 490 487，與式（44）不符，故a2≠1。

II）當(dāng)a2=4 時，代入式（42），可得出結(jié)果為-1 850 103 188，與式（44）不符，故a2≠4。

故b≠-3。

5）當(dāng)m=9時，

由式（46）可得，要使等式成立，需滿足3|19a2或-1|19a2，顯然不滿足，故b≠±1。

b）當(dāng)b=±2時，由式（45）可得

由式（48）可得，要使等式成立，需滿足262 145|19a2顯然不滿足，故b≠2。

由式（49）可得，要使等式成立，需滿足a2=1，a2=9。

I）當(dāng)a2=1 時，代入式（47），可得出結(jié)果為2 045 103，與（49）不符，故a2≠1。

II）當(dāng)a2=9 時，代入式（47），可得出結(jié)果為-18 820 349 433，與（49）不符，故a2≠9。

由式（51）可得，要使等式成立，需滿足3|19a2或a2=0。顯然3|19a2不滿足，故b≠1。

當(dāng)a2=0 時，由式（51）可得0=0，代入式（3）可解得x=0。又x≡1(mod 2)，二者矛盾，故b≠-1。

綜上，當(dāng)x≡1(mod 2)時，方程（2）無解。

2.當(dāng)x≡0(mod 2)時，可分為以下4種情況：

1）當(dāng)m=1，3，9時，

已知x是偶數(shù)，m是奇數(shù)，則由方程x2+324=my19可得y是偶數(shù)。

令x=2x1，y=2y1，x，y∈Z，方程（2）可寫為

由式（52）可知x1是奇數(shù)，令x1=2x2+1，x2∈Z，則有4x22+4x2+82=217my119，

由式（53）可以看出，2x22+2x2+41 ≡1(mod 2)，216my119≡0(mod 2)，二者矛盾，故當(dāng)m=1，3，9 時，方程無解。

2）當(dāng)m=2時，方程（2）可寫為x2+324=2y19。

已知x是偶數(shù)，令x=2x1，x∈Z，方程（2）可寫為

4x12+324=2y19，

化簡可得2x12+162=y19。

顯然，y是偶數(shù)，令y=2y1，y∈Z，方程（2）可寫為

2x12+162=219y119，

化簡可得x12+81=218y119。

可以看出，x2+81≡1(mod2)，218y119≡0(mod 2)，二者矛盾，故當(dāng)m=2時，方程（2）無解。

3）當(dāng)m=6時，方程（2）可寫為x2+324=6y19。

已知x是偶數(shù)，令x=2x1，x∈Z，方程（2）可寫為

4x12+324=6y19，

化簡可得2x12+162=3y19。

可以看出，y是偶數(shù)，令y=2y1，y∈Z，方程（2）可寫為2x12+162=3 × 219y119，

化簡可得x12+81=3 × 218y119。

可以看出，x12+81 ≡1(mod 2)，3 × 218y119≡0(mod 2)，二者矛盾，故當(dāng)m=6時，方程（2）無解。

4）當(dāng)m=18時，方程（2）可寫為x2+324=18y19。

已知x是偶數(shù)，令x=2x1，x∈Z，方程（2）可寫為

4x12+324=18y19，

化簡可得2x12+162=9y19。

可以看出，y是偶數(shù)，令y=2y1，y∈Z，方程（2）可寫為2x12+162=9 × 219y119，

化簡可得x12+81=9 × 218y119。

可以看出，x12+81 ≡1(mod 2)，9 × 218y119≡0(mod 2)，二者矛盾，故當(dāng)m=18時，方程（2）無解。

綜上，當(dāng)x≡0(mod 2)時，方程（2）無解。

綜上所述，不定方程x2+324=my19（m=1，2，3，6，9，18）無整數(shù)解。