基于改進(jìn)Pair-Copula方法的多風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速時(shí)空相關(guān)性建模

陳 凡，王 浩，2，劉海濤，趙美蓮，張小蓮，高 恒

（1.南京工程學(xué)院 電力工程學(xué)院，江蘇 南京 211167；2.國(guó)網(wǎng)江蘇省電力有限公司 響水縣供電分公司，江蘇鹽城 224600）

0 引言

風(fēng)力發(fā)電是加快能源系統(tǒng)轉(zhuǎn)型、實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰和碳中和目標(biāo)的重要手段[1]。然而風(fēng)速具有明顯的不確定性和時(shí)空相關(guān)性，大規(guī)模風(fēng)電并網(wǎng)將會(huì)對(duì)電力系統(tǒng)的運(yùn)行安全造成影響。與風(fēng)速的不確定性建模相比，多風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速時(shí)空相關(guān)性的建模更加復(fù)雜，近年來受到了持續(xù)的關(guān)注[2]。

針對(duì)風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速的空間相關(guān)性建模，傳統(tǒng)的基于線性變換的正態(tài)變換法[3]難以反映復(fù)雜的非線性相關(guān)性，而基于非線性相關(guān)的多變量核密度估計(jì)法和Copula函數(shù)法[4]易陷入維數(shù)災(zāi)，導(dǎo)致模擬精度降低。因此，將多維相關(guān)變量分解為二維Copula函數(shù)乘積的Pair-Copula法得到了廣泛使用。文獻(xiàn)[5]采用Pair-Copula法建立多地點(diǎn)風(fēng)速的相關(guān)性模型，生成了多維相關(guān)性風(fēng)速樣本。文獻(xiàn)[6]采用R藤Copula模型對(duì)具有相關(guān)性的多風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速進(jìn)行建模并進(jìn)行概率潮流計(jì)算，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。然而，實(shí)際風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速除了具有空間相關(guān)性，還具有自相關(guān)性[7]，也即時(shí)間相關(guān)性，常規(guī)的Pair-Copula方法難以描述這一特性。針對(duì)風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速的時(shí)間相關(guān)性建模，文獻(xiàn)[7]將日內(nèi)相鄰時(shí)段的功率按隨機(jī)變化規(guī)律聚類，再以多變量馬爾科夫鏈描述日內(nèi)相鄰時(shí)間段風(fēng)電功率的隨機(jī)變化。文獻(xiàn)[8]將歷史數(shù)據(jù)按不同時(shí)間段與天氣類型進(jìn)行場(chǎng)景劃分，并記錄狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，進(jìn)而模擬計(jì)及時(shí)空相關(guān)性的風(fēng)電輸出功率模型。文獻(xiàn)[7]，[8]均在時(shí)間尺度上分析了風(fēng)電出力的隨機(jī)規(guī)律，為本文在常規(guī)Pair-Copula基礎(chǔ)上處理多風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速時(shí)間相關(guān)性提供了思路。文獻(xiàn)[9]通過藤Copula函數(shù)和ARMA模型分別表征風(fēng)速空間上的互相關(guān)性和時(shí)間序列上的自相關(guān)性，但是風(fēng)速建模過程較為復(fù)雜。

綜上所述，現(xiàn)有研究在進(jìn)行風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速建模時(shí)存在時(shí)空相關(guān)性考慮不全面或者建模過程復(fù)雜的問題，為此，本文在常規(guī)Pair-copula理論的基礎(chǔ)上，充分挖掘風(fēng)速在時(shí)間尺度上的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，提出了一種基于時(shí)序特性的信息轉(zhuǎn)移法對(duì)Pair-Copula方法進(jìn)行改進(jìn)。首先，采用傳統(tǒng)Pair-Copula方法建立具有空間相關(guān)性的多風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速模型；然后，采用分布更均勻的Sobol序列隨機(jī)數(shù)代替抽樣環(huán)節(jié)的普通隨機(jī)數(shù)，在此基礎(chǔ)上提出將統(tǒng)計(jì)建模中的聯(lián)合分布函數(shù)包含的自相關(guān)信息轉(zhuǎn)移至隨機(jī)數(shù)序列，并采用條件抽樣法模擬具有時(shí)空相關(guān)性的風(fēng)速數(shù)據(jù)。本文以位于美國(guó)東部的多個(gè)相鄰風(fēng)電場(chǎng)的實(shí)測(cè)風(fēng)速數(shù)據(jù)為例進(jìn)行算例分析，驗(yàn)證了所提出的改進(jìn)Pair-Copula方法的有效性。

1 基于Pair-Copula理論的風(fēng)速模型

1.1 Pair-Copula理論

Pair-Copula可以將一個(gè)多元聯(lián)合概率密度函數(shù)很容易地分解為多個(gè)二元Copula密度函數(shù)的級(jí)聯(lián)形式，克服了傳統(tǒng)Copula函數(shù)無法準(zhǔn)確地刻畫多個(gè)風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速之間復(fù)雜相關(guān)性的問題。常見的藤Copula結(jié)構(gòu)有C藤和D藤。C藤適用于某個(gè)主導(dǎo)變量與其他變量相關(guān)性較強(qiáng)，而其余變量彼此相關(guān)性較弱的情況；D藤適用于無主導(dǎo)變量，且兩兩變量之間的相關(guān)性都不是很強(qiáng)的情況。通常多個(gè)風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速之間沒有主導(dǎo)變量，因此本文選擇D藤Copula結(jié)構(gòu)建立多風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速模型。在該 結(jié) 構(gòu) 中，Copula函 數(shù) 的 概 率 密 度c（u1，u2，…，ud）可以分解為[6]

1.2 多風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速空間相關(guān)性建模

多風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速的建模步驟如下。

①選擇合適的藤結(jié)構(gòu)：根據(jù)1.1節(jié)所述，本文選擇D藤Copula結(jié)構(gòu)建立風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速模型。

②計(jì)算邊緣分布：采用非參數(shù)核密度估計(jì)法得到各風(fēng)電場(chǎng)的風(fēng)速邊緣分布F^（x）。

根據(jù)式（3）可求得第一層樹中d個(gè)風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速的邊緣分布樣本矩陣Un×d。

③確定Copula函數(shù)：根據(jù)步驟②得到各風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速的邊緣分布，基于赤池信息準(zhǔn)則（AIC）選擇最優(yōu)二維Copula函數(shù)對(duì)第一層Copula序列{c1，2，c2，3，…，cn-1，n}進(jìn) 行 擬 合。

④建立多風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速空間相關(guān)性模型：將步驟③中的Copula序列代入式（2）計(jì)算第二層條件分布，并作為輸入變量，重復(fù)步驟③擬合第二層Copula序列。按此方法依次建立各層Copula序列直至第n-1層樹，最后基于式（1）得到多風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速空間相關(guān)性模型。

2 計(jì)及時(shí)空相關(guān)性的風(fēng)速模擬方法

當(dāng)多維風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速相關(guān)性模型確定后，對(duì)各風(fēng)電場(chǎng)逐一進(jìn)行時(shí)間序列抽樣。傳統(tǒng)Pair-Copula方法考慮了空間相關(guān)性，但未考慮時(shí)間尺度上的序列特性。為此，本文在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上增加了考慮時(shí)間相關(guān)性，同時(shí)為了提高模擬的精度，進(jìn)一步提出采用低差異隨機(jī)數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行風(fēng)速抽樣。

2.1 低差異序列

多維風(fēng)速的采樣步驟中涉及到[0，1]均勻分布隨機(jī)數(shù)的生成，生成的隨機(jī)數(shù)越均勻，變換后得到的隨機(jī)數(shù)則越符合其分布。Sobol序列是常見的低差異序列，圖1為樣本數(shù)為1000的二維常規(guī)隨機(jī)數(shù)和Sobol序列隨機(jī)數(shù)的散點(diǎn)圖。由圖1可知，Sobol序列的隨機(jī)數(shù)分布更均勻。本文采用文獻(xiàn)[6]中的方法生成Sobol隨機(jī)數(shù)序列，并用該序列代替采樣步驟中的常規(guī)隨機(jī)數(shù)。

圖1 二維常規(guī)隨機(jī)數(shù)與Sobol序列散點(diǎn)圖Fig.1 Scatter diagrams of two-dimensional pseudo-random numbers and Sobol sequence

2.2 時(shí)序自相關(guān)性

為了體現(xiàn)風(fēng)速的時(shí)間相關(guān)性特征，本文采用位置排序法對(duì)傳統(tǒng)Pair-Copula方法進(jìn)行改進(jìn)，即將統(tǒng)計(jì)建模中聯(lián)合分布函數(shù)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)值大小規(guī)律轉(zhuǎn)移至抽樣隨機(jī)數(shù)中，然后對(duì)風(fēng)速抽樣，得到符合要求的模擬數(shù)據(jù)。首先生成d維Sobol序列隨 機(jī) 數(shù)Sn×d=[S1，S2，…，Sd]，再 結(jié) 合 藤Copula模 型中 風(fēng) 速 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù)F（ui|u1，u2，…，ui-1）（i=1，2，…，d）對(duì) 應(yīng) 的d維 樣 本 矩 陣Fn×d=[F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)d]對(duì)Sobol序列重新排序。記w（x）為變量x在向量X=[x1，x2，…，xn]T中 從 小 到 大 排 序 的 位 置，對(duì)Sobol序列進(jìn)行重新排序的步驟包括：

①對(duì)Sn×d和Fn×d中 每 一 列 元 素 從 小 到 大 排列，分 別 記 錄 對(duì) 應(yīng) 的 位 置 信 息 為W（S）n×d=[w（S）1，w（S）2，…，w（S）d]和W（F）n×d=[w（F）1，w（F）2，…，w（F）d]；

②在Sn×d中，取 第 一 列S1中 的 元 素Si1，并 找到 對(duì) 應(yīng) 的w（S）i1=w（F）i1（i，j=1，2，…，n）；

③將步驟①中的Si1從位置i換到j(luò)，并依次對(duì)第一列其他的元素進(jìn)行排序；

④根據(jù)步驟①～③對(duì)Sobol序列每一列元素進(jìn)行處理，即可得到一組保留原始聯(lián)合分布函數(shù)樣 本 數(shù) 值 大 小 規(guī) 律 特 性 的 隨 機(jī) 數(shù)Rn×d=[R1，R2，…，Rd]。

2.3 基于改進(jìn)抽樣方法生成具有時(shí)空相關(guān)性的多維風(fēng)速數(shù)據(jù)

采用條件抽樣法對(duì)具有時(shí)空相關(guān)性的多維風(fēng)速數(shù)據(jù)抽樣。

①產(chǎn)生d維服從[0，1]均勻分布的Sobol序列隨 機(jī) 數(shù)Sn×d=[S1，S2，…，Sd]。

②根 據(jù)2.2節(jié) 的 方 法，將Sn×d=[S1，S2，…，Sd]變換 為Rn×d=[R1，R2，…，Rd]，用 變 量ri代 表 矩 陣Ri中每一列數(shù)據(jù)的隨機(jī)變化，則Rn×d對(duì)應(yīng)的隨機(jī)矢量為r=[r1，r2，…，rd]，令u1=r1。

③令F（ui|u1，u2，…，ui-1）（r=2，3，…，d），對(duì) 式（2）求 逆 函 數(shù)，即 可 求 得 各 風(fēng) 電 場(chǎng) 服 從[0，1]均 勻分布的變量u。

④將步驟③中求得的u代入式（3）求逆函數(shù)，可求得各個(gè)風(fēng)電場(chǎng)的模擬風(fēng)速變量xi=F^-1（ui）（i=1，2，…，d），變 量xi對(duì) 應(yīng) 的 樣 本 即 為 第i個(gè) 風(fēng) 電 場(chǎng)的模擬風(fēng)速數(shù)據(jù)。

綜上所述，基于改進(jìn)Pair-Copula方法生成具有時(shí)空相關(guān)性的多風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速的流程如圖2所示。

圖2 基于改進(jìn)Pair-Copula方法的風(fēng)速模擬流程圖Fig.2 Flow chart of wind speed simulation based on improved Pair-Copula method

3 算例分析

本文采用美國(guó)國(guó)家可再生能源實(shí)驗(yàn)室（NREL）提供的美國(guó)東部相鄰的4個(gè)風(fēng)電場(chǎng)2012年的實(shí)測(cè)風(fēng)速進(jìn)行風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速建模分析[10]，并進(jìn)一步研究了考慮風(fēng)電接入的IEEE-RTS79系統(tǒng)的可靠性[11]。假設(shè)4個(gè)風(fēng)電場(chǎng)的風(fēng)機(jī)型號(hào)一致，風(fēng)電機(jī)組切入風(fēng)速、切出風(fēng)速、額定風(fēng)速和額定功率分別為4，22，10m/s和2MW，每個(gè)風(fēng)電場(chǎng)包含10臺(tái)風(fēng)力發(fā)電機(jī)組。

3.1 基于改進(jìn)Pair-Copula方法的風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速模型

根據(jù)1.2節(jié)所述的風(fēng)速建模方法，采用AIC準(zhǔn)則選取各層最優(yōu)Copula函數(shù)。表1給出了該模型的各層Copula函數(shù)類型及其對(duì)應(yīng)的參數(shù)信息，其中參數(shù)1和參數(shù)2為最優(yōu)Copula函數(shù)連結(jié)兩兩變量時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)。

表1 多維風(fēng)速D藤Copula模型的參數(shù)信息Table1 Parameter information of D-Vine Copula of multiple wind speeds

由表1可知，最符合本文風(fēng)速數(shù)據(jù)的多變量相關(guān)性模型為第一層樹以Gumbel，t，Gumbel函數(shù)分別連結(jié)兩兩風(fēng)電場(chǎng)，第二層樹均以t函數(shù)連結(jié)，第三層樹以Frank函數(shù)連結(jié)。

在得到最優(yōu)D藤Copula風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速模型后，采用第2節(jié)所述的計(jì)及時(shí)空相關(guān)性的抽樣方法得到4個(gè)風(fēng)電場(chǎng)的風(fēng)速模擬數(shù)據(jù)。

3.2 風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速概率特性檢驗(yàn)

首先采用K-S法對(duì)模擬的風(fēng)速數(shù)據(jù)能否保持原始風(fēng)速的概率分布特性進(jìn)行檢驗(yàn)。假設(shè)模擬數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)具有相同的概率分布，若檢驗(yàn)接受該假設(shè)，檢驗(yàn)結(jié)果為0，否則結(jié)果為1。表2給出了假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果。

表2 風(fēng)速模擬數(shù)據(jù)的K-S檢驗(yàn)Table2 K-S inspection of wind speed simulation data

由表2可知，假設(shè)的檢驗(yàn)結(jié)果均為0，即原假設(shè)成立，說明本文改進(jìn)方法模擬的風(fēng)速數(shù)據(jù)能保持原始風(fēng)速數(shù)據(jù)的概率分布特性。

進(jìn)一步采用方差和均值作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)風(fēng)速模擬方法進(jìn)行檢驗(yàn)。將正態(tài)變換法、多變量核密度估計(jì)法與本文改進(jìn)方法及未改進(jìn)方法模擬的風(fēng)速數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。表3，4分別為上述幾種方法得到的風(fēng)速模擬數(shù)據(jù)的方差和均值，并給出了相對(duì)于原始數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)量的誤差。

表3 各種方法模擬數(shù)據(jù)的方差比較Table3 Comparison of standard deviations of simulated data by various methods

表4 各種方法模擬數(shù)據(jù)的均值比較Table4 Comparison of mean of simulated data by various methods

由表3，4可知，幾種方法模擬數(shù)據(jù)的方差和均值均較接近于原始數(shù)據(jù)，但是基于Sobol序列的藤Copula方法的統(tǒng)計(jì)量誤差最小。由此可見，采用本文改進(jìn)藤Copula方法建立的模型更精確。

3.3風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速空間相關(guān)性的量化檢驗(yàn)

圖3為原始風(fēng)速、基于D藤Copula-ARMA模型[9]和基于本文提出的D藤Copula模型的風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速模擬直方圖和散點(diǎn)圖。圖中三角元素為兩兩風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速之間的互相關(guān)系數(shù)，對(duì)角線元素為各個(gè)風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速的直方圖，下三角元素為兩兩風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速之間的散點(diǎn)圖。

由圖3可知，基于D藤Copula-ARMA模型和基于本文提出模型的風(fēng)速模擬結(jié)果均很準(zhǔn)確，兩兩風(fēng)速之間的散點(diǎn)圖均與原始數(shù)據(jù)相似，但本文方法模擬的風(fēng)速數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖更合理，且各變量之間的相關(guān)系數(shù)相對(duì)于原始數(shù)據(jù)的誤差更小，因此本文提出的改進(jìn)D藤Copula模型能更準(zhǔn)確地模擬風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速的空間相關(guān)性。

圖3 風(fēng)速數(shù)據(jù)直方圖和散點(diǎn)圖Fig.3 Histogram and scatter plot of wind speed data

3.4 風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速時(shí)間相關(guān)性的量化檢驗(yàn)

圖4為所提改進(jìn)方法與未改進(jìn)方法的自相關(guān)函數(shù)圖，并對(duì)局部進(jìn)行放大（圖中未排序的Sobol序列的自相關(guān)函數(shù)曲線明顯沒有體現(xiàn)原始風(fēng)速數(shù)據(jù)的自相關(guān)系數(shù)衰減趨勢(shì)，在局部放大圖中略去）。由圖4可知，歷史風(fēng)速樣本數(shù)據(jù)的自相關(guān)系數(shù)會(huì)隨著滯后時(shí)間的增加而減小，在時(shí)間尺度上表現(xiàn)為兩時(shí)刻點(diǎn)越接近，其相關(guān)性越強(qiáng)，再次表明風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速序列具有時(shí)間相關(guān)性。此外，本文所提信息轉(zhuǎn)移法因數(shù)據(jù)重新排序，復(fù)現(xiàn)了歷史數(shù)據(jù)的自相關(guān)特性，所以生成的風(fēng)速模擬數(shù)據(jù)與歷史數(shù)據(jù)具有相同的自相關(guān)系數(shù)衰減趨勢(shì)，而傳統(tǒng)隨機(jī)數(shù)方法與未改進(jìn)的方法均沒有考慮時(shí)序特性，其生成序列的自相關(guān)系數(shù)曲線與歷史數(shù)據(jù)的曲線偏差較大。

圖4 自相關(guān)系數(shù)曲線的比較Fig.4 Comparison of autocorrelation coefficient curves

圖5為基于D藤Copula-ARMA模型和基于本文提出的D藤Copula模型模擬的風(fēng)速數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)曲線，并對(duì)局部進(jìn)行放大。由圖5可知，兩種方法均能在時(shí)間尺度上很好地描述風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速的自相關(guān)性，但從局部放大圖中可以看出，本文方法的精度更高 （在局部放大圖中基于本文方法的模擬結(jié)果與原始風(fēng)速幾乎重合），即本文提出的D藤Copula模型對(duì)時(shí)間相關(guān)性的模擬更為準(zhǔn)確。

圖5 本文方法與D藤Copula-ARMA模型模擬數(shù)據(jù)的自相關(guān)系數(shù)曲線Fig.5 Autocorrelation coefficient curves of the simulated data by proposed method and D-Vine-Copula-ARMA model

3.5 計(jì)及風(fēng)速時(shí)空相關(guān)性的風(fēng)電并網(wǎng)系統(tǒng)可靠性評(píng)估

采用不同風(fēng)速模型得到的考慮風(fēng)電接入的IEEE RTS79系統(tǒng)可靠性的研究結(jié)果如表5所示。表中：LOLE為電力不足期望；EENS為電量不足期望。由表5可知，本文提出的方法在發(fā)電系統(tǒng)可靠性指標(biāo)計(jì)算上的誤差比傳統(tǒng)方法更小，驗(yàn)證了本文提出的風(fēng)速建模方法的準(zhǔn)確性。

表5 基于不同風(fēng)速模型的發(fā)電系統(tǒng)可靠性結(jié)果Table5 Reliability results of generation system based on different wind speed models

4 結(jié)論

針對(duì)常規(guī)Pair-Copula方法難以刻畫多風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速時(shí)空相關(guān)性的問題，本文在挖掘風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速序列自相關(guān)特性的基礎(chǔ)上提出了一種基于改進(jìn)Pair-Copula方法的多風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速建模方法，并結(jié)合實(shí)際風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速數(shù)據(jù)對(duì)所提出的風(fēng)速建模方法進(jìn)行了檢驗(yàn)分析，得到以下結(jié)論。

①與普通的隨機(jī)數(shù)相比，采用分布更均勻的Sobol序列隨機(jī)數(shù)進(jìn)行風(fēng)速模擬的改進(jìn)Pair-Copula方法能更準(zhǔn)確地描述歷史風(fēng)速數(shù)據(jù)的概率特性。

②本文提出的基于時(shí)序信息轉(zhuǎn)移的Pair-Copula風(fēng)速建模方法既能保留傳統(tǒng)Pair-Copula方法在空間上的互相關(guān)性，又能體現(xiàn)歷史風(fēng)速數(shù)據(jù)在時(shí)間尺度上的自相關(guān)性。

③采用改進(jìn)Pair-Copula方法建立的風(fēng)速模型可以提高風(fēng)電并網(wǎng)電力系統(tǒng)可靠性評(píng)估的準(zhǔn)確性。