點燃數學史之燈 照亮提素養之路*
——以“數列”教學為例

黃力江 夏 宇

安徽省宿城第一中學

1 導語

數學家M·克萊因在《古今數學思想》中提到“歷史上數學家遇到的困難，正是學生會遇到的學習障礙，因而數學史是教學的指南”[1].在數學發展過程中，很多概念的形成，定理、公式的發現都不是一蹴而就的，數學家們經過長時間的探索、積累、擴充，才形成教材中這些簡潔、漂亮、完備的知識體系.但是這些“冰冷”的知識并不容易被學生理解和接受，“以史為鑒，可以明得失”，如果能把數學史融入課堂教學，利用人的認知過程與數學發展歷程的一致性，通過引入數學史讓學生了解問題的來源和解決方法的形成，會獲得更好的教學效果.下面筆者就以“數列”為例，談談對此的認識.

2 案例分析

教材是按照一定的邏輯結構和課標要求編撰的知識體系，編寫時舍棄了大量數學概念和方法的形成過程，但這并不利于學生的消化吸收.教師要通過查閱歷史文獻，進行辨析和篩選，整理出數列發展簡史.數列簡史的整理，不是碎片化的知識點或歷史事件的堆砌，而是按照一定的主線，將所有知識點及其歷史有序地組織起來，與數列教學的各個環節相融合.結合數學史提出驅動性問題，從而依次從數列概念的起源闡述“是什么”，從數列的應用解釋“為什么”，從數列的發展探究“怎么樣”.

2.1 從數列概念的起源闡述“是什么”

數列相關知識點較多，如果將概念、通項公式、性質等直接呈現給學生，學生難免會感覺枯燥乏味，也不明白這些“數字游戲”的意義.通過在教學中追溯數學史中數列的起源，可以激發學生的興趣和探索欲，從而闡述數列是什么這一基本問題.如：

展示一張月食圖片(如圖1)，設置情境：大家知道月食是怎樣一個過程嗎？

圖1

師：在地球上看到被太陽照亮部分的月球的不同形象就是月相變化.蘇軾詞里“人有悲歡離合，月有陰晴圓缺”也描述著月相的變化.在很早之前就有月相的記載了.通過課件展示巴比倫泥版K90(新亞述時期，公元前7世紀)上記錄月相變化的一列數，如表1.

表1 月相變化

古巴比倫人將月盤平均分成240個部分.我們把月亮每天可見的部分按日期順序排成一列數，代表月亮的變化過程，可得

師：大約公元前1650年，古埃及祭司阿莫斯抄錄了一本書(萊茵得紙草書)[2]，里面記載著“問題79”，是一張財產表如圖2所示.故事是這樣的，一位富人有七間房屋，每間房屋有七只貓，每只貓捉了七只老鼠，每只老鼠吃了七棵麥穗，每棵麥穗上都有七粒麥粒.問房間、貓、老鼠、麥穗、麥粒各有多少？

學生容易回答：7,72,73,74,75.

圖2

師：以上情境中的兩組數有什么共同特征？

生：都是一列數，并且有一定的次序.

接下來在學生最興奮的時候引導他們總結出數列的概念.通過有趣的數學史，激發學生的好奇心，達到了很好的教學效果.

2.2 從數列的應用解釋“為什么”

數列的發展歷程表明數列源于生活，承載著人們生活的方方面面.數學史中數列的廣泛應用體現其重要性，從而解決為什么要學習數列的疑惑.如：

師：數列在生活中的應用相當廣泛，同學們是否還聽說過其他與數列相關的故事呢？

學生可以各抒己見，自由探索.

圖3

師：大家有沒有玩過漢諾塔游戲？該游戲起源于印度的神話傳說，據說上帝創造世界時做了三根金剛石柱子，在一根柱子上從下往上按大小順序摞著64片黃金圓盤(如圖3).上帝命令婆羅門把圓盤同樣從下往上按大小順序重新擺放在另一根柱子上.但在三根柱子之間每次只能移動一個圓盤，而且在小圓盤上不能放大圓盤.據說，這件事完成時，宇宙就會在一瞬間閃電式毀滅.那么，宇宙會閃電式毀滅嗎？我們該怎么樣去找到答案呢？

生：用數列知識.

師：我們發現，如果只有一片圓盤，最少移動1次；如果兩片，需移動3次.以此類推，得到如下數列：1,3,7,……,2n-1.所以，如果有64片圓盤，需移動264-1=184 467 440 737 095 516 15次，即使移動一次只用一秒，也需要大約600億年呀！

2.3 從數列的發展探究“怎么樣”

人的認知過程與數學的發展過程具有一致性，學習數列的發展史，是領悟其中數學思想的有效方式.教師結合數學史，將數列知識的推導演繹過程呈現給學生，讓學生親歷知識的發現過程，用自己深刻的體驗形成經驗，用積極的思維構建知識體系，學會怎么樣學習數列，怎么樣應用數列.如：

圖4

印度泰姬陵是印度莫臥兒王朝的皇帝為他的愛妃所建，傳說陵寢中有一個三角形圖案(如圖4)，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，奢華漂亮，此圖案共100層，每層寶石的個數依次是1,2,3，……，100，正好構成一個等差數列.大家能否計算出一共有多少顆寶石？

多數學生熟知高斯的故事，高斯十歲時用下面的方法迅速算出：1+2+3+……+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=50×101=5 050.

教師再展示圖片(如圖5)，并給予引導，學生很容易受到啟發，通過類比得到解決問題的方法.

圖5

S=1+2+3+……+100，

①

S=100+99+98+……+1.

②

①+②，得

2S=(1+100)+(2+99)+……+(100+1)=101×100.

師：類比以上推導過程，你能得到等差數列的前n項和Sn嗎？

156＊＊＊＊5491：喜歡一個姑娘 WJY近 12年了，不知道應不應該對她表白。如果能夠上墻我就去表白！

生：等差數列的前n項和

Sn=a1+a2+a3+……+an，

③

Sn=an+an-1+an-2+……+a1.

④

由等差數列性質，可得

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……=an+a1.

師：我們把上述方法叫做倒序相加法.再把an=a1+(n-1)d代入，能得到什么形式的公式？

利用泰姬陵的寶石圖案引出我們要研究的問題，推導出求和公式.數學史融入課堂，既增添了趣味性，又滲透了數學思想.

3 教學反思

學黨史，悟思想，開新局.同樣，學習數學史，體會千百年來沉淀下來的理性智慧，不僅有助于新知的探索，更有助于數學素養的提升.下面，筆者結合教學實踐對數學史融入課堂教學談一些感悟.

3.1 “學史明理”，數學史是思想方法的重要載體

要深刻領會數學知識中蘊含的數學思想，學生需要發現、探索數學知識的形成過程，查閱相關數學史，然后在驅動性問題探索活動中提高自主學習能力、內化數學思想[3].比如，在等比數列求和教學中，除了用錯位相減法外，還可以介紹古希臘數學家歐幾里得《幾何原本》中用合比定理推導等比數列求和公式的方法.一段數學史本身也是一種思想方法的體現.結合數學史教學，學生更能明白所學知識的道理，把握其豐富內涵.

3.2 “學史增信”，數學史是高效課堂的重要工具

數學概念不僅抽象，還往往具有豐富的起源“背景”.教師可以在數學史中找到我國相關數學知識發展的重要歷史事件和數學家的趣事等史料并將其添加到數學教學中.比如,在等差數列的教學中，教師可以引用《周髀算經》中“七衡圖”的例子.這樣不僅讓課堂高效，還可以增強學生的民族自豪感和社會責任感，提升文化自信.

3.3 “學史崇德”，數學史是德育價值的重要體現

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》指出：“數學是人類文化的重要組成部分.數學課程應適當反應數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神.”歷史上，數學家為了論證某個結論通常會花費大量的時間，經歷巨大的困難與挫折，但是他們依然孜孜不倦，上下求索，這種精神是值得學習的.

3.4 “學史力行”，數學史是高考評價的重要形式

教育部考試中心發布的《中國高考評價體系》由“一核”“四層”“四翼”組成，其中“四翼”指高考的考查要求為“基礎性、綜合性、應用性、創新性”.數學文化是高考的熱點，數學史是數學文化的重要組成部分.數學史正是反映了“應用性、創新性”的考查要求，因此在教學中，教師應力所能及地介紹數學史中的問題，這不僅符合高考的要求，而且有利于學生數學素養的提升.

4 結束語

數學史融入課堂教學可以讓課堂更加生動、有趣，激發學生的好奇心.按照一定的主線，將數學知識與相關數學史結合，不斷提出驅動性問題，從而促使學生層層遞進，一步一步深入探索數學知識.這樣，數學史把對知識的感知、理解、鞏固、應用融為一體，很好地呈現了知識的生成過程，加深學生對知識的理解.學生在學習知識的同時感受前人的智慧，努力培養自己的務實和理性精神，從而不斷地提升數學素養.