統計學專業本科生數學觀研究

吳 量，嚴 卿

（1.西南財經大學統計學院 四川 成都 611130；2.湖北大學師范學院 湖北 武漢 430062）

在信息社會與大數據時代，數學素養，特別是統計學素養的重要性越來越明顯。在實際生活中遇到的問題往往不是簡單而線性的，面對大量的信息與數據，勢必需要加以鑒別，評估、比較與選擇處理信息的方法，并反思得到的結果。NCTM（美國數學教師協會）指出，具備統計學知識是做出關鍵而明智的決定的前提[1]。然而，即便具有相應的知識，并不意味著我們能夠得到可靠的結果，我們所持有的觀念同樣會產生重要的影響。例如，如果個體持有“可誤主義”的數學觀，那么他在處理數據時，便有更大可能去比較不同數據處理方法的優劣，并對得到的結果加以反思。

本研究通過編制調查問卷，調查統計學專業本科生數學觀的現狀，在此基礎上探討課程等因素對數學觀的影響。

1 研究設計

1.1 調查問卷的編制

狹義上，數學觀是對“數學是什么”這一問題的回答。相關研究對這一定義進行了推廣，通常涉及“數學知識的復雜性”“數學知識的價值性”“數學知識的來源與辯護”等問題[2]。基于此，本研究建立了四維度的評價框架：知識的確定性，知識的復雜性，知識的價值性，知識的辯護，并在此基礎上選編題項。初步編制的問卷共計29 道題，采用李克特6 點式計分。

為了檢驗問卷是否科學有效，研究選取594 名樣本進行了預測試，對得到的數據分別進行項目分析、探索性因素分析以及驗證性因素分析。在刪減了部分題目后，問卷的結構調整為“知識的確定性”“知識的價值性”“知識的活動性”三個維度，具有較好的信度和結構效度。

1.2 研究對象

在國內某211 高校的統計學院發放問卷，共回收有效問卷465 份。其中，女生301 人，男生164 人；大一126 人，大二179 人，大三160 人。問卷發放時間為秋季學期開學后的一個月內。在對問卷數據進行分析的基礎上，選取部分教師與學生進行訪談。

2 研究結果

2.1 統計學專業學生總體上持有比較積極的數學觀

考慮到不同維度試題數量不同，將各維度總分除以題數，得到各維度的均分，對于總問卷也按相同方式處理。取3.5 分作為檢驗值，考查其與總問卷及各維度均分之間的差異，單樣本t 檢驗結果顯示差異均達到顯著水平。這表明，無論是在總問卷還是各個維度上，統計學專業本科生都持有比較積極的數學觀。

2.2 學生數學觀在大一期間呈消極化趨勢

以年級為自變量，總問卷及各維度均分為因變量進行單因素方差分析。結果顯示，年級差異達到顯著水平。事后多重檢驗結果顯示，大一學生得分高于大二（p<0.001），大一學生得分高于大三（p<0.001）。大二與大三間的差異則未達到顯著水平（p>0.05）。

具體到各維度，“價值性”與“活動性”的年級差異情況與總問卷基本一致。而在“確定性”維度，僅大一與大三學生的差異達到顯著水平（p<0.05）。總體上，大二與大三學生的數學觀得分比較接近，且均低于大一學生。

2.3 男、女生數學觀的變化趨勢存在差異

性別是數學能力研究中的一個重要變量，這一因素在數學觀問題上是否也存在某種效應，同樣值得關注。以年級、性別為自變量，分別以總問卷及各維度均分為因變量，進行3×2 方差分析。

對總問卷的方差分析結果顯示，性別主效應不顯著（p>0.05），年級主效應顯著（p<0.001），性別與年級的交互效應顯著（p<0.05）。由此可見，盡管從總體上而言，男、女生的數學觀十分接近，但從大一到大三，表現出不同的變化趨勢：女生的數學觀得分在大一到大二之間有一個明顯的下降，大二到大三間保持穩定；男生的得分盡管也呈下降趨勢，但三個年級間的差異并未達到顯著水平。對于各維度得分，亦呈現出類似的結果。

2.4 不同專業學生數學觀存在差異

從大二開始，隨著專業分流，學生所學課程也有所區別，有必要考查這些課程的學習對數學觀的影響。以專業為自變量進行獨立樣本t檢驗，結果顯示，不同專業學生總問卷均值的差異達到顯著水平（p<0.05）。事后多重檢驗結果表明，經濟統計專業得分高于管理科學與工程，且差異達到顯著水平（p<0.05），而這一差異主要來自“活動性”維度（p<0.05）。

3 分析與討論

3.1 對數學觀結構的分析

數學觀的結構是該領域一個基礎性的問題，也是相關研究的前提。本研究首先建立了一個四維度的理論框架，但數據支持的則是三因素的結構。其中，“知識的確定性”與“知識的價值性”均屬于預設的維度，但“知識的活動性”則與預設不同。“活動性”的提出參考了“數學活動論”。鄭毓信指出，數學包括知識成分與觀念成分。其中，知識成分是由問題、語言、方法、命題構成的多元復合體，觀念成分表現為數學家共同體在工作中的能動性等[3]。這一理論主張數學知識不是定理與法則的簡單匯集，強調了數學知識發展中過程性、動態性的一面。因素分析的結果驗證了這一理論的合理性。

3.2 對數學觀整體現狀的分析

根據研究結果，統計學專業學生總體上持一種比較積極的數學觀，他們更傾向于認同數學并非絕對真理，數學知識具有實際價值，并且用一種動態的觀點來認識數學的發展過程。與國外相關研究對比可以發現[4]，我國統計學專業學生的數學觀是較為成熟的。

這種成熟一定程度上可以歸結為21 世紀以來的基礎教育數學課程改革。近年來的基礎教育數學課程越來越重視知識背景情境的創設、問題的引領以及數學史與數學文化的融入。在訪談中，圍繞數學知識的確定性問題，多名學生提及了非歐幾何的創立與三次數學危機。對這些事實的了解是學生認同數學知識可誤性、活動性的主要依據。

3.3 對數學觀個體差異的分析

通過研究不同群體間數學觀的差異，可以揭示出數學觀的一些影響因素，進而對數學觀的塑造提供啟示。本研究中，主要考慮了年級、性別、專業等因素。

年級差異主要體現在大一到大二之間存在一個比較明顯的下滑。由于問卷施測于秋季開學后不久，大一學生的數學觀反映了高中畢業時的水平。這一結果和已有的一些研究并不一致。在Schommer 等的研究中，高年級的學生往往具有更加成熟的認識信念，因為他們所學的知識更加豐富，對于知識發生、發展的過程有更深入的理解[5]。而在本研究中，通過對師生的訪談可以發現，造成這種現象的主要原因在于數學類課程的教學方式。這些課程本身就具有高度形式化、抽象化的特征，在教學中又往往遵循“概念+習題”這樣一種“演繹”的模式。學生很難將大學階段的數學知識與實際問題聯系在一起，很少有機會經歷數學知識的發生、發展過程，對于數學發展過程中的挫折與數學家努力過程中的選擇性缺乏了解，學習到的只是作為結果的、看起來十分完備的知識體系。因此，與大一相比，大二、大三學生更傾向于認為數學知識是客觀的、絕對真理的集合。

性別差異在數學觀的研究中始終獲得了學者相當多的關注，在這些研究中，男、女生在對于知識的看法上往往并不存在顯著差異，這與本研究的結果是一致的。不過，本研究通過兩因素方差分析對性別與年級的關系作了進一步探討，揭示出男女生在數學觀的變化趨勢上存在差異，女生在大一至大二間存在消極化的趨勢。在訪談中，教師普遍表示女生在學習中表現得更為勤奮與認真，這一點與已有研究是一致的[6]。盡管女生對學習有著更為積極的態度，但在面對高度形式化、抽象化的內容時，這種態度就轉化為了如下的典型觀點——“即便一時難以完全理解，但也應該先記憶下來”。女生對自身施加了更高的要求和更大的壓力，這強化了她們對數學知識客觀真理性的認識以及對教學中權威角色的依賴。

在不同專業中，經濟統計學專業的學生持有最為成熟的數學觀，其次是金融統計。實際上，在經濟統計課程中，很多時候學生會面臨著統計學方法選擇上的問題，這些方法在使用條件、結果可靠程度等方面存在差異，因此并不能簡單用“對”或“錯”來評判。即便學生最終決定選擇某一方法，對其局限性的認識也是必要的。再者，這些方法本身仍處于不斷發展中，新的方法往往依賴于新模型的使用，經濟統計專業的學生對此更為熟悉。因此，他們在數學知識的確定性、活動性問題上持有更為成熟的信念。

4 研究結論

基于對研究結果的分析，筆者在此提出優化統計學專業本科生數學觀的教學建議。第一，轉化知識教學的基本邏輯。改變由概念到性質、再到習題的傳統教學模式，創設問題情境，通過對問題的探究引出新的知識，再利用新知認解決最初的問題。新知識的學習與解決實際問題緊密結合，能夠讓學生感悟數學知識的價值性。第二，還原知識的來龍去脈。盡管教材上的數學知識通常以完備、嚴謹的形式呈現，但數學知識在其發展過程中往往充滿了“波折”。知識的發展通常來自問題，在探究問題的過程中，基于形象思維的猜想經常發揮著重要作用，新知識的接受與否則依賴于數學家共同體的認可。知識發展過程中也常常伴隨著反駁、證偽，甚至在很多時候都面臨著無法解決的悖論。在教學中為學生還原這一過程，能夠讓學生感悟數學知識的活動性特征。第三，創設開放性的任務。在傳統數學教學中，任務的設置通常服務于知識點，表現在數學題中就是通常沒有任何多余的條件，并且方法與答案往往是唯一確定的。顯然，這樣的任務會使學生傾向于認為數學知識就是確定性真理的集合，解決數學問題就是“套公式”。開放性任務存在多種解答方法或多個答案，能夠讓學生比較不同的方法，反思思維的方向，感悟數學探究過程中主體的選擇性。