基于數學建模思想的數學核心素養培養研究

●董天琪 關勁秋

一、我國數學核心素養的發展進程

數學核心素養的發展經歷了一個漫長的過程，我國官方的綱領首次提出“數學素養”是在1992年頒布的《初級中學數學教學大綱》中。而“核心詞”一詞是在《義務教育數學課程標準(2011年版)》中首次出現亮相。2014年頒布的《關于全面深化課程改革、落實立德樹人根本的意見》中，首次提出了數學核心素養，而數學核心素養的提出也使如今在教學實踐領域以及教學科學研究領域，就數學學科課程而言,人們越來越重視學生的數學核心素養的提高,那么，對學生進行數學核心素養的培養也自然而然成為了教學研究的重點課題之一。

二、基于數學建模思想的數學核心素養培養研究的理論依據

數學核心素養和數學學科課程的目標與內容休戚相關，數學核心素養是學習者在進行不同階段的教育過程中，以數學課程教學內容為載體，通過數學學科特有的知識技能，逐步發展形成的既能滿足個人終生發展需要，又能滿足適應社會發展需要的數學學科思維與關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合反映。數學建模本身也是依據現實問題，利用數學語言與方法，運用抽象、簡化等方法來構建數學模型，并對數學模型來加以求解，進而通過結果來實現解決現實問題的一種十分有力的數學手段。

從教學的定義來進行分析探究，數學建模就是建立數學模型，是根據建構主義理論的一種自主學習的過程，是一種抽象化數學探究模式，通過合理地應用這種抽象化數學探究模式，十有八九的數據可以被合理地量化，通過運用這種量化可以構建精確高效的數學問題模型。隨著新課程改革的推進，對學生進行數學核心素養和數學建模思想教育已成為必然，這樣一來就要求教師要以數學建模思想為出發點，增強學生數學探究能力、數學解題能力與數學邏輯思維等基本知識結構。從這個方向研究，對學生進行數學建模思想的教育教學，不但能夠推動數學教育的發展，同時還有利于對學生自身的數理生涯進行有效的鋪墊和規劃[1]。

從關聯的角度來進行分析探究，數學建模思想和數學核心素養關系是密不可分的，屬于唇齒相依的關系。通過數學建模來解決問題是一種非常有效的方式，同時數學建模也是能夠實現將數學教育與現實世界銜接的一種方法。教師通過在日常的教學中向學生滲透建模思想，不但可以提升學生的數學核心素養，還可以增強學生分析問題和解決問題的能力，提高學生綜合能力，促進學生全面發展[2]。

三、基于數學建模思想的數學核心素養培養研究發展策略

數學核心素養是在學生的學習過程中逐步形成的，有數學抽象，直觀想象，邏輯推理，數學運算，數據分析幾個方面的能力。在學生進行數學建模的過程中潛移默化地培養了學生的數學核心素養。

（一）基于數學建模思想，培養學生數學抽象能力

1.基于數學建模思想，培養學生數學抽象能力的依據。數學抽象能力是人們從感性認識中獲得事物本質特征的一種必備能力，數學抽象是將實現具體的數學模型與抽象形式之間相互轉化的思維過程。數學建模是數學抽象后的形式化語言，在將實際問題轉換成數學模型的過程中需要將實際問題抽象成數學問題，然后再將數學問題抽象成為符號關系，這其中需要充分地利用抽象思維能力，所以通過數學建模的思想方式能夠有效地培養學生的抽象能力[3]。

2.基于數學建模思想，培養學生數學抽象能力的有效途徑。在數學課程的教學過程中，通過讓學生在建模的情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗，充分揭示數學抽象的過程。建立數學模型以特殊到一般為主線,以知識本質為核心,以知識結構為依托,搭建數學橋梁，實現知識轉換，總結問題規律，使學生在解決問題的同時提高數學抽象能力；通過應用情景教學的方式提高學生建模意識；通過拓展建模思維培養解決問題的能力，從而提升學生的數學學習能力。

例1：通常，包100個餃子需要用1kg的面和1kg的餡。今天，1kg的面不變，但是餡比1kg多了，請問應該多包幾個比平時小的餃子，還是多包幾個比平時大的餃子?通過數學建模思維角度面面相當于餃子的表面積，餡相當于餃子的體積。

簡化假設：

（1）餃子皮的厚度一致

（2）餃子的形狀大小一致

（3）每個餃子都是皮剛好把餡包起來，不多也不少

符號說明

S為餃子皮面的總面積，單位為m2；

s為包餃子時每個餃子所用的皮的面積，單位為m2；

V為餡的總體積，單位為m3；

v為包餃子時每個餃子所用餡的體積，單位為m3；

R為大皮的半徑，單位為m；

r為小皮的半徑，單位為m；

k1為半徑的平方與表面積成正比的系數；

k2為半徑的立方與體積成正比的系數；

K為運算過程中由k1，k2，得到的系數；

n為餃子的數目，單位為個。

模型的建立與求解：

因為在現實生活中，包餃子的過程，存在諸多難以量化統一的量，比如餃子的形狀，大小，餃子皮的厚薄程度等，但是本題對包餃子的過程進行了抽象簡化，把餃子抽象成立體圖形，假定餃子皮和餃子餡完美貼合，所以此式可用s這個立體圖形的表面積代替餃子皮的表面積，V立體圖形的體積代替餃子餡的體積，在這個模型的建立過程中，就將實際的問題轉換成了數學模型，在解決問題的同時，充分的培養了學生的抽象能力。

由表面積和半徑的平方成正比關系，以及體積和半徑的立方成正比得

S=k1×R2，V=k2×R3

由（1）（2）（3）得v=n×n1/2×v

所以v＞n×v并且V是n×v的n1/2倍。

最后得出在1kg面不變的情況下，餡比1kg多，則要多包幾個比平時大一點的餃子。

（二）基于數學建模思想，培養學生直觀想象能力

1.基于數學建模思想，培養學生直觀想象能力的依據。一般來說，在進行數學教學的過程中，教師大致就采用平面幾何、立體幾何和解析幾何這三種基本的數學模型。數學模型的構建對培養空間思維能力，解決實際數學問題有直接的促進作用。模型的構建能起到將繁瑣抽象的問題直觀化進而達到簡單化的效果，因此模型的構建能夠對學生的直觀想象能力產生積極的作用。

2.基于數學建模思想，培養學生直觀想象能力的有效途徑。教師在立體幾何的課堂教學中，可以合理運用于數學建模思想方式輔助教學，在學生學習過程中，引導學生主動地對抽象的幾何問題建立數學模型，然后在對建立的模型進行觀察和分析，找出數學各對象之間存在的密切關系，然后嘗試著根據實際問題自己去建立模型，打開思路，使問題得以簡化，這樣既幫助學生成功解決了問題，又達到了提高學生直觀想象能力的培養效果。在數學課程的教學過程中，學生通過一定的觀察，基于數學建模的思想方法解決問題可以提高自身的數形結合的能力，這是培養學生直觀想象能力的一個基本方式。通過建立數學模型，搭建數形聯系，培養直觀想象能力，利用直觀操作，推進直觀想象進度。

（三）基于數學建模思想，培養學生邏輯推理能力

1.基于數學建模思想，培養學生邏輯推理能力的依據。數學建模的基本思想和邏輯推理能力都是學生數學核心素養能力的重要體現，如果能將二者進行有效的結合，那么一定會起到事半功倍的作用。因此，教師在教學時可以引導學生按照從特殊到一般的思維順序進行自主建模，讓學生依據建模的邏輯思維順序來思考并解決相關的問題，從而使學生們的數學思維能力得以全面升華。

2.基于數學建模思想，培養學生邏輯推理能力的有效途徑。在數學的教學過程中，教師可以先引導學生從特例中總結規律，然后再靈活地將其推廣到一般的應用之中，這樣學生們便能夠在自主建模學習的過程中，掌握相關的思維邏輯順序，提升解題效率和學科核心素養能力。構建多樣化的教學情境，滲透數學文化，建立數學模型，優化數學思想方法教學，培養學生分析問題的能力，加強教學內容之間的聯系，培養學生的歸納推理能力；豐富邏輯知識，借助數學建模，發展學生的演繹推理能力。

例如，對于“同底數冪的乘法法則”這部分內容進行教學時，舉一個非常簡單的例子，即計算100×10000，學生可以很輕松的計算出它的答案，那么如果將這個式子構建成一個同底數冪的乘法運算模型，即100×10000＝102×104＝102+4＝106，那么學生們同樣可以很清晰的觀察到在進行同底數冪的乘法運算時，指數應當等于兩個因數的冪的和，再將其推廣應用到一般的模型中便不難得到以下結論:am×an=am+n，a≠0。按照這種邏輯思維順序,學生們便能夠很容易理解同底數冪的乘法法則這一數學要點的精髓，并且在做題時將其靈活應用[4]。

（四）基于數學建模思想，培養學生數學運算能力

1.基于數學建模思想，培養學生數學運算能力的依據。如果說數學是自然科學之母，那么數學運算能力則是其嫡長子。對學生進行數學運算和運算能力的培養對提升學生數學核心素養有著重大意義，由于在數學建模的求解過程中需要大量的運算，所以通過數學建模的方式可以促進學生數學運算能力的發展，兩者可以相輔相成，在數學建模的解題過程中潛移默化地促進數學運算思維發展。

2.基于數學建模思想，培養學生數學運算能力的有效途徑。創設趣味情境，建立模型，激發學生運算興趣，逐步深化學生對運算的認識；充分利用構建數學模型，促進學生對問題的理解與轉化，進而提高對運算思路的有效探求，實現運算過程的具體化與直觀化；滲透建模思想，加強學生對運算過程的重視及運算結果的恰當表達，提高學生對數學運算過程與運算結果進行適當驗算的意識，培養數學運算與數學思維的發散性與靈活性，引導學生盡可能發掘多樣化算法巧解復雜計算，強調運算思維，總結運算方法，完善知識體系，建立數學模型，構建數學運算認知結構。

例2：一飼養場讓一頭60kg的豬每天增重2.5kg需要花費6元費用，用于飼養、設備和人力等方面。現在的市場售價為12元/kg，但是預測每天豬的價格會降低0.1元，請問該飼養場該什么時候出售這樣的豬？

模型假設：

每天花費6元使豬每天體重增加的常數為r,r為2.5kg；豬的市場售價每天降低的常數為g，g為0.1元。

符號說明：t為繼續養豬的時間，單位為天；w為豬的體重，單位為kg；P為豬的單價，單位為元/kg；R為豬出售的收入，單位為元；Q為出售豬賺取的純利潤，單位為元；C為t天投入的資金，單位為元。

模型建立：

依據假設w=60+rt（r=2.5），p=12-gt（g=0.1）

又知道r=pw，c=6t

由于純利潤應該減去以當前市場售價（12元/kg）出售60kg豬的收入，則有Q=R-C-12×60

得到目標函數，即純利潤為Q（t）=（12-gt）（60+rt）-6t-720

其中r=2.5，g=0.1

求t（≥0）使Q（t）最大

當r=2.5，g=0.1時，t=40，Q（36）=324

即10天后賣掉這樣的豬，可以獲得最大的純利潤，該純利潤為324元。

（五）基于數學建模思想，培養學生數據分析能力

1.基于數學建模思想，培養學生數據分析的依據。數據分析能力是有組織地、有目地收集數據，分析數據，使之成為信息的過程。數學建模是借助數學模型的方式將抽象的數學問題具象化展示，而數據分析可以將抽象的數學知識加以邏輯推理和理性分析，從本質上來說，二者都是抽絲剝繭的數學探究和資源梳理過程。通過構建模型可以將提取的信息進行數據推理進而獲得結論，通過數學建模可以有效地推動數據分析的過程。如果將這兩種能力加以聯合培養，則可以實現數學知識的掌握、學習能力的強化和數學建模與數據分析核心素養的逐步完善。

2.基于數學建模思想，培養學生數據分析能力的有效途徑。在數學教學的過程中，采集典型數據，構建數學模型，培養學生數據整理能力；創設合理情境，構建數學模型，以此激發學生數據探究欲望；滲透數學建模思想樹立統計意識，培養學生數據分析觀念，提升學生運用數據表達現實問題的意識；運用數據建模方式對數據進行整理分析，幫助學生獲取有價值信息并進行定量分析，從而滿足數學化學習的基本需求。

四、結語

在數學教學過程中，在數學核心素養培養這一大目標下，教師應從數學建模思想的教學入手，并根據實際教學情況和現實生活實際去設計相關教學內容，有意識地培養學生的建模思想，并在這一基礎上培養學生將復雜、抽象的數學邏輯知識轉化為簡單、形象的模型問題，從而使得學生的數學核心素養能力得到發展。