利用含δ 介子的相對論平均場理論研究中子星潮汐形變性質

刁彬 許妍? 黃修林 王夷博

1) (中國科學院國家天文臺長春人造衛星觀測站,長春 130117)

2) (中國科學院大學天文與空間科學學院,北京 100049)

開展中子星宏觀性質的研究,對于揭示中子星內部組成和結構具有重要意義.本文基于相對論平均場理論模型,研究了 δ 介子對傳統中子星和超子星物態方程、最大質量、勒夫數和潮汐形變能力的影響.結果表明,對于中小質量傳統中子星(或超子星),δ 介子使其潮汐形變能力變強;隨著傳統中子星(或超子星)質量的增加,δ 介子對其潮汐形變能力影響逐漸減弱;尤其對于大質量超子星,含有δ 介子的超子星潮汐形變能力相比不含δ 介子的超子星變弱.此外,在相同質量下超子的存在會降低星體的潮汐形變能力,在本文所選的參數下,含有δ介子的星體中,僅同時含Λ,Σ和Ξ超子的超子星潮汐形變能力能同時滿足GW170817 和GW190814 天文觀測約束.隨著與中子星相關的引力波數據逐漸增加,將為人們判斷超子星內超子種類提供一個可能的途徑.

1 引言

中子星是宇宙中除黑洞以外最致密的一類星體,對于中子星性質的研究為人們理解極端條件下高密物質的性質和行為提供了新的維度.1967 年,Hewish 等[1]發現第一顆脈沖星PSR B1919+21,不久Gold[2]就證實其為一顆快速旋轉的中子星,隨后關于中子星物態方程的研究迅速發展.然而,由于中子星內部結構主要由參與強相互作用的粒子主導,當前研究人員只能借助地面核實驗和天文觀測如中子星質量、半徑、引力波輻射等對中子星宏觀性質進行限制,通過唯象或微觀核多體理論模型對中子星物態方程和內部結構展開了大量的研究[3?12].

2017 年8 月17 日,激光干涉引力波天文臺和室女座引力波天文臺等成功探測到雙中子星并合引力波信號即GW170817 事件,則為研究中子星物態方程打開了新的窗口[13].在雙星系統中,一般用無量綱的潮汐形變因子Λtidal來反映星體的潮汐形變能力,而潮汐形變因子又與星體的物態方程息息相關.雙星系統的演化一般分為旋進、并合、鈴宕三個階段.雙中子星相互繞轉時,會因輻射引力波而相互靠近.在旋進的后期,因為伴星的存在使得中子星發生潮汐形變,星體的潮汐形變因子可由這一階段的引力波信號與點質量結果的偏離給出.因此,可以用雙中子星并合的引力波信號來限制中子星物態方程.到目前為止,已發現了5 例與中子星相關的引力波事件即: GW170817,GW190814,GW190425,GW200105 和GW200115[14?17].基于GW170817 和GW190814 事件,學者指出 1.4M⊙中子星潮汐形變因子取值范圍分別為和這些引力波事件對限制中子星物態方程、分析星體內部物質成分產生了深遠影響[18?22].

許多學者針對中子星潮汐形變性質開展了大量意義深刻的工作.2018 年,Zhu 等[23]提出了一種可以很好地描述GW170817 觀測結果并能約束夸克層次中子星物態方程,即“QMF18”模型.2019年,Biswas 等[24]利用GW170817 事件對中子星內部壓強的各向異性進行了研究,指出壓強的各向異性能大幅降低中子星潮汐形變能力.2020 年,Essick 等[25]利用非參數方法分析了中子星物態方程、內部物質成分和星體最大質量,并指出GW170817事件支持軟的中子星物態方程并強調了利用引力波數據約束中子星物態方程的良好前景.2021 年,Miao 等[26]用貝葉斯統計方法基于GW170817,GW190425 和PSR J0030+0451 的天文觀測約束研究了中子星轉動慣量,在90%可信度下估算了PSR J0737—3039 的轉動慣量理論值范圍.2022年,Huang 等[27]利用相對論平均場理論模型研究了超子星潮汐形變性質,指出引力波探測為研究中子星結構提供了良好的途徑,希望未來可以從引力波中得到特殊的信號,幫助人們確定中子星內是否包含超子.如果中子星內部出現超子,如何判斷超子的種類一直都是中子星物態方程研究中的熱點和焦點問題,并且為了能夠體現星體內核子(n和p)或超子(Λ,Σ 和Ξ)有效質量的差別,學者們在相對論平均場理論模型中引入了同位旋矢量-標量介子δ 來描述星體的性質.1997 年,Kubis 和Kutschera[28]在相對論平均場理論模型下研究了δ 介子對中子星性質的影響,指出δ 介子使得中子單粒子能增加,質子豐度增加,并且中子和質子的有效質量會發生劈裂.2009 年,喻孜等[29]在相對論平均場理論模型下研究了δ 介子對熱前中子星性質的影響,指出δ 介子使得熱前中子星內超子豐度升高,但是這種趨勢會隨著星體溫度的升高逐漸減弱.2010 年,邵國運和劉玉鑫[30]在相對論平均場理論模型下研究了δ 介子對含和不含反K 介子凝聚相超子星粒子分布、半徑和質量的影響.2018 年,孫保元等[31]利用相對論平均場理論模型展開了δ 介子對星體轉動慣量研究,指出δ 介子會抑制星體殼層和總的轉動慣量,并使得殼層轉動慣量和星體總轉動慣量的比值也受到抑制.前人的工作表明,δ 介子出現會改變星體微觀和宏觀性質[32?36],這必然也會改變星體潮汐形變性質.因此,本文在相對論平均場理論框架下主要研究δ 介子對傳統中子星和超子星潮汐形變性質的影響.

本文將在第2 節給出包含δ 介子的相對論平均場理論模型下傳統中子星和超子星物態方程,廣義相對論流體靜力學平衡方程和求解中子星潮汐形變因子微分方程;第3 節討論傳統中子星和超子星物態方程、質量-半徑關系、勒夫數和潮汐形變因子在考慮和不考慮δ 介子時將有怎樣的變化;第4 節對本文研究進行總結.

2 理論基礎

2.1 包含 δ 介子的相對論平均場理論模型

在本文中,為了更直觀地說明δ 介子對星體潮汐形變性質的影響,將采用包含σ,ω,ρ 和δ 介子一種比較簡化的相對論平均場方法[37?41].其中同位旋標量-標量介子σ 反映重子間吸引力,同位旋標量-矢量介子ω 反映重子間短程排斥力,同位旋矢量-矢量介子ρ 反映中子和質子的差別,同位旋矢量-標量介子δ 反映屬于同一種類但具有不同同位旋量子數重子有效質量的差別.

描述中子星物質的拉格朗日密度可以寫成以下三個部分:

把拉格朗日密度(1)式—(4)式代入Euler-Lagrange 方程,在相對論平均場近似下,重子場和介子場運動方程可以簡化為

2.2 廣義相對論流體靜力學平衡方程

為了獲得中子星質量 (M) 和半徑 (R),我們常常需要借助廣義相對論流體靜力學平衡方程[43,44],其具體的表達式如下:

其中p(r),?(r)和M(r) 分別表示半徑r處星體的壓強、能量密度和質量.結合物態方程(13)—(20),可以獲得中子星質量-半徑關系,由此可以把理論結果與中子星質量測量數據聯系起來.

2.3 中子星潮汐形變因子

yR可以通過求解如下微分方程獲得[47]

方程(23)滿足邊界條件y(0)=2[48],p(0)=pc和M(0)=0,式中F(r) 與Q(r) 都是中子星E(r),P(r)和M(r) 的函數,具體表達式如下:

中子星潮汐形變因子可以表示為k2,M和R的關系,具體表達式如下:

結合中子星物態方程和廣義相對論流體靜力學平衡方程,可以獲得星體的潮汐形變因子理論值.

3 中子星宏觀性質及數值結果

在本文中,采用了較簡單的中子星模型,假設中子星核心是由n,p和l(傳統中子星)或n,p,l,Λ,Σ+,Σ0,Σ?,Ξ?和 Ξ0(超子星)組成.前人的工作表明: 中子星內出現同位旋矢量-標量δ 介子會改變星體物態方程,使得星體內部物質狀態發生一系列改變,因此必然會影響星體的潮汐形變性質.因此,在本文中著重分析δ 介子對傳統中子星和超子星潮汐形變性質的影響,主要分以下6 種情況討論: 1) 不考慮δ 介子的影響,中子星核心僅含有核子n,p和輕子l(記作pn,no δ);2) 考慮δ 介子的影響,中子星核心僅含有核子n,p和輕子l(記作pn,with δ);3) 不考慮δ 介子的影響,中子星核心含有重子n,p,Λ,Ξ 和輕子l(記作pnH no Σ,no δ);4) 考慮δ 介子的影響,中子星核心含有重子n,p,Λ,Ξ 和輕子l(記作pnH no Σ,with δ);5) 不考慮δ 介子的影響,中子星核心含有重子n,p,Λ,Σ,Ξ 和輕子l(記作pnH,no δ);6)考慮δ介子的影響,中子星核心含有重子n,p,Λ,Σ,Ξ 和輕子l(記作pnH,with δ),計算過程中涉及的參數和飽和密度處核物質性質分別列在表1和表2 中.

表1 各參數的取值.其中,fi=(gi/mi)2(fm2),i=σ,ω,ρ和δ .介子質量取值如下: mσ=550 MeV,mω=783 MeV,mρ=763 MeV 和 mδ=983 MeV .超子耦合常數表示為與核子耦合常數的比值,即 xi=giH/gi,i=σ,ω,ρ和δ,具體取值為 xωB=0.783,xσB=xδB=xρB=0.7[49]Table 1.Parameter sets.fi=(gi/mi)2fm2,i=σ,ω,ρ and δ,we take mσ=550 MeV ,mω=783 MeV ,mρ=763 MeV and mδ=983 MeV .The ratios of coupling constants between hyperons and nucleons can be expressed xi=giH/gi,i=σ,ω,ρ and δ.Their values x ωB and xσB , xδB , xρB are 0.783 and 0.7,respectively [49].

表1 各參數的取值.其中,fi=(gi/mi)2(fm2),i=σ,ω,ρ和δ .介子質量取值如下: mσ=550 MeV,mω=783 MeV,mρ=763 MeV 和 mδ=983 MeV .超子耦合常數表示為與核子耦合常數的比值,即 xi=giH/gi,i=σ,ω,ρ和δ,具體取值為 xωB=0.783,xσB=xδB=xρB=0.7[49]Table 1.Parameter sets.fi=(gi/mi)2fm2,i=σ,ω,ρ and δ,we take mσ=550 MeV ,mω=783 MeV ,mρ=763 MeV and mδ=983 MeV .The ratios of coupling constants between hyperons and nucleons can be expressed xi=giH/gi,i=σ,ω,ρ and δ.Their values x ωB and xσB , xδB , xρB are 0.783 and 0.7,respectively [49].

表2 飽和核物質性質,飽和密度值以及在飽和密度處對稱能、對稱斜率和不可壓縮系數值[49]Table 2.Properties of nuclear saturation density,namely,the values of the nuclear saturation density ρ0,the symmetry energy Esym,the symmetry energy slope L and the incompressibility Kv [49].

圖1給出了6 種情況下星體物態方程.從圖1中可以看出,傳統中子星和超子星的壓強均隨著能量密度的增加而增加;在中低密度區域,δ 介子出現后使傳統中子星和超子星物態方程均變硬;在高密度區域,δ 介子出現使星體物態方程均變軟.在相同質量下,與傳統中子星物態方程相比超子星物態方程明顯變軟,其中在包含Σ 超子的超子星物態方程情況5)和情況6)最為明顯.

圖1 6 種情況下,星體物態方程Fig.1.Equation of states for neutron star matter in the six cases.

圖2 給出了6 種情況下星體質量-半徑關系.圖中陰影區域分別表示PSRs J1903+0327 和J0453+1559 的質量測量值,橙色誤差棒表示中子星內部成分探測器公布的孤立中子星PSR J0030+0415 的質量、半徑測量值.從圖2 中可以看到,δ 介子出現使得相同質量的傳統中子星和超子星半徑均增大,然而這一改變隨著星體質量的增加逐漸減弱;這是由于在中低密度區域δ 介子使星體物態方程變硬,導致在相同質量下含δ 介子的星體半徑更大;在高密度區域δ 介子會使星體物態方程變軟,導致在相同質量下含δ 介子的星體半徑變大幅度減小.對于較小質量的星體,由于其內部沒有生成超子,因此傳統中子星與超子星質量-半徑關系重合;隨著星體質量的增加,不同種類的超子開始在星體內部陸續出現形成超子星,相同質量下超子星半徑要明顯小于傳統中子星半徑,并且超子星最大質量明顯小于傳統中子星最大質量.表3 中給出了6 種情況下星體最大質量對應的半徑、勒夫數和潮汐形變因子以及最大半徑對應的質量、勒夫數和潮汐形變因子.從圖2 和表3 可以清晰地看到,6 種情況下星體的最大質量變化較大,其中含有δ 介子的傳統中子星即情況2)的最大質量最大,其值可以達到2.119 M⊙;而含有δ 介子的超子星即情況6)最大質量最小,其值為1.691 M⊙;情況1)—情況5) 中最大半徑星體對應的都是傳統中子星,僅在情況6) 時最大半徑星體對應的是含有Σ 超子的超子星.此外,6 種情況下的質量-半徑關系均與PSRs J1903+0327 和J0453+1559 的質量測量值以及孤立中子星PSR J0030+0415 的質量、半徑測量值符合良好.

表3 6 情況下,星體最大質量及其對應的半徑、勒夫數和潮汐形變因子;星體最大半徑及其對應的質量、勒夫數和潮汐形變因子Table 3.Values of the maximum masses M and the corresponding radii R,the tidal Love numbers k2 and the tidal deformabilities Λtidal.Values of the maximum radii R and the corresponding masses M,the tidal Love numbers k2 and the tidal deformabilities Λtidal with the six cases.

圖2 6 種情況下,星體質 量-半 徑關 系.不同顏色條紋區域分別表示PSRs J1903+0327 和J0453+1559的質量測量值 和 M⊙ [50,51],橙色誤差棒表示PSR J0030+0415 的質量和半徑測量值范圍,其質量測量值為M⊙ 和 M⊙,相應半徑值為km 和 km[52]Fig.2.Mass -radius carves for the six equation of states.The striped areas of different colors stand for the constraints inferred from PSRs J1903+0327 and J0453+1559,and their mass measurement values are M⊙ andM⊙[50,51],respectively.The orange error bars express the constraints on the mass-radius limits of PSR J0030+0451,and its mass measurement values areM⊙ and M⊙,the corresponding radius values are km and km,respectively [52].

圖3 給出了6 種情況下星體勒夫數-質量關系.其中黑色虛線表示當星體質量取1.4 M⊙時勒夫數理論值區間,陰影區域分別表示PSRs J1903+0327 和J0453+1559 的勒夫數理論值區間.從圖3中可以看出,對于中小質量星體,δ 介子會使得相同質量的傳統中子星(或超子星)勒夫數減小;但是,隨著星體質量的增加,δ 介子對星體勒夫數的抑制作用逐漸減弱.從圖3 還可以看出,超子的陸續出現會抑制星體勒夫數,并在包含Σ 超子的超子星即情況5)和情況6)下表現最為明顯.

圖3 6 種情況下,星體勒夫 數-質 量關 系.其中不同顏色條紋區域分別表示PSRs J1903+0327 和J0435+1559 的勒夫數理論值范圍,黑色虛線表示星體質量取 1.4M⊙ 時勒夫數理論值Fig.3.Tidal Love numbers as a function of the masses for the six equation of states.The striped areas of different colors stand for the theoretical values ranges of the tidal Love numbers for PSRs J1903+0327 and J0435+1559,respectively.The vertical dashed line indicates as M=1.4 M⊙ .

圖4 給出了6 種情況下星體潮汐形變因子-質量關系.陰影區域分別表示PSRs J1903+0327 和J0453+1559 潮汐形變因子理論值范圍,彩色誤差棒分別表示引力波信號GW170817 和GW190814對星體潮汐形變因子的約束范圍.從圖4 可以看到,對于中小質量的星體,δ 介子使得相同質量的傳統中子星(或超子星)潮汐形變因子變大;隨著星體質量的增加,δ 介子對星體潮汐形變能力影響逐漸減弱,特別是含有δ 介子的大質量超子星潮汐形變能力弱于不含δ 介子的超子星;這是由于星體潮汐形變能力對于半徑五次方和勒夫數一次方依賴,如(26)式所示.從圖4 中還可以看到,隨著星體質量的增加超子陸續出現,使得超子星潮汐形變因子要小于傳統中子星潮汐形變因子,在包含Σ 超子的超子星即情況5)和情況6)下表現最為明顯;這是因為在相同質量下含有超子的星體半徑和勒夫數均減小,如圖2、圖3 和(26)式所示.表4 中列出了六種情況下1.4 M⊙中子星、PSRs J1903+0327 和J0453+1559 半徑、勒夫數、潮汐形變因子的理論值.此外,在本文所選參數下含有δ 介子的傳統中子星和超子星潮汐形變因子均滿足GW190814 天文觀測約束;但是,僅含有Λ,Σ和Ξ 超子的超子星才能同時滿足引力波信號GW190814 和GW170817 的天文觀測約束;可見,含δ 介子的超子星其內部不同的超子種類對于人們理解星體潮汐形變性質至關重要.相信未來將有更多與中子星相關的引力波數據可用于進一步限制中子星物態方程和潮汐形變性質,這將有助于完善中子星理論模型并揭示星體內超子的種類.

表4 6 種情況下,1.4 M⊙ 中子星、PSRs J1903+0327 和PSR J0453+1559 半徑、勒夫數和潮汐形變因子的理論值Table 4.Theoretical values for the radii,the tidal Love numbers and the tidal deformabilities for the 1.4 M⊙ neutron star,PSRs J1903+0327 and J0751+1087,respectively.

圖4 6 種情況下,星體潮汐形變因子-質量關系.不同顏色條紋區域分別表示PSRs J1903+0327 和J0453+1559 脈沖星的潮汐形變因子理論值范圍,彩色誤差棒分別表示GW170817 和GW190814 對于星體潮汐形變的約束Fig.4.Tidal deformabilities as a function of the masses for the six equation of states.The different colors striped areas stand for the theoretical values of the tidal deformabilities for PSRs J1903+0327 and J0751+1087,respectively.The color error bar expresses the constraints from GW170817 and GW190814 events for the tidal deformabilities.

4 結論

本文在相對論平均場理論框架下研究了同位旋矢量-標量介子δ 對傳統中子星和超子星質量、半徑、勒夫數和潮汐形變因子的影響.結果表明,對于中小質量星體,δ 介子出現使得星體半徑變大、勒夫數減小和潮汐形變能力變強;隨著星體質量的增加,δ 介子對星體半徑、勒夫數和潮汐形變能力影響逐漸減弱;特別是對于大質量超子星,含有δ 介子的大質量超子星潮汐形變能力弱于不含δ 介子的超子星.此外,超子星中超子的陸續出現會明顯的降低超子星最大質量、勒夫數和潮汐形變能力.對于含有δ 介子的星體,僅同時含有Λ,Σ 和Ξ 超子的超子星可以滿足兩個引力波信號GW190814和GW170817 的天文觀測約束,這也許可以作為超子星內含有Σ 超子的一個理論參考.未來人們將獲得更多中子星質量、半徑和引力波探測數據,將有助于進一步限制中子星物態方程,這將對揭示中子星內部物質成分非常有益.

在本文中,雖然我們的數值結果能夠清晰的反映δ 介子對傳統中子星(超子星)潮汐形變能力的影響,但仍然存在許多不足之處,比如該數值結果對模型和參數具有依賴性,在模型中我們也沒有考慮如σδ2和σ2δ2等介子之間復雜的相互作用.因此,后續我們會根據這些不足之處開展更加深入的研究.

感謝中國科學院國家天文臺韓金林研究員和南開大學胡金牛教授的討論與幫助.