應用重力場模型二階位系數及新近歲差率約束火星內核大小及密度組成*

鐘振 文麒麟 梁金福

(貴州師范大學物理與電子科學學院,貴陽 550025)

針對當前InSight 數據無法檢測火星固態內核是否存在的問題,提出利用火星平均密度和平均慣性矩因子估算火星固態內核的大小及其密度組成.根據火星高階重力場模型JGMRO120f 和GMM3-120 以及最新火星歲差率,推導了觀測數據下的火星平均密度和平均慣性矩因子;參考火星內部結構的4 層模型以及不同自由參數(殼層密度、幔層密度、外核密度、內核大小和內核密度),求解了火星平均密度和平均慣性矩因子的模型值.利用觀測值與模型值最小殘差平方和作為約束條件,大批量統計結果表明: 1)兩個重力場模型求解的自由參數具有相同的分布特征,自由參數的最優值基本一致;2)火星殼層密度、幔層密度和外核密度接近其他研究結果,表明統計結果有一定的參考價值;3)火星可能存在840 km 左右的固態內核,其密度約為6950 kg?m–3.內核密度大小表明火星內核不由純鐵物質組成,該結果與火星核富集輕元素物質的近期研究一致,計算結果具有一定的參考價值.由于反演結果的非唯一性,未來隨著InSight 火星星震數據處理技術的提高,有望進一步約束火星內核的大小及其組成.

1 引言

作為巖石質天體的火星,其南半球高地火星殼內存在的剩磁,揭示了火星核早期存在發電機效應[1].通過研究火星核的大小及密度組成,可以探究巖石質行星自吸積形成后的早期分異、行星核發電機效應和行星幔熱演化模式等,進而從比較行星學的角度推測巖石質天體的演化歷程[2].由于早期缺乏直接觀測數據,特別是全球性的火星物理數據,火星核的大小及組成在早期主要由隕石成分間接進行估算[3].通過隕石分析,結合火星物理模型,特別是黏彈性熱動力學模型,推測火星存在液態核的可能性較大,火星核的大小在1730—1840 km 之間[4,5].類似地,Bagheri 等[6]利用流體模型仿真火星內部的黏彈性潮汐響應,發現火星核可能為液態,其大小在1750—1890 km 之間.隨著越來越多火星探測器的成功發射,利用眾多探測器(例如,海盜號(Viking),火星探路者號(Mars Pathfinder),火星全球勘測探測器(Mars global surveyor,MGS),火星奧德賽探測器(Mars Odyssey,ODY)和火星勘測軌道器 (Mars reconnaissance orbiter,MRO))軌道跟蹤數據反演火星核的大小及密度組成也成為可能[7,8].Rivoldini等[9]利用火星探測器軌道跟蹤估算的平均慣量矩和平均密度,發現火星核為液態的可能性較大,火星核的大小在1794 km 左右.Konopliv 等[10]利用火星探測器多年的軌道跟蹤數據,發現火星存在類似地球的錢德勒擺動(Chandler wobble),并利用錢德勒擺動推測火星核的大小約為1790 km.

無論從隕石數據著手的熱動力學模型,還是基于火星探測器軌道跟蹤數據的力學模型,盡管推測火星液態核的大小在1800 km 左右,但還不能最終確定火星核的大小和狀態.隨著火星洞察號InSight (the interior exploration using seismic investigations,geodesy,and heat transport)任務的成功實施,St?hler 等[11]利用InSight 任務期間積累的火星星震數據,最終確定液態火星核的大小在1830 km 左右,但還不能確定火星內核的大小.利用平均慣性矩因子,結合火星平均密度,為估算火星內核大小及密度組成提供了一條有效的解決之路,Sohl 等[12]曾利用這種辦法估算了火星核的大小及密度分布.隨著眾多火星探測器軌道跟蹤數據的加入,火星平均慣性矩因子的可靠性不斷增強,Kahan 等[13]結合以往探測器和InSight 軌道跟蹤數據,推算了最新的火星歲差變化率.參考文獻[12,14]的方法,可以通過火星歲差變化率推算較新的平均慣性矩因子,結合火星平均密度,可以推測火星內核大小及密度組成,進而為火星內部結構研究提供一定的參考.

2 火星平均密度和平均慣性矩因子

當前,火星主要高階重力場是JGMRO120d[8]和GMM3-120[7],這兩個模型的最大展開階次均為120 階次.其中,JGMRO120d 主要依據MRO以及部分MGS 的軌道跟蹤數據求解而來,被廣泛應用于后續科學研究中[15,16],目前數據更新后的模型為JGMRO120f[17].GMM3-120 除了參考MRO和MGS的軌道跟蹤數據外,還參考了ODY 的軌道跟蹤數據.在GMM3-120 基礎上,結合火星地形數據MarsTopo2600[18],還產生了新的火星重力場模型GMM3-rm1-lambda-100[19].由于GMM3-rm1-lambda-100參考了地形數據,其高階位系數與模型GMM3-120 存在差異,而低階位系數沒有變化.鑒于上述緣由,本文只對JGMRO120f 和GMM3-120的低階位系數進行研究分析,這兩個模型規格化的低階系數見表1.根據重力場模型提供的火星常數GM,同時參考引力常數G的最新結果[20],可以得到火星的平均質量M.依據求解的火星總質量M以及火星平均參考半徑R,可以求解火星的平均密度ρˉ .不同重力場模型求解的火星總質量M略有差別,以致估算的平均密度ρˉ 也略有差別,但不同模型估算值的偏差不超過10–3kg.火星平均密度偏差在10–1kg 內對火星內核估算的影響幾乎可以忽略不計[12],考慮2 個重力場模型求解的平均密度在10–3kg 內完全一致,表1 給出了該范圍內的火星平均密度.

為了約束火星核的大小及其密度組成,需要估算火星的平均慣性矩I.平均慣性矩I和極軸慣性矩C之間的關系為[12]

其中,M和R分別表示火星總質量和火星平均參考半徑,C20表示重力場模型規格化的二階位系數,如表1 所列.為了方便,這里稱I/(MR2) 為平均慣性矩因子,稱C/(MR2) 為極軸慣性矩因子.在計算平均慣性矩時,需考慮火星塔爾西斯山群(Tharsis)對平均慣性矩的改正[12,21].考慮Tharsis 改正的火星平均慣性矩C有如下關系[12]:

表1 參數取值Table 1.Values of the parameters used in calculation.

結合(2)式和(4)式,可以求解不同重力場模型的平均慣性矩因子(表1).

3 火星內部圈層結構與控制方程

St?hler 等[11]利用最新的InSight 火星星震數據,最終確定火星液態外核的大小為1830 km,該研究進一步表明火星不存在相當稠密且絕熱的下火星幔.Knapmeyer-Endrun 等[23]利用InSight 數據,發現火星殼存在2 層或3 層結構,平均厚度在24—72 km 之間.研究表明利用慣性矩因子和平均密度約束內核結構而言,內核結構對火星殼厚度不敏感[12,24].取文獻[15]的火星殼平均厚度50 km作為固定值,整個火星內部圈層結構如圖1 所示.

假設圖1 模型的平均慣性矩為Imod,則模型平均慣性矩因子為Imod/(MR2) .由圖1 可推導出該模型平均密度ρmod和平均慣性矩因子Imod/(MR2)分別為

圖1 火星內部圈層結構Fig.1.Sketch of Martian internal structure with various layers.

式中,rm和ρm分別表示火星幔頂部參考半徑和火星幔密度,rco和ρco分別表示火星外核頂部參考半徑和火星外核密度,rci和ρci分別表示火星內核頂部參考半徑和火星內核密度.由(5)式和(6)式可以求解得到不同待估參數的平均密度ρmod和平均慣性矩因子乘數將這兩個模型值分別與表1平均密度測量值ρˉ 及平均慣性矩因子測量值做差,以它們的最小平方和f作為判據,即可以得到待估參數的最優值.該反演問題的目標函數f的表達式為[25]

在本文參數估算中,以目標函數f<0.1 作為最優參數選取的判斷條件.如圖1 所示,R表示火星平均半徑[11,12],取值見表1,火星外核項部半徑和火星殼的厚度設為固定值,其余參數為待估值,固定值與待估值范圍見表2.為了評估待求參數x對目標函數(7)式的敏感度S,將S定義為[24]

表2 火星內部結構固定參數與待求參數Table 2.Fixed and free parameters of the Martian inner structure.

其中,x表示包括火星內核半徑、火星殼密度、火星幔密度、火星外核密度以及火星內核密度的待求參數.相關參數的偏導數可由(5)式和(6)式求出.

4 結果與分析

為了估算火星內核大小及其密度的組成,以(7)式作為最優值的判據,使用粒子群算法[25]對表2 中5 個自由參數進行反演.這5 個自由參數分別為火星內核半徑rci,火星殼密度ρs,火星幔密度ρm,火星外核密度ρco,火星內核密度ρci.在計算過程中,選取粒子群種群規模mp=1500 個粒子,每次迭代次數nmax=500 次.由于只有(5)式和(6)式作為約束條件,而自由參數個數高于約束方程的數量,對此類欠定問題而言,反演結果存在非唯一性.為了降低反演結果的不穩定性,使用粒子群估算10000 次,類似大批量的估算結果不但穩定,而且還具有一定的統計意義.表2 待估參數的分布如圖2 和圖3 所示,圖2 表示(6)式平均慣性矩因子參考重力場模型JGMRO120f 的結果(表1),圖3表示平均慣性矩因子參考重力場模型GMM3-120的結果.圖2(a)和圖3(a)顯示極大概率下的火星內核密度ρci約為6950 kg?m–3,表明火星內核不由純鐵物質組成,應該包含其他輕元素物質.該結果與文獻[3,26]的結果較一致,文獻[3]認為火星核富集硫元素,文獻[26]認為除硫元素外,火星核可能存在一定量的碳和硅等輕元素物質.圖2(b)和圖3(b)表明火星內核大小在840 km 左右,其大小不到整個火星核體積的10%,這可能是當前InSight數據無法檢測出火星固態內核的原因[11].

圖2 由重力場模型JGMRO120f 推算的質量、平均慣性矩因子和二階位系數反演的相關參數Fig.2.Parameters estimated from the calculated Martian mass,mean moment of inertia factor and gravitation coefficient of degree 2 of the gravity field model JGMRO120f.

圖3 由重力場模型GMM3-120 推算的質量、平均慣性矩因子和二階位系數反演的相關參數Fig.3.Parameters estimated from the calculated Martian mass,mean moment of inertia factor and gravitation coefficient of degree 2 of the gravity field model GMM3-120.

圖2(c)和圖3(c)表明極大概率下的火星幔ρm=3477 kg?m–3,該密度的大小在近期研究結果的范圍內(3100—3650 kg?m–3)[27],接近于礦物學研究結果3550 kg?m–3[28].若考慮火星幔氧化鐵的低含量特征[29],本文所估算的火星幔密度具有一定的合理性.圖2(d)和圖3(d)表明極大概率下的火星液態外核密度ρco=6400 kg?m–3,大于文獻[11]所給范圍的最大值6200 kg?m–3.St?hler 等[11]在估算火星液態外核密度范圍時,沒有考慮火星固態內核的情況,若顧及文獻[11]不考慮火星固態內核產生的差異,本文反演結果具有一定的參考價值.圖2(e)和圖3(e)表明極大概率下的火星殼密度ρc=3000 kg?m–3,在Wieczorek 等[30]所給出的范圍內(2700—3100 kg?m–3),接近該范圍的平均值2900 kg?m–3.文獻[31]利用InSight 數據,約束了火星北半球低地和南半球高地的火星殼密度范圍(2850—3100 kg?m–3).根據圖1 模型,可知本文估算的火星殼密度為殼層密度的全球平均值,很顯然本研究結果(3000 kg?m–3)接近最新火星殼密度范圍(2850—3100 kg?m–3)的平均值(2950 kg?m–3),表明本研究結果具有一定的參考價值.

為了進一步確保估算結果的有效性,有必要分析目標函數f對不同待求參數的敏感度S.通過(5)式和(6)式可以求得平均密度和平均慣性矩因子參數對不同待求參數的偏導數,結合本文估算的待求參數最優值,以及(8)式可以估算出目標函數對不同待求參數的敏感度.根據前文對圖2 和圖3的分析,取不同待求參數的最優值:ρci=6950 kg?m–3,rci=840 km,ρm=3477 kg?m–3,ρco=6400 kg?m–3和ρc=3000 kg?m–3,目標函數f對不同待求參數的敏感度見表3.表3 表明兩個高階重力場模型下,目標函數f對同一待求參數的敏感度幾乎一致,這與兩個重力場模型平均慣性矩因子的差異較小有關(平均慣性矩因子見表1).目標函數f對火星幔ρm的敏感度最大,對火星外核密度ρco的敏感度次之,對火星殼密度ρc和火星內核密度ρci的敏感度類似,而對火星內核大小rci的敏感度較小.參考表3 目標函數f對火星內核大小的敏感度(約為–2.65)以及(8)式敏感度的定義,可知火星內核大小變化1%時,會導致目標函數減小2.65%,火星內核大小的變化對目標函數的影響將不能忽略.因此,本文估算的火星內核大小仍然具有一定的參考價值.

表3 目標函數f 對不同待求參數的敏感度STable 3.Sensitivity of various parameters S to the objective function f.

5 結論

利用火星120 階次高階重力場模型JGMRO120f和GMM3-120 的二階位系數,結合InSight 數據求解的火星最新歲差率,基于火星5 層內部結構模型以及火星平均密度和平均慣性矩因子,應用非線性粒子群算法對火星核的大小和組成進行了估算.統計結果表明: 1)盡管重力場模型JGMRO120f和GMM3-120 求解的平均慣性矩因子存在一定差別,但依據兩個模型推導的平均慣性矩因子,結合火星平均密度反演的待估參數具有類似的分布特征,大概率情況下自由參數的最優值基本一致;2)火星殼密度ρc的全球平均值約為3000 kg?m–3,接近InSight數據求解的平均值2950 kg?m–3;3)火星幔密度ρm的極大概率分布值約為3477 kg?m–3,約小于礦物學研究結果3550 kg?m–3;4)以InSight數據估算的火星外核大小(rco=1840 km)作為約束條件,最優反演的火星外核密度ρco約為6400 kg?m–3,約大于近期不考慮固態內核的估算值6200 kg?m–3;5)火星可能存在840 km 的固態內核,最優估算的內核密度ρci約為6950 kg?m–3,表明火星內核不由純鐵物質組成,該結果與火星核富集輕元素物質的近期研究一致.綜合考慮最優估算的火星殼密度、火星幔密度和火星外核密度,研究得出的火星內核大小及其密度組成具有一定的參考價值.鑒于約束方程較少以及反演結果的非唯一性,未來隨著InSight 火星星震數據處理技術的提高,有望進一步約束火星內核的大小及其組成.