隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的五種方法

張亞龍 高改蕓 劉爽

北京科技大學(xué)天津?qū)W院 天津 301830

隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是多元函數(shù)微分法應(yīng)用的重要內(nèi)容之一，也是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。利用多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，對(duì)于初學(xué)者容易出錯(cuò)。利用隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)可以求解空間曲線的切線與法平面、空間曲面的切平面與法線和多元函數(shù)的極值、最值等。將一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)和多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法，應(yīng)用到求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)中。高等數(shù)學(xué)的教材中只給出了公式法求多元隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)，本文總結(jié)出五種方法求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)，這樣面對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題時(shí)，我們可以選擇較多方法求解，便于對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

一、隱函數(shù)存在定理

二、一個(gè)方程確定的一元隱函數(shù)和二元隱函數(shù)求導(dǎo)

(一)顯化法

說(shuō)明：利用顯化法求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要求給定的方程可以顯化，即自變量與因變量可分離，但對(duì)于絕大部分情況是難以顯化或無(wú)法顯化的，如由方程ez-xyz=0確定的隱函數(shù)，此時(shí)顯化法失效。

(二)直接法

將直接法推廣到二元隱函數(shù)中，設(shè)方程F(x，y，z)=0，確定的隱函數(shù)z=f(x，y)，對(duì)方程兩邊直接關(guān)于自變量x或y求導(dǎo)，此時(shí)z是x，y的函數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，需要把z看作x，y的函數(shù)。

(三)公式法

說(shuō)明：公式法首先需要令函數(shù)F(x，y)或F(x，y，z)，不需要考慮函數(shù)之間的復(fù)合情況，只需熟記公式，只要將F看成x，y或x，y，z的函數(shù)，對(duì)其求偏導(dǎo)數(shù)。而直接法需要弄清楚各變量的復(fù)合情況，進(jìn)行復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，難度相對(duì)于求簡(jiǎn)單的偏導(dǎo)數(shù)有所提升，但直接法的解題思路非常重要，可用于求解隱函數(shù)組導(dǎo)數(shù)。

(四)微分法

設(shè)方程F(x，y)=0，確定函數(shù)y=f(x)，利用微分形式不變性，對(duì)方程兩邊同時(shí)求微分，此時(shí)需要將F看成關(guān)于x，y的一個(gè)二元函數(shù)。

設(shè)方程F(x，y，z)=0，確定隱函數(shù)z=f(x，y)，利用全微分形式不變性和全微分的疊加原理，對(duì)方程兩邊同時(shí)求全微分，此時(shí)需要將F看成關(guān)于x，y，z的一個(gè)三元函數(shù)。

說(shuō)明：不難看出，全微分法求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，需要熟練應(yīng)用微分運(yùn)算法則與全微分形式不變性。實(shí)際中，大部分讀者不善于用全微分形式不變性求解，通過(guò)求解上題，用微分法求解過(guò)程簡(jiǎn)單，與顯化法、直接法相比較，建議使用微分法求解。

(五)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

對(duì)于某些隱函數(shù)求導(dǎo)的問(wèn)題，直接用上述四種方法求解時(shí)，過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，此時(shí)需要在方程的兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，然后利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則求出隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)，這種方法稱(chēng)為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。一般適用于當(dāng)方程中含有冪指函數(shù)的項(xiàng)的情形。

說(shuō)明：例8和例9都是先對(duì)方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，然后利用直接法求解。實(shí)際中，也可以取對(duì)數(shù)之后，然后在兩邊取微分，利用微分法求解。方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)的目的是為了求導(dǎo)簡(jiǎn)單，本質(zhì)上我們還是需要利用直接法或微分法求解。

三、方程組確定的一元隱函數(shù)和二元隱函數(shù)求導(dǎo)

設(shè)方程F(x，y，z)=0，G(x，y，z)=0，確定的一元隱函數(shù)為y=y(x)，z=z(x)，下面分別利用直接法、公式法和微分法求解此類(lèi)隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)。

解1 直接法

方程組兩邊同時(shí)對(duì)x求偏導(dǎo)，得：

即：

則：

所以：

解2 公式法

令F(x，y，z)=x+y+z，G(x，y，z)=x2+y2+z2，分別對(duì)F，G求關(guān)于x，y，z的偏導(dǎo)數(shù)，得Fx、Fy、Fz與Gx、Gy、Gz，進(jìn)而得出：

代入公式，得：

解3 微分法

說(shuō)明：通過(guò)例11的三種解法，我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于由方程組確定的一元隱函數(shù)，利用微分法求解，優(yōu)點(diǎn)突出，可以有效地避開(kāi)函數(shù)各個(gè)變量之間的復(fù)合關(guān)系，將每個(gè)變量都看成自變量，求微分即可。公式法需要記憶公式，但是由方程組確定的隱函數(shù)公式相當(dāng)復(fù)雜，無(wú)論對(duì)教師還是學(xué)生優(yōu)先使用微分法，次之使用直接法與公式法。

設(shè)方程F(x，y，u，v)=0，G(x，y，u，v)=0，確定的二元隱函數(shù)為u=u(x，y)，v=v(x，y)，同樣利用直接法、公式法和全微分法求解此類(lèi)隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)。

解1 直接法

方程組兩邊同時(shí)對(duì)x求偏導(dǎo)，得：

即：

則：

所以：

解2 公式法

解3 全微分法

對(duì)兩個(gè)方程兩邊同時(shí)求全微分，得：

整理得：

說(shuō)明：通過(guò)例12的解題過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)全微分法優(yōu)勢(shì)更加突出，對(duì)于解方程的過(guò)程也相對(duì)簡(jiǎn)單。公式法需要記憶公式，直接法需要解兩次方程組，而且在求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)容易出錯(cuò)，因此全微分法最簡(jiǎn)單。

通過(guò)對(duì)一個(gè)方程確定的隱函數(shù)求導(dǎo)和方程組確定的隱函數(shù)組求導(dǎo)對(duì)比，利用直接法、公式法、微分法三者的計(jì)算量和復(fù)雜程度區(qū)別不是很明顯。但是對(duì)于方程組確定的隱函數(shù)來(lái)說(shuō)，微分法優(yōu)勢(shì)突出，過(guò)程比直接法與公式法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，不管函數(shù)和自變量如何變化，各變量之間的復(fù)合情況，始終將函數(shù)和自變量同等地位處理，從而提高正確率。

結(jié)語(yǔ)

本文給出求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的五種方法，不僅可以解決一元隱函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題，同時(shí)也適合于多元隱函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)于在求解的過(guò)程中，每個(gè)方法都有優(yōu)缺點(diǎn)。顯化法、直接法、微分法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法都不需要記公式，但顯化法要求給定的方程可以顯化，對(duì)于很多方程是不可以或者不容易顯化的，所以對(duì)于隱函數(shù)求偏導(dǎo)，一般情況下不使用顯化后再求偏導(dǎo)數(shù)的方法。直接法需要知道函數(shù)中各個(gè)變量的復(fù)合情況，明確各變量之間的關(guān)系，利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，但是直接法的適用性很強(qiáng)，因此也會(huì)被廣泛應(yīng)用，并且公式法可以由直接法推得。公式法需要構(gòu)造函數(shù)F(x，y)或F(x，y，z)，對(duì)函數(shù)F(x，y)或F(x，y，z)求偏導(dǎo)數(shù)即可，此時(shí)需要將F看作x，y或x，y，z的函數(shù)。計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，但需要熟記公式。微分法不需要關(guān)心變量之間的關(guān)系，利用微分疊加原理和全微分不變性，對(duì)方程兩邊求全微分。微分法求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)是一種簡(jiǎn)單、易懂的方法，且不容易出錯(cuò)。對(duì)數(shù)求導(dǎo)法需要方程中含有冪指函數(shù)的形式，局限性比較大，但計(jì)算過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單。

對(duì)于由方程組確定的隱函數(shù)，全微分法優(yōu)點(diǎn)更突出，既不需要記憶復(fù)雜公式，也不需要考慮函數(shù)變量之間的復(fù)合關(guān)系，以不變應(yīng)萬(wàn)變，通俗易懂，直接利用微分形式不變性求解隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)。因此，無(wú)論是方程還是方程組確定的隱函數(shù)，利用微分法最簡(jiǎn)單。實(shí)際中，大部分學(xué)生沒(méi)有利用微分法求解隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)，所以教師應(yīng)在高等數(shù)學(xué)課堂上對(duì)全微分法進(jìn)行重點(diǎn)講解與應(yīng)用，使學(xué)生能夠熟練應(yīng)用微分法求解隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)，讓求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)不再是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題。