“雙創”背景下“高等數學”課程中旋轉體體積可視化教學設計

宣晶雪 張權

齊齊哈爾大學理學院 黑龍江齊齊哈爾 161006

隨著科技的發展和社會的進步，“雙創”教育已成為教育改革的必然趨勢[1]。為滿足社會需求，我國愈加注重創新戰略型人才的培養。全國各高等院校積極響應，高校教師紛紛推進“雙創”理念融入課堂的工作。“雙創”教育即為創新和創業教育[2]。旨在高等教育教學環節的主渠道中，以基礎理論知識為載體，恰當合理地在日常教學中融入“創新創業”理念，加強培養青年學子科技創新實踐的能力，推動其積極加入社會各項實踐活動，獲取創業知識與經驗。促使青年學子基礎理論知識與創新實踐能力協同并肩，促進其蓬勃發展。

“高等數學”作為各高校理工科類別的一門既基礎又重要的理論課程，具有理論知識冗雜繁多、概念抽象難以理解、邏輯思維需求較高的特點[3]。除此之外，“高等數學”學科更善于傳授理論基礎，對創新能力的培養與創業知識的傳播并不透徹。所以，這就需要高校教師們對現有的教學模式進行改革，將“雙創”教育理念合理恰當地融入教學工作中，深度培養并鍛煉青年學子的創新能力，鼓勵其積極創業。

將“雙創”教育理念合理恰當地融入“高等數學”日常教學中，青年學子們無疑是最大獲益者。一方面保證了教育資源多樣性、教育方式多元化、教育模式生動化、教學內容印象化，在學科知識體系的基礎上，理論聯系實際，結合創新創業理念進行拓展，促使青年學子在大腦皮層留下深刻的印記，有效激發學習興趣。另一方面，“雙創”教育理念在傳播給青年學子創新意識、創業知識的同時，也在一定程度上推動其邏輯思維能力的發展。在科研知識創新探索過程中，青年學子逐步形成縝密的邏輯思維，保持良好的自主探究能力和獨立思考問題的習慣，培養其多方位、多元化、多維度看待事情。“高等數學”作為理工科類別必不可少的專業基礎學科，旨在培養思維方式多元化、思想品德高尚化、創新能力科研化的戰略型人才。所以在教學過程中，教師要將學生放在教育的主體地位上[4]，充分探索學生的主動性。根據課程內容合理布置思考問題，引導學生用創新的理念解決問題，注重強化學生的創新意識，鍛煉其創新能力。教學方式也要多樣化，可根據課程需要通過多媒體展示知識內容[5]，尤其是視頻圖例等，能夠直觀清晰展示課程內容。開設多樣的實踐活動，培養青年學子動手動腦能力，師生共同探究，教學相長。考核方式多元化發展，可在平臺多設置探究活動，并記錄成績作為考核的一部分，在教學考核中無形促進其創新意識的養成與能力的提升。

1 課程目標

1.1 知識目標

(1)理解與掌握薄片法與柱殼法的方法和思想。

(2)熟練掌握繞x軸，繞y軸旋轉體的體積公式。

1.2 能力目標

(1)通過可視化培養學生空間架構想象能力；通過薄片法、柱殼法探究培養學生邏輯推理的能力；通過概念知識講授培養學生領悟理解能力。

(2)通過小組討論培養學生自主學習、團結合作、善于觀察總結、樂于探索的能力。

1.3 情感目標

(1)通過引入神舟飛船視頻，培養學生樂于奉獻、科技強軍、航天報國的愛國主義情懷。

(2)通過問題探究培養學生勤于動腦，善于思考，從多維角度看待問題的態度。

2 教學過程設計

2.1 問題探究

多媒體展示旋轉體圖片，神舟飛船視頻以及雷達衛星圖片并設置思考問題：(1)它們都是怎樣的幾何體？(2)何為旋轉體？

引導學生分小組自主探究并查閱相關資料，了解旋轉體的定義，并以小組為單位進行匯報。

探究結果匯報：

旋轉體定義：旋轉體是由一個平面圖形或是一條平面內的曲線，圍繞著平面內任何一條直線旋轉一周而形成的幾何體，平面內這條直線就稱之為旋轉軸[6]。

以動畫形式直觀演示矩形、直角三角形、直角梯形繞其一條直角邊旋轉一周而成的旋轉體，如圖1所示。并計算其旋轉體體積。

圖1 旋轉體展示圖

(1)矩形圍繞其一條直角邊旋轉一周所形成的旋轉體稱之為圓柱體，圓柱的體積為：V圓柱=底面積×高。

進行總結，并設置問題：圓柱、圓錐和圓臺都是中學學過的規則的體，所以它們的體積容易計算。那么，如果是曲邊梯形圍繞坐標軸旋轉一周所形成的不規則的體，其體積應該如何計算？

2.2 重難點探究與分析

給出具體問題案例，設置問題探究，引導學生分小組討論。

2.2.1薄片法

設曲線y=f(x)是一條連續的曲線，且f(x)≥0，現有一個曲邊梯形，由曲線y=f(x)，x=a，x=b以及y=0所圍成，現令這個曲邊梯形繞x軸旋轉一周[4]，其所形成的不規則旋轉體的體積應如何計算？

圖2為可視化曲邊梯形圖片，提示學生采用微元法的方式來計算，并引導學生回顧微元法思想和計算方法，其具體思想是化“不規則”為“規則”。

圖2 薄片法旋轉體圖

探究結果檢驗：

①分割：在區間[a，b]上任意插入n-1個分點，記a=x0，x1，x2…xn-1，xn=b，則區間[a，b]被分成n個大小相等的小區間，并記做[x0，x1]，[x1，x2]…[xn-1，xn]，并令xi-xi-1=dx(0≤i≤n)。

②近似替代：取任意一個小區間[x，x+dx]，其中dx是非常微小的量，對于窄曲邊梯形ABCE而言，可近似用窄矩形ABCD替代。窄矩形ABCD繞x軸旋轉一周所形成的旋轉體為圓柱體。圓柱體中的高即為[x，x+dx]的區間長度dx，圓柱體的底面半徑為x點處對應的函數值f(x)。那么，圓柱體的體積等于底面積×高，即為πf(x)2dx，即小區間[x，x+dx]所對應的體積微元dv為dv=πf(x)2dx。

例1：計算由曲線y2=x且x∈[0，1]與y=0所圍成的曲邊梯形分別繞x軸y軸各旋轉一周所形成的旋轉體體積。

圖3為可視化曲邊梯形形狀，直觀演示其分別繞x軸，y軸旋轉而成的旋轉體。并引導學生回顧根據薄片法得到的繞x軸和繞y軸旋轉體的體積公式。

根據牛頓——萊布尼茨公式求解上式，得：

根據牛頓——萊布尼茨公式求解上式，得：

2.2.2柱殼法

設置問題，引導學生分小組探究：仍是上述曲邊梯形，由曲線y=f(x)(f(x)≥0)，x=a，x=b以及y=0所圍成，現令其繞y軸旋轉一周，所形成的不規則旋轉體的體積應如何計算？

圖4為柱殼法對應旋轉體演示過程圖。以小組匯報的形式，鼓勵學生創新探究，檢驗探究結果，并計入考核成績。通過可視化的方式，引導學生共同分析匯報內容如下：

(a)

圖5 柱殼法旋轉體圖

例1中曲線y2=x且x∈[0，1]與y=0所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉一周所形成的旋轉體體積可采用柱殼法方法計算。

根據牛頓——萊布尼茨公式求解上式，得：

2.3 總結歸納

通過引導青年學子以共同回憶的方式來梳理旋求轉體體積的知識脈絡，進行歸納總結，使青年學子清晰直觀地掌握課程核心內容。

3 課后檢驗

通過探究式的自主學習過程，以及對旋轉體體積公式的掌握，完成布置的課后任務，并在規定時間內提交，完成布置的知識測評。

4 課程思考拓展

(1)尋找生活中旋轉體的案例，例如圓形水杯、橢圓形的橄欖球等，并嘗試是否能計算出其體積？

(2)布置思考任務：若某立體不是旋轉體，但該立體垂直于某一定軸的各個截面面積AX已知[6]，則該立方體的體積應如何來計算？

“高等數學”這門學科不單單傳授給學生科學文化知識，更要鍛煉學生邏輯思維能力，培養學生良好的創新意識和高尚的道德情操。本文基于“雙創”背景下，以“高等數學”課程中求旋轉體體積為例進行教學設計。摒棄傳統教學模式，對講授方法與講授內容進行革新。借助于多媒體渠道，通過“探究式+可視化”的教學方式，分別介紹了薄片法、柱殼法以及其分別對應的繞x軸，y軸的旋轉體體積公式。數形結合的可視化讓學生直觀感受到旋轉體空間立體構架，更易接受并理解深刻。分小組探究討論充分發揮了青年學子自主式學習，提升其學習熱情與積極性。積極探索課程教育學新領域，這種教育革新更適應社會需求，保證了“雙創”教育理念下創新型戰略人才的培養與快速發展，在一定程度上推動了“高等數學”課堂教學質量的提升。