對線性代數習題客觀化的設計與創新

■ 太原工業學院 馬 淼 李岸巍 寧 健

單項選擇題是對知識點測試非常有效的題型，好的題目不僅可以幫助學生正確理解數學概念，牢固掌握數學規律，而且可以全面提升學生的數學能力。單項選擇題也是各類考試中不可或缺的題型之一，具有評分簡單、客觀，便于分析錯誤的特點。在近年全國碩士研究生招生考試數學試題中，單項選擇題達到10個，分值占試卷總分數的。

線性代數具有計算與論證的特點，為單項選擇題的設計與創新提供了更為廣闊的探索與實踐的空間。作者團隊歷時多年，對課程習題進行了詳細的整理并引入了計算機輔助設計進行了優化設計和創新，并在設計過程中，秉承了以最簡單的運算掌握最多知識點的設計理念，幾乎為每個習題都設計了MATLAB運算程序。

1 根據測試內容確定習題測試類型

1.1 基本概念類

基本概念類習題側重于對基本概念的測試，力求幫助學生正確理解數學概念、牢固掌握數學規律。

A.-4 B.-1 C.1 D.4

例題1是一道比較成熟的單項選擇題，伴隨矩陣的定義以及伴隨矩陣中元素的排列順序是該習題的核心測試目的，本文對其進行了優化設計。在題干設計過程中，選擇了伴隨矩陣中行標加上列標為奇數的元素，為干擾選項設計預留了充足的空間。

1.2 計算方法類

計算方法類習題是針對課程中的公式和典型的計算方法設計的習題，側重于對公式和典型計算方法的強化訓練。

A.1，2 B.1，2，3 C.1，2，4 D.1，2，3，4

使用初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣是非常重要的計算方法，在教材中與之相關的典型習題有20余個題目。因使用初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣的過程具有復雜性和靈活性，很難通過過程檢驗其運算的準確性，但與矩陣行等價的行階梯形矩陣的非零行行首非零元素具有唯一性，故而可以采用單項選擇題對學生進行強化練習。例題2正確選項為B。

1.3 證明類

證明類習題是對主觀性性證明題的客觀化，往往可以使用拓展測試知識點、延伸習題測試目的的技術手段實現客觀化。

例題3設矩陣A滿足A2＋3A-5E＝0。若，則（A＋4E）*-（A＋4E）＝（ ）。

A.-4A B.-5A C.7A D.9A

例題3的原形習題為：設矩陣A滿足A2＋3A-5E＝0，證明矩陣A＋4E可逆，并求出其逆矩陣。此題需要學生在條件 A＋4E的前提下，由A2＋3A-5E＝0得到（A＋4E）與（A-E）互為逆矩陣。若使用選擇題形式，勢必在選項中有正確選項，學生可以通過選項反驗的應試技巧將求得正確答案B。為此，本文將測試知識點進行拓展并將習題測試目的進行延伸，并杜絕使用選項反驗求得正確答案B的可能。例3需要學生在求得逆矩陣的條件下得出（A＋4E）*＝-4A＋4E，從而算出正確答案。

1.4 綜合提高類

綜合提高類習題側重于對學生綜合運用知識能力的培養以及邏輯思維的訓練，此類習題整體求解難度較大。

例題4已知A2＝E，則B＝8A3-6A2-8A＋7E必有一個特征值（ ）。

A.-5 B.-3 C.-1 D.1

例題4是由兩個原形習題復合而成的。其一，證明A2＝E的特征值只可能是±1；其二，若λ＝1是矩陣A的特征值，則矩陣8A3-6A2-8A＋7E必有特征值。根據簡單的矩陣方程求矩陣的特征值，以及根據方陣A的特征值求矩陣A的多項式φ（A）的特征值是方陣的特征值部分兩類基本習題。因前者的求解難度稍微偏大，往往以證明題的形式出現。例題4的求解關鍵在于求出A的特征值 λ＝±1，則 φ（A）＝8A3-6A2-8A＋7E，φ（±1）＝1，從而求出正確答案 D。

2 探索與創新

2.1 原有習題客觀化的弊端

很多單項選擇題的設計過程實際是對成熟的主觀化試題進行客觀化再設計的過程。當然，如果僅僅為了客觀化而客觀化，那么設計出的習題只是表述形式的變化，并沒有實質性的創新。例如下面的例題5和例題6，并沒有達到真正的測試目的。

A.-5，-6 B.-5，2 C.-3，-6 D.-3，2

例題5是比較重要的一道習題，其目的是引導學生深刻掌握行列式展開定理，并為后續課程中的公式的證明做好知識儲備。然而，在教學過程中發現，還是有很多學生的計算過程是通過“強算”各個余子式和代數余子式進行計算的得到正確答案D。從普遍意義講，例題5沒有完全達到測試和訓練的目的。

A.x1＜x2＜x4＜x3B.x4＜x1＜x3＜x2

C.x4＜x3＜x1＜x2D.x3＜x1＜x4＜x2

例題6的主要測試目標是使用克拉默法則求解線性方程組，次要測試目標為高階行列式計算。雖然在選項設計中杜絕了選項代入方程組驗算的可能性，但是還是有大量學生在使用中學方法求解也可以求解出正確選項B，因此，并沒有真正達到測試目的。

2.2 創新設計

以例題6為突破點，經過反復嘗試與實踐，創新性地形成了綜合提高類習題例題7，從而彌補了例題5和例題6的缺點，這也是在習題設計過程中的創新性收獲。

A.x1＝A11＋2A21＋2A31＋A41

B.x2＝-2A12-4A22-4A32-2A42

C.x3＝-A13-2A23-2A33-A43

D.x4＝2A14＋4A24＋4A34＋2A44

雖然使用克拉默法則求解線性方程組是應知應會的計算方法，但其理論價值更為重要，其證明過程更是精華所在，更能夠從本質上表達克拉默法則的實質。本文將克拉默法則重新表述如下：

3 結語

本文結合教學實踐，通過計算機輔助設計對課后習題進行了詳細的整理和再設計。主要介紹了如何將基本概念類、計算方法類、證明類三類題型設計為單項選擇題。在設計過程中考察了學生對基本概念的理解，選項涉及也加入了混淆項以提醒學生注意容易忽視的問題，并且要控制計算量，在綜合提高類部分有加入了綜合體以提高學生的綜合運用能力。另外在設計習題過程中發現很多主觀題轉化后可以將選項代入或者采用中學的計算方法求解，因此在設計習題過程中避免了此類現象的出現。