基于時間序列的軟件產品定價模型

胡大宇，萬扶搖，王秀利，3

(1.中央財經大學信息學院，北京 102206；2.中央財經大學金融學院，北京 102206；3.國家金融安全教育部工程研究中心，北京 102206)

0 引言

隨著消費者需求的多樣化和個性化，軟件產品也在不斷地精細化和綜合化。在產品種類和組合不斷拓展的基礎上，如何在不同階段采取相應的定價策略，從而實現企業利潤最大化就顯得尤為重要。

軟件產品屬于信息產品，與一般商品不同，因其具有可復制性、消費者偏好性、不可損耗性、貶值性、共享性和經驗性等特點，使得傳統商品基于成本的定價模式不再適用。對此，Varian[1]提出了個性化定價策略、群體定價策略和版本定價策略，在差別定價的基礎上，專家學者又研究了捆綁定價策略[2]。近些年來，又有學者們提出了基于效能貢獻度的裝備軟件定價[3]、基于不同試用策略的雙重定價[4]等定價策略，并對盜版產品對定價的影響進行了闡述并提出解決方案[5]。

本文引入時間序列，對差別定價和捆綁定價進行綜合分析，提出了處于不同生命周期階段的軟件產品所適宜的定價模式。

1 時間序列

本文提到的時間序列涉及兩方面：軟件產品生命周期模型以及貨幣的時間價值。

首先，軟件產品具有顯著的生命周期特性，即投入期、成熟期和衰退期。在投入期，生產者的主要任務是對軟件產品進行宣傳推廣從而擴大銷路，在短時間內打開市場，使得其能在市場上立足；在成熟期，軟件產品日益普及，市場需求逐漸趨穩，生產者應著力調整定價策略從而爭取在此階段獲得大量盈余；在衰退期，軟件產品銷量下滑，市場上出現新產品，生產者采取相應方式使得其逐漸退出市場。由于涉及到時間維度，需要借助公司金融領域的投資方案評估方法，采用凈現值模型將所有的收益折算到起始時間點，由此對軟件產品的最終收益進行分析，繼而判斷開發軟件產品的真實盈利狀況。

模型假設：軟件產品固定成本為C，假設生產者在軟件產品投入期和衰退期時是壟斷競爭市場，在成熟期時壟斷整個市場以便于研究，并且其追求利益最大化。在壟斷競爭市場中不考慮其他生產者對軟件產品定價的影響。涉及到消費者行為的分析是由給定消費者效用為基礎進行的。在不同階段選擇消費者各異的效用作為評價標準，隨著捆綁產品數量的增長，將消費者對組合產品的效用評價收斂到一個具體值，以方便模型分析。

2 時間序列定價分析

在投入期，生產者可以采取低價策略占領市場，通過覆蓋更多的消費者從而提高整體消費者對產品的效用評價，為成熟期銷售量的顯著提高打下堅實基礎。在成熟期，生產者應該綜合考慮差別定價和捆綁定價方式進行定價，實現本階段的利益最大化。在衰退期，考慮到整體消費者對軟件產品的效用評價有明顯下降，生產者可以通過降低價格進行促銷的方式來獲取軟件產品最后的利潤。將此種銷售方式定為方式1。同時，生產者也可以在所有階段都采用直接銷售的方式獲取利潤。將此種銷售方式定為方式2。

由于方式1先期銷售的特殊性，在軟件產品推廣期間，生產者面臨的是買方市場，無法采取強勢的捆綁定價策略，因此僅討論單獨銷售軟件的情況。而在軟件成熟期和衰退期，都可以采用單獨銷售或捆綁定價的模式。由于方式1在前期的推廣，消費者對軟件產品有更加深入的了解，從而能在成熟期對其有更高的效用評價。相對的，在其衰退期則對其有更低的效用評價。在方式2中消費者對軟件產品的效用評價在3個階段亦有差異，但由于沒有全面的接觸，在成熟期中消費者對軟件產品的評價不會出現顯著的變化。此后消費者對軟件產品的效用評價基本維持穩定，因此在模型的二、三階段中采取了同一效用評價指標進行處理，突顯出方式1與方式2的區別。

假設軟件產品的生命周期分為3個時間階段，以t作為單位時間進行量度，它們的長度分別為d1t、d2t、d3t，t時間內的利率為r。有兩類消費者，分別占消費者總數量的n(0

以方式1進行銷售時，消費者總數是Q1，在3個時間階段分別占有的比例為u1、u2、u3，需要滿足u1+u2+u3=1。A類消費者中占總數量mx(0

以方式2進行銷售時，消費者總數是Q2(Q2

由大數定理可知，在消費者數量足夠多的情況下時，其對捆綁產品的效用評價各自收斂到相應數值。同時假設Vxh1>Vxm1>Vxl1，Vxh2>Vxm2>Vxl2，Vyh1>Vym1>Vyl1，Vyh2>Vym2>Vyl2，Vxh1>Vxh2，Vxm1>Vxm2，Vxl1>Vxl2，Vyh1>Vyh2，Vym1>Vym2，Vyl1>Vyl2，且軟件產品X，Y不相關，以便于分析。

綜合考慮捆綁定價和差別定價，共有4種銷售方法，每種銷售方式中有不同的定價模型。消費者對不同產品有3種效用評價，分別為低、中、高，由l、m、h表示，在下述分析中，采用C(i)，i分別為1、2、3進行表示。消費者人數有2種情況，采用Qj，j分別為1、2進行表示，從而使得模型能夠被簡潔清晰的描述。

4種銷售方法如下。

1)生產者采取整體單獨銷售。若X產品定價為VxC(i)1，則生產者的收益為：

Wx1=Qj×[n×mx+(1-n)×tx]×VxC(i)1

若X產品定價為VxC(i)2，則生產者的收益為：

Wx2=Qj×VxC(i)2

Y產品定價同理，則生產者的總收益為：

Wsolo=max{Wx1，Wx2}+max{Wy1，Wy2}

2)生產者采取群體定價策略單獨銷售。若X產品在A類消費者中定價為VxC(i)1，則生產者的收益為：

Wxa1=Qj×n×mx×Vxc(i)1

若X產品在A類消費者中定價為VxC(i)2，則生產者的收益為：

Wxa2=Qj×n×VxC(i)2

生產者銷售X產品給A類消費者的收益為：

Wxa=max{Wxa1，Wxa2}

同理，生產者銷售X產品給B類消費者的收益為：

Wxb=max{Wxb1，Wxb2}

同理，生產者銷售Y產品給A類消費者的收益為：

Wya=max{Wya1，Wya2}

生產者銷售Y產品給B類消費者的收益為：

Wyb=max{Wyb1，Wyb2}

生產者的總收益是：

Wsolo+group=Wxa+Wxb+Wya+Wyb

3)生產者采取純捆綁銷售。如果A類消費者對捆綁產品Z的效用評價收斂值大于B類消費者對其的效用評價收斂值。

若Z產品定價為：

Pz1=[mx×VxC(i)1+(1-mx)×VxC(i)2]+

[my×VyC(i)1+(1-my)×VyC(i)2]

生產者的總收益：

Wz1=Qj×n×Pz1

若Z產品定價為：

Pz2=[tx×VxC(i)1+(1-tx)×VxC(i)2]+

[ty×VyC(i)1+(1-ty)×VyC(i)2]

生產者的收益：

Wz2=Qj×Pz2

生產者的總收益：

Wbundle=max{Wz1，Wz2}

同理，如果A類消費者對捆綁產品Z的效用評價收斂值小于B類消費者對其的效用評價收斂值。

生產者的收益分別為：

Wz1=Qj×Pz1和Wz2=Qj×(1-n)×Pz2

生產者的總收益：

Wbundle=max{Wz1，Wz2}

如果A類消費者對捆綁產品Z的效用評價收斂值等于B類消費者對其的效用評價收斂值。則：

Z產品定價為Pz=Pz1=Pz2

生產者的總收益：

Wbundle=Qj×Pz

4)生產者采取群體定價策略混合捆綁銷售。

Z產品在A類消費者中定價為Pz1，在B類消費者中定價為Pz2，生產者的總收益：

Wbundle+group=Qj×[n×Pz1+(1-n)×Pz2]

以方式1進行銷售，在4種銷售方法中，j取1，第一階段i取1，生產者最優收益：

W11=max{Wsolo，Wsolo+group}，

第二階段i取2，生產者最優收益：

W12=max{Wsolo，Wsolo+group，Wbundle，Wbundle+group}，

第三階段i取3，生產者最優收益：

W13=max{Wsolo，Wsolo+group，Wbundle，Wbundle+group}

生產者折算最優收益：

以方式2進行銷售，在4種銷售方法中，j取2，第一階段i取1，生產者最優收益：

W21=max{Wsolo，Wsolo+group}，

第二、三階段i取2，生產者最優收益：

W22=max{Wsolo，Wsolo+group，Wbundle，Wbundle+group}

生產者折算最優收益：

綜上所述，生產者最終的最優收益：

W=W1+W2-C

生產者最優定價模型即最優收益所對應的定價模型。

最后，該最優收益必須大于零，否則生產者會選擇不生產，此時生產者的最優收益將變為零。

3 結語

軟件產品具有不同于一般商品的鮮明特點，使得傳統產品的定價模式不再適用。捆綁定價可被視為版本定價的特殊形式，其有助于將消費者的效用集中化，從而使得生產者可以利用自身優勢對消費者進行區分。這種定價模式符合成熟市場中的情況，并且能夠顯著增加生產者的利益。本文創新性地引入時間維度，從軟件產品的生命周期和貨幣的時間價值兩個角度進一步得出使得生產者利益最大化的定價模型。