高中數學教學中運用類比法的教學設計

張湘林

一、類比法概述

數學類比法的起源可以追溯到古希臘時期。古希臘數學家畢達哥拉斯就曾通過對音樂和幾何學的類比研究，發現了許多數學規律和定理。例如，他認為音程和弦的和諧比例與幾何中比例的概念相似，通過這種類比，他發現了許多幾何比例關系，如黃金比例等。

另一位古希臘數學家歐多克索斯也曾使用類比法解決數學問題。他通過將立方體的分割類比到平面上，推導出了“常見比率”的思想，從而在數學領域中得到了廣泛應用。

隨著時間的推移，類比法不斷地被應用于數學研究中。在19世紀末和20世紀初，很多數學家在研究連續函數和多項式的性質時都應用了類比法的思想和方法。

近年來，隨著計算機技術和人工智能技術的飛速發展，類比法的研究領域也在不斷拓展，現在的數學類比法已經不僅僅是一種解題技巧，更成為一種有益的思維方式和工具，其在各個領域的問題解決和創新研究中都有著廣泛的應用。

類比是一種常用的數學猜想方法，它是將所研究的對象與已知的或想象的對象進行比較，從而發現它們之間存在某種相似之處。這種數學猜想方法在高中數學學習中起著非常重要的作用，我們通過對教學全過程的設計探討，就可以了解到學生具體是如何在課堂上運用類比法的。通過類比方法的運用，學生不僅可以更加深入地理解數學中的一些重要概念，還可以構建新舊知識的內在聯系，促進知識系統化。

類比法在高中數學教學中有著廣泛的應用。通過類比法，可以把已知的數學問題和概念與未知的問題和概念聯系起來，從而使解決未知問題的難度降低，理解數學概念的深度增加。運用類比法，可以將具有共同點的知識點或章節聯系起來，進行歸類，有助于學生建立脈絡清晰的知識體系。類比法可以讓學生產生熟悉感，學會知識遷移，建立邏輯思考。類比法可以幫助學生深入理解數學內容和思想，提高數學學習興趣，并提高解決數學問題的能力。當人們沒有可靠論證的思路時，類比這種方式常常可以引導人們前進。

二、運用類比法的教學設計——以“函數的單調性”為例

（一）教材分析

函數是高中階段最基本的概念之一，是貫穿高中數學課堂的主線，也是高中數學學科中最為復雜的知識點。函數是以自身特有的方式反映現實世界大量事物變化規律的抽象的數學模型，函數性質是函數概念的拓展，對于深入理解函數概念、運用函數模型分析和解決函數問題起著承前啟后的作用。必修一中的指數函數、對數函數及冪函數，選修中的導數均有涉及函數，可見函數這部分內容十分重要。本課時內容是函數的單調性，函數的基本性質為函數學習的第一階段，而本課時內容則為函數基本性質的第一課時，通過本課時對函數性質的研究，為后面初等函數性質的研究做鋪墊。

（二）學情分析

學生在之前已經學過了一次函數、二次函數、反比例函數，并且研究過函數的增減性問題，能夠通過圖象直觀地理解增減性，可以用不成熟的語言描述y隨著x的增大而增大（減小），但是不能用嚴謹的數學符號進行闡述。

（三）教學目標

掌握函數單調性的概念和基本定義，了解單調性的分類和幾何意義，能夠掌握判斷函數單調性的方法和步驟。

能夠應用函數單調性進行證明和推導，提高數學思維能力和數學語言表達能力，強化數學思維和邏輯推理能力。

（四）教學過程

1.導入新課

教師通過多媒體出示函數y=x，y=-x2+4圖象，要求學生觀察并思考問題：觀察下面這兩個我們初中學習過的函數，它們的圖象有什么變化規律？

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圖1 y=x圖象

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圖2 y=-x2+4圖象

學生自主觀察函數圖象，就教師提出的問題展開獨立思考，并作答：y=x從左往右看是上升的，y=-x2+4在y軸左側是上升的，即當x<0時，y會隨著x不斷增大而增大；y=-x2+4在y軸右側是下降的，即當x>0時，y會隨著x不斷增大而減小。

（設計意圖：通過引導學生觀察圖象、觀察函數變化、回憶初中學過的知識，引入課題，也為接下來類比初中知識引入函數單調性的概念奠定基礎；用較簡單的問題引起學生的注意和思考，激發學生的學習興趣，預警課堂已經開始，又能保障學生在高中數學課堂教學中的主體地位。）

2.講授新課

教師引導學生將y=x轉化為高中數學的函數表達形式f（x）=x2，并要求學生在練習本上描點連線，獨立畫出該圖象。

學生在教師指導下獨立作圖。

（設計意圖：學生自主探究、獨立作圖，可以提高學生的動手操作能力，激發學習興趣。）

教師組織學生以四人小組為單位討論、合作交流與分析，思考f（x）=x2函數的圖象變化，教師巡視指導。

學生：思考后選取代表匯報討論結果。小組討論發現：當x≤0時，y隨x的增大而減小，即任取x1，x2∈（-∞，0］，當x1f（x2）。

當x>0時，y隨x的增大而增大。即任取x1，x2∈（0，+∞），當x1

教師：在上一章我們用集合語言和對應關系刻畫函數，建立了嚴謹的函數概念。對于函數的單調性，我們也可以類比上一章，類似地嘗試用符號語言給出嚴格的形式化定義。

教師引導學生嘗試用數學語言表達該圖象的變化趨勢，就可以順勢引出函數的單調性。

任取x1，x2∈（-∞，0］，我們就可以得出f（x1）=x12，f（x2）=x22。當x1f（x2）時，我們就稱函數f（x）在區間（-∞，0］上單調遞減，即f（x）=x2在區間（-∞，0］上是減函數。同理，任取x1，x2∈（0，+∞），我們就可以得出f（x1）=x12，f（x2）=x22。當x1

（設計意圖：教師借助類比法，類比初中知識，引入高中知識，類比第一章巧妙地用集合語言和對應關系刻畫函數，引入函數單調性的定義，將學生的知識聯系到一起，有助于形成脈絡，使學生更容易地理解這部分知識，從而提高了課堂的效率。）

3.鞏固練習

教師利用PPT展示例題，根據定義研究函數f（x）=kx+b（k≠0）的單調性，學生自主完成，請學生代表進行板演，教師對其進行點評并講解解題思路，板書解題過程。

學生自主完成例題，并總結解題思路。函數f（x）=kx+b（k≠0）的定義域是R。任意x1，x2∈R，且x1

由x1

①當k>0時，k（x1-x2）<0

于是f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）

這時f（x）=kx+b是增函數。

②當k<0時，k（x1-x2）>0

于是f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）.

這時f（x）=kx+b是減函數。

（設計意圖：鞏固本節所學，讓學生進行板演，旨在體現學生的主體地位，這有助于教師了解學生的掌握程度以及學習情況。教師板書有利于規范學生解題思路，讓學生掌握答題技巧。）

4.課堂小結

教師引導學生自主總結本節課所學知識，鼓勵學生暢談本節課的收獲，鼓勵學生提出疑問并給予解答。學生總結完成之后，教師給予適當補充。

學生自主總結單調遞減、單調遞增的概念，用上課所學定義來證明函數單調性的方法。

（設計意圖：幫助學生系統地梳理本節知識和思想方法，形成脈絡清晰的知識網絡，同時也讓學生學會利用某些事物的已知特性去探索未知事物的方法。）

5.布置作業

作業：完成以下課后練習題：

（1）根據定義證明函數y=x+■在區間（1，+∞）上單調遞增。

（2）根據定義證明函數f（x）=3x+2是增函數。

（設計意圖：布置課后習題，鞏固本節課所學知識，加深學生對知識的理解，同時也讓學生通過做習題了解自己對本節課知識的掌握程度，及時發現問題并進行改正。在以后的教學中，教師還可以根據學生作業完成情況來及時調整自己的教學方法，改進教學思路。）

三、結論與建議

數學知識的難度系數雖然在逐漸加大，但是這些知識之間是存在一定聯系的。經上述討論我們發現，類比法是高中數學教學中較為高效的一種方式方法。通過同類知識類比、相似知識類比以及新舊知識類比，教師可以更好地優化自身的教學方式，并深化學生對數學知識的理解和記憶，慢慢增強學生學習數學的興趣。

在運用類比法進行高中數學教學時，需要注意以下幾點：

（一）類比的對象

類比法是一種思維方法，它是將某一事物或概念與另一事物或概念進行比較，然后將其屬性或特征進行類比，從而認識事物或概念的方法。在應用類比法進行教學時，我們首先要明確需要進行類比的對象，其次要理解兩個對象之間的相似之處和差異之處。

（二）突出相似點和差異點

在類比教學中，兩個對象雖然不可能完全相同，但至少有部分相似，因此在教學中一定要突出相似點與差異點。相似點主要用于推導、類比和歸納，而差異點則能夠使學生深入理解概念和事物的本質。

（三）尋找問題的本質

類比法是幫助學生更好地理解知識點的一種方法，但是由于學生缺乏相應的知識背景，在進行類比教學時往往會陷入只看表面的誤區，導致無法深入理解知識點。因此，在進行類比教學時，教師需要引導學生思考問題的本質，從而達到深刻理解知識點的目的。

（四）類比的適用范圍

類比法是一種常用的教學方法，但并不是所有的知識點都可以采用類比法進行教學。在使用類比法進行教學時，要根據具體情況判斷是否可以采用類比法，而且要注意類比的適用范圍。

綜上所述，類比法在高中數學教學中的應用效果非常顯著，在教學過程中教師要注重對類比方法進行靈活運用，將相似點和差異點凸顯出來，引導學生通過比較和分析去尋找問題本質。同時，在進行類比法應用時還要注意類比的適用范圍。

（作者單位：陽江市陽東區鳳凰中學）

編輯：趙飛飛