融合我國古代數學史的翻轉課堂教學研究

胡坤 王旭

在“等差數列前n項和”的教學中，高斯計算“123100？+++???+=”的故事常作為典型數學史，鮮有其他數學史案例．事實上，我國有著悠久的歷史文化，很多方面都有豐富的典籍流傳于世，在數學教學上不能忘記自己的傳統，不能忽略自己傳統中有重要價值的東西[1]．《算經十書》是具有代表性意義的十種數學著作，它們是了解我國古代數學史的必要文獻．《算經十書》中的《張丘建算經》就有很多利用等差數列求和公式解決實際問題的案例．若在數學教學設計中融入這些案例，就能讓學生更深入了解中華優秀傳統文化，激發學習興趣，開拓視野，從而提升數學核心素養[2]．

1 史料閱讀，欣賞古代數學文化成就

《張丘建算經》是一部數學問題集，現傳本分為上、中、下三卷．卷中結尾及卷下開頭現均已殘缺，共保存有92個數學問題及其解答，雖其內容、范圍與《九章算術》相似，但在最大公約數與最小公倍數、等差數列、不定方程等方面超過了《九章算術》的水平．其中，關于等差數列的同類結果在三百多年后的印度才首次出現．下面通過閱讀史料具體了解一下《張丘建算經》．

材料閱讀——《張丘建算經》提要[3]．《張丘建算經》三卷，自序最后題“清河張丘建謹序”，不詳著書年代．清河是張姓郡望，未必是作者的籍貫．據卷中題目與魏書《食貨志》的記載，斷定《張丘建算經》的編書年代是在公元466年～485年．

《張丘建算經》繼承了《九章算術》的數學遺產，并且提供了很多推陳出新的創見，主要有以下幾點：（1）卷上第10、11題是最大公約數與最小公倍數的應用題．（2）卷上第22、23、32題，卷中第1題和卷下第36題等是等差級數應用問題．（3）有些算術問題比較難解，在《九章算術》中用“盈不足術”來解答．張丘建對這些問題一一加以分析，從而獲得直接的解答方法．（4）卷中第22題和卷下第9題都需要采用“開帶從平方”（求二次方程正根）來解決，這推廣了“開帶從平方”的應用，是我國數學史上最早出現的不定方程問題．

現在常見各種版本的《張丘建算經》，皆出于南宋刻本．古本保存于上海圖書館．

問題1 閱讀完材料，談談你對我國數學史上取得的成就的感受．

設計意圖 將數學文化史料融入教學，有利于開拓學生視野、提升學生的數學學科核心素養．同時，讓學生感悟數學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養．

教師可引導學生交流分享，亦可參與交流．引導學生對我國古代數學家的想象力、創造力產生欽佩之情，及對不屈不饒、精益求精的精神產生敬意．

2 合作交流，古今對比拓寬視野

教師引導各學習小組相互合作，合理分配任務，讓學生帶著下列問題登錄網上圖書館查閱《張丘建算經》，并摘錄至學習共享平臺．

問題2 根據上述材料，找出《張丘建算經》中的等差數列問題．

設計意圖 注重信息技術與數學課程的深度融合，發揮信息技術直觀便捷、資源豐富的優勢，提高教學的實效性．利用網絡實現信息交流，為師生交流、生生交流、人機交流搭建平臺，讓學生逐漸養成合作交流的學習習慣，提升溝通合作能力．

在各學習小組已經完成任務后，一起來看學習共享平臺：

（小組1）卷上第22題：今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈，問日益幾何？

（小組2）卷上第23題：今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄，問織幾何？

（小組3）卷上第32題：今有人與錢，初一人與三錢，次一人與四錢，次一人與五錢，以次與之，轉多一錢，與訖，還數聚與均分之，人得一百錢，問人幾何？

（小組4）卷中第1題：今有戶出銀一斤八兩一十二銖，今以家有貧富不等，今戶別作差品，通融出之，最下戶出銀八兩，以次戶差各多三兩，問戶幾何？

（小組5）卷下第36題：今有舉取他絹，重作券，要過限一日，息絹一尺，二日息二尺，如是息絹日多一尺．今過限一百日，問息絹幾何？

我國古代著書都以文言文記載，《張丘建算經》亦是如此．相對于現代漢語，無文言文常識就難以理解．現在各小組根據自身組員情況，可以嘗試自譯，也可以尋求其他小組，或借助網絡幫助完成．

問題3 嘗試將古漢語數學問題翻譯為現代漢語數學問題，并上傳至學習共享平臺．

設計意圖 讓學生養成能學習、會學習、善學習的數學學習習慣．同時，充分發揮信息技術、教育大數據平臺在數學教學上的作用[5]，鼓勵學生運用信息技術學習、探索和解決數學問題．以上五個問題譯文如下：

（小組1）卷上第22題：現有一女子善于織布，織得很快，織的尺數逐日增多．已知她某月的第一天織布5尺，一個月共織9匹3丈，問該女子每天多織多少布？（注：1匹=4丈，1丈=10尺，一個月按30天計算．）

（小組2）卷上第23題：現有一女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織5尺，最后一天織1尺，30天織完，問30天共織多少布？

（小組3）卷上第32題：現在有人要給大家發錢．第一人發3錢，第二人發4錢，第三人發5錢，依次類推，后一人比前一人多發1錢．若將所有人的錢都收上來，再平均分給大家，這樣每人可以分得100錢．問，一共給多少人發錢？

（小組4）卷中第1題：每戶應交稅銀1斤8兩12銖，經協商，若考慮貧富的差別，貧者少交，富者多交．家最貧者交8兩，戶別差為3兩，則交稅銀的戶數是多少？（注：1斤=16兩，1兩=24銖）

（小組5）卷下第36題：債主拿欠債方的絹做抵押品，每過期一天便加收一天利息，債務過期一天要收利息1尺絹，過期二天則第二天便再收利息2尺絹，這樣，每天利息比前一天增加1尺絹．若過期100天，欠債方共交多少利息？

通過譯文，古今對比欣賞到了《張丘建算經》的等差數列實際應用問題．雖然在《張丘建算經》中給出了答案與解題過程，但出于是文言文，專業術語依然晦澀難懂．那么，這些問題能不能古為今用，能不能今法解古？

3 古題今解，夯實基礎積累建模經驗

眾所周知，解決數學實際問題常要數學化，即對實際應用問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題．古題今解，就是讓學生實現實際問題數學化，一是對先前知識的鞏固；二是提升學生數學建模水平，積累相關經驗．

問題4 各小組能否建立適當的數學模型解決《張丘建算經》中摘錄的實際應用問題？

設計意圖 引導學生對簡單的實際問題選擇適當的知識（數列）構建數學模型解決．感悟數列是可以用來刻畫現實世界中一類具有遞推規律事物的數學模型，感受數學模型的現實意義與應用．

教師巡視，與各學習小組交流溝通，了解學生情況，予以必要的提點．完成后，請各小組選派一人來分享他們構建的模型和解決問題的思想過程．鼓勵學生在聽取他人分享的時候，提出合理質疑．如果可以的話，給出解決方案．

（小組1）本組認為此題在現代實際生活中屬于工程模型問題．

教師及時點評各小組的分享，強調問題解決的關鍵點、注意點，最后總結，深化教學目標．在用數列模型解決問題的過程中，教師應引導學生注意數列與方程思想，體會等差數列求和公式的應用展現的數學簡潔美．大家都知道，問題解決往往并非只有一種方法，尤其在數學建模中，問題的發現與提出、模型的建立與求解，不同人有不同想法與方案，這就需要進一步對模型檢驗與完善，對問題加以分析從而解決，讓得出的結論更加貼合實際．

4 總結、反思與展望

弘揚我國優秀傳統文化，在教育教學上如何將之落到實處？回顧全文可以發現，在數學學科教學中融入古代數學史，不僅能夠加強學生數學閱讀能力的培養[4]，而且能夠讓學生通過閱讀了解中華優秀傳統文化中的數學元素，體會其中的數學精髓，促使學生充分感受社會歷史文化、數學知識發展過程中蘊涵的民族精神與情感，從而不斷健全學生的人格，培養學生高尚情感，讓學生獲得自信，實現可持續發展．在數學教學上，尤其是基礎知識上，教師不妨嘗試放“慢”一點，膽子大一點，預留一些傳統文化滲透的空間．

參考文獻

[1]周學智，王光明．傳統的現代價值——評代欽教授著作《數學教育與數學文化》[J]．數學通報，2016，55（4）：61-63，66

[2]中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018

[3]錢寶琮．校點．算經十書[M]．北京：中華書局，1963

[4]任子朝，陳昂，趙軒．加強數學閱讀能力考查展現邏輯思維功底[J]．數學通報，2018，57（7）：8-13

[5]胡坤．基于智學教育大數據平臺的數學教與學[J]．中學數學月刊，2022（1）：58-59，72