懷特海“重提”柏拉圖“數(shù)學(xué)與善”的形上追問

苗春梅

(廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,廣州 510303)

承繼柏拉圖對(duì)數(shù)學(xué)與善的思考,懷特海在現(xiàn)代歷史語境下基于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的進(jìn)展、融入現(xiàn)代人的觀念,再次探討了“數(shù)學(xué)與善”這一事關(guān)數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)教育的重大理論與實(shí)踐問題。從懷特海討論這一問題的邏輯和觀念可以看出,數(shù)學(xué)的善與善的數(shù)學(xué)本質(zhì)上既是關(guān)乎善(目的)的證成,又是關(guān)乎數(shù)學(xué)意義的重大根本性問題。雖然這一問題早在遙遠(yuǎn)的古希臘就被提出來,但卻是柏拉圖希望解決而并未成功解決的難題。歷史地看,“數(shù)學(xué)與善”,“自它首先被柏拉圖提出以來,二者之間特定的結(jié)合一直是一個(gè)尚未展開的論題。”［1］666現(xiàn)實(shí)地看,“數(shù)學(xué)與善”又是一個(gè)思考科學(xué)一般性質(zhì)及其發(fā)展的時(shí)候不得不面對(duì)的問題,因?yàn)椤耙环N科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才算達(dá)到了真正完善的地步”［2］。因此,以揭示數(shù)學(xué)本有的哲學(xué)性質(zhì)重回“數(shù)學(xué)與善”,哲學(xué)地追問“現(xiàn)代數(shù)學(xué)與善的觀念之間的聯(lián)系”［1］666,既是重新理解柏拉圖為什么要在諸多對(duì)話中思考數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)方式及其與善關(guān)系的問題,更是要在現(xiàn)代思想進(jìn)步和語言擴(kuò)充的背景下進(jìn)一步說明數(shù)學(xué)與善關(guān)系的原因之所在。也就是說,數(shù)學(xué)與善,既關(guān)乎數(shù)學(xué)成善的可能與能力,又關(guān)乎善之需要對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)一步發(fā)展的推進(jìn)。雖然在柏拉圖那里,這個(gè)問題表現(xiàn)為數(shù)學(xué)是成善之美德的核心要素,因?yàn)槿恕霸谒麄冇邢薜呐c封閉的領(lǐng)域內(nèi)達(dá)到善的成功依賴于他們擁有的知識(shí)”［3］24;但是,現(xiàn)代歷史中數(shù)學(xué)改變現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)實(shí)使數(shù)學(xué)成了成善的世界觀前提,因?yàn)槠鹪从跉W洲的現(xiàn)代文明,“伽利略、笛卡爾、牛頓和萊布尼茲在17世紀(jì)精心創(chuàng)立系列的數(shù)學(xué)和物理概念,使整個(gè)運(yùn)動(dòng)限定在這些概念之中”［1］667,數(shù)學(xué)從根本上影響了現(xiàn)代科學(xué)和現(xiàn)代人的行為。由此看來,在人類知識(shí)發(fā)展史和人類社會(huì)進(jìn)步史中,數(shù)學(xué)與善的上述“糾纏”并非意味著目的與手段的天然分離,而是意味著數(shù)學(xué)這一人類特有的知識(shí)類型本身所具有的世界觀意義以及和目的同一性的特質(zhì)。因此,數(shù)學(xué)與善統(tǒng)一甚至是一致在人類知識(shí)類型極速發(fā)展的今天具有極其重要的意義,如何在數(shù)學(xué)教育中真正將之揭示出來并內(nèi)化成關(guān)于數(shù)學(xué)的觀念,既是關(guān)系到數(shù)學(xué)發(fā)展與創(chuàng)新的根本問題,又是推進(jìn)基礎(chǔ)理論創(chuàng)新與觀念變革的要求,更是關(guān)系到數(shù)學(xué)教育培植正確世界觀和科學(xué)實(shí)踐觀的前提性問題。

一、“不能分離”的互成與“數(shù)學(xué)與善”分離的后果

在功利性追求日盛的現(xiàn)代世界,如何看待作為工具的知識(shí)與作為目的的善,從根本上影響著人們對(duì)知識(shí)對(duì)象和知識(shí)內(nèi)容的認(rèn)知、學(xué)習(xí)、運(yùn)用和發(fā)展。然而,這一問題并不只是在現(xiàn)代社會(huì)才出現(xiàn),早在《理想國(guó)》中柏拉圖就已經(jīng)清楚明白地闡明了這一事實(shí)。柏拉圖所認(rèn)為的“數(shù)學(xué)思想之于追求最終目的的重要性”［1］666,不僅被他的學(xué)生所忽視,更被往后的數(shù)學(xué)家、科學(xué)家甚至是哲學(xué)家忽略。柏拉圖關(guān)于數(shù)學(xué)闡明善的直覺,并非簡(jiǎn)單地對(duì)數(shù)學(xué)和善的界定或說明,而是基于對(duì)善本質(zhì)的追問以及對(duì)人類認(rèn)知能力的判定。因此,被柏拉圖引入而且成為哲學(xué)真理的“數(shù)學(xué)與善”,實(shí)際上是直逼數(shù)學(xué)哲學(xué)本質(zhì)的問題。當(dāng)數(shù)學(xué)家們知道數(shù)學(xué)細(xì)節(jié),而忽視數(shù)學(xué)與善的關(guān)系的時(shí)候,不僅戕害了作為最高目的的善,也大大削弱了數(shù)學(xué)成善的重要性,數(shù)學(xué)也只好以作為工具的不可或缺來標(biāo)示其重要性。由此看來,數(shù)學(xué)與善不能分離的洞見,其實(shí)是關(guān)于數(shù)學(xué)的真理,無論是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還是運(yùn)用數(shù)學(xué),都不應(yīng)該在二者分離的基礎(chǔ)上展開。因?yàn)椤凹热簧坪兔朗遣煌?善永遠(yuǎn)居于實(shí)踐之中,美則是在不運(yùn)動(dòng)的東西中,那些說數(shù)學(xué)科學(xué)并不涉及善和美的人就是錯(cuò)誤的”［4］。就此而論,對(duì)于數(shù)學(xué)不但需要熟悉、理解和掌握詳細(xì)的數(shù)學(xué)公式,而且更需要通過這些具體的對(duì)象性知識(shí)在數(shù)學(xué)對(duì)象的構(gòu)成性中涉及善、追問善、成就善,唯有如此數(shù)學(xué)才能真正成為數(shù)學(xué)。

第一,數(shù)學(xué)與善首先是一個(gè)哲學(xué)問題,只有哲學(xué)的透視才能通達(dá)數(shù)學(xué)與善的統(tǒng)一、反對(duì)二者的分立。現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)的變化直接表現(xiàn)為知識(shí)內(nèi)容的擴(kuò)充與知識(shí)領(lǐng)域的擴(kuò)展,“可以被設(shè)想為一個(gè)在1870年開始的有智力的生命發(fā)展歷程,那時(shí)這個(gè)生命體剛好九到十歲的樣子”［1］668。因此,現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展之初就表現(xiàn)為對(duì)算術(shù)甚至是分?jǐn)?shù)的熟稔和掌握,但是同時(shí)也被新知識(shí)所擴(kuò)充,比如幾何和代數(shù)的引入。但是,此時(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展并沒有形成對(duì)其表達(dá)對(duì)象的深刻理解,因?yàn)檫@時(shí)還延續(xù)柏拉圖以后數(shù)學(xué)與善分離的傳統(tǒng)。即是說,以數(shù)學(xué)自身直觀對(duì)象是數(shù)學(xué)發(fā)展、創(chuàng)新和運(yùn)用的一般情形。但是,數(shù)學(xué)概念本身的形成、闡釋和傳達(dá),顯然是不能離開作為目的的善。比如,幾何概念“如果離開了對(duì)空間的引用,那么這些概念就沒有任何意義”［1］669。因此,盡管我們可以說柏拉圖關(guān)于數(shù)學(xué)與善不能分離的洞見已然久遠(yuǎn),然而我們卻不能說現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展與完善已然統(tǒng)一了數(shù)學(xué)與善。如果僅從數(shù)理推導(dǎo)的邏輯來看,只關(guān)注數(shù)學(xué),而不在意善,顯然不是問題。但是,如果我們?cè)跀?shù)學(xué)思考和傳授中沒有把作為目的的善甚或是作為對(duì)象屬性的善與數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容一致起來的話,那么數(shù)學(xué)可能就只能遺留下邏輯自洽的概念、判斷和推理。就此而論,柏拉圖提出的數(shù)學(xué)與善一致判定,遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了對(duì)數(shù)學(xué)是實(shí)現(xiàn)善的功利主義肯定,而是從建立感覺與思想之間的內(nèi)在聯(lián)系的意義上來強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的特質(zhì)與意義。因?yàn)?對(duì)人而言,“我們不僅僅擁有一個(gè)變化的世界,它的一切都是完全不可把握的;也不僅僅擁有單一純粹的存在的世界,它的一切都是孤獨(dú)的莊嚴(yán)。在技藝?yán)镞@兩個(gè)限度通過數(shù)學(xué)要素被融合為一個(gè)有秩序的整體”［3］31-32。

第二,數(shù)學(xué)與善的分離這個(gè)曾經(jīng)引發(fā)學(xué)術(shù)進(jìn)步的“輝煌錯(cuò)誤”,一方面強(qiáng)化了數(shù)學(xué)的工具性,另一方面更提出了數(shù)學(xué)與善統(tǒng)一的重要性。當(dāng)懷特海在現(xiàn)代知識(shí)發(fā)展的整體邏輯中重提這一問題時(shí),顯然是看到輝煌錯(cuò)誤之后必須正視的問題。對(duì)此的重視,既是對(duì)數(shù)學(xué)自身發(fā)展?fàn)顟B(tài)的考量,又是對(duì)數(shù)學(xué)與其他科學(xué)關(guān)系的判斷。在數(shù)學(xué)與善分離的傳統(tǒng)中,數(shù)學(xué)是對(duì)某種具有本體確定性對(duì)象的說明。比如對(duì)空間而言,“按照柏拉圖、歐幾里德他們的觀念,數(shù)學(xué)的目的就是對(duì)空間性概念的充分說明”［1］669。如此對(duì)數(shù)學(xué)功用的強(qiáng)調(diào)卻疏離了數(shù)學(xué)的本質(zhì),而且也阻滯了科學(xué)的發(fā)展。因?yàn)閿?shù)學(xué)與善的分離,使數(shù)學(xué)的一致性與邏輯自洽性成了數(shù)學(xué)的標(biāo)識(shí),是理性精巧之美的體現(xiàn),深深地影響了現(xiàn)代科學(xué)。比如,“因?yàn)殡x開了在思想基礎(chǔ)引進(jìn)數(shù)學(xué)與善分離的簡(jiǎn)化,現(xiàn)代物理學(xué)沒有前設(shè)性的簡(jiǎn)化來解釋自身”［1］669。然而,19世紀(jì)末20世紀(jì)初非歐幾何的發(fā)展,在解決現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)上使長(zhǎng)達(dá)四千多年的數(shù)學(xué)與善的分離狀態(tài)得以重新被重視。懷特海依據(jù)其表征的知識(shí)內(nèi)容稱之為“獨(dú)一無二的幾何學(xué)的錯(cuò)誤”［1］670。當(dāng)現(xiàn)代科學(xué)面對(duì)這一錯(cuò)誤,并給出“我們現(xiàn)在知道了”［1］670的判斷,顯然不是對(duì)過往失誤的追悔莫及,而是對(duì)數(shù)學(xué)與善分離的現(xiàn)代反思。因此,數(shù)學(xué)與善分離導(dǎo)致“過度強(qiáng)調(diào)歐幾里德式的演繹技巧”［5］、強(qiáng)化“任何有限知識(shí)完全自足的觀念”［1］670,必然會(huì)導(dǎo)致教條主義的錯(cuò)誤,錯(cuò)失知識(shí)產(chǎn)生的背景,失去與生活目的的聯(lián)系。或者說,數(shù)學(xué)與善的分離,強(qiáng)調(diào)有限模式在數(shù)學(xué)建構(gòu)和數(shù)學(xué)教育中的重要地位,雖然能夠?qū)⑦壿嬂硇缘耐陚浜妥郧⒈憩F(xiàn)得淋漓盡致,但是卻不可避免地會(huì)產(chǎn)生落入武斷的懷疑主義的窠臼。在此背景下,數(shù)學(xué)其實(shí)只是一種失去根基的完成狀態(tài)。由此看來,數(shù)學(xué)與善的分離使完成了的數(shù)學(xué)成了數(shù)學(xué)理所當(dāng)然的形象,更以理性完美的形象證明有限的自足性,從而也潛在地表明數(shù)學(xué)與善的分離在某種程度上強(qiáng)化了懷疑論。更直接地講,數(shù)學(xué)與善的分離雖然使現(xiàn)代科學(xué)和知識(shí)體系得以產(chǎn)生、發(fā)展和繁榮,但是卻產(chǎn)生懷特海所反對(duì)的兩種實(shí)在之間的沖突,即脫離善的將數(shù)學(xué)作為表達(dá)“型”的實(shí)在與追求善的生活實(shí)在之間的沖突,因?yàn)檫@一分離產(chǎn)生了阻滯現(xiàn)代知識(shí)進(jìn)步的惡。重提數(shù)學(xué)與善,也就意味著既應(yīng)該從數(shù)學(xué)自身來思考數(shù)學(xué),又要從生活存在來思考數(shù)學(xué)。

第三,數(shù)學(xué)與善的分離偏離了柏拉圖基于理念論對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的洞見,產(chǎn)生了“具體性誤置”謬誤,放大了自希臘以來便存在于數(shù)學(xué)之中的矛盾。數(shù)學(xué)與善的互成在柏拉圖那里是基于理念論哲學(xué)的,所以蘇格拉底所說的“我所知道就是無知”,本身就意味著數(shù)學(xué)與善并非自足的停留,而是不斷地發(fā)展著的。因此,在數(shù)學(xué)與善的互成中,發(fā)現(xiàn)存在于數(shù)學(xué)知識(shí)中的矛盾,對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展與變化具有根基性意義。然而,數(shù)學(xué)與善分離卻使之不再成為問題。所以,懷特海特別感嘆,“關(guān)于數(shù)的觀念自希臘時(shí)代以來就總是包含奇怪的小矛盾,然而有思想的人們卻總是忽略了它們”［1］671。現(xiàn)代知識(shí)邏輯發(fā)展中“數(shù)學(xué)已喪失確定性”的觀念,也并非要否定以幾何學(xué)研究“型”、以數(shù)的概念表達(dá)類型的數(shù)學(xué)本身,而是要揭示數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)成中欣賞無用的幻覺、拋棄數(shù)學(xué)產(chǎn)生依賴宇宙之存在原因。或者說,數(shù)學(xué)與善的分離所產(chǎn)生的前文所論的自足性,不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的內(nèi)在桎梏,而且要拒斥數(shù)學(xué)產(chǎn)生及其意義發(fā)生的本體論承諾。所以,懷特海極為贊賞弗雷格判斷算術(shù)搖搖欲墜的觀點(diǎn),同時(shí)對(duì)羅素引進(jìn)實(shí)體類型來闡釋數(shù)字本質(zhì)的工作充滿信心。羅素雖然沒有直接恢復(fù)數(shù)學(xué)與善的互成,但是他把“數(shù)限定在一種類型中來解決所有矛盾”［1］671的方式,是事實(shí)上對(duì)數(shù)學(xué)與善關(guān)系的知識(shí)論恢復(fù)。在此意義上講,無論是面對(duì)空間位置的幾何,還是處理對(duì)象存在的數(shù),都是基于善發(fā)生學(xué)的模式真理。數(shù)學(xué)中的基本概念,“都是從某一特定實(shí)例中抽象出來的給定種類的實(shí)例”［1］672,與其產(chǎn)生的語境,或者說善發(fā)生過程有著本體論上的一致。因此,算術(shù)、幾何和代數(shù)等具體數(shù)學(xué)知識(shí),雖然其表達(dá)形態(tài)各異,但是都沒有辦法不參考無際的宇宙,數(shù)學(xué)本身是“一種從背景中抽象出來的實(shí)體性存在”“一種以思想的方式強(qiáng)調(diào)的客觀形式”。［1］672然而,數(shù)學(xué)與善的長(zhǎng)期分離,使人們形成了關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的刻板印象,但是如果基于數(shù)學(xué)與善一致的洞見,從人類發(fā)展數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的歷史來看,就自然能夠超越柏拉圖洞見中的含混與樸素,同時(shí)更能解決數(shù)學(xué)自身的客觀性問題,從而使數(shù)學(xué)真正成為人類思想存在和價(jià)值的理性范例。而且,如果數(shù)學(xué)與善真正能夠互成,既能夠解決拉圖爾對(duì)于數(shù)學(xué)重回唯物論的呼吁,也能夠從根本上改變科學(xué)在講故事中把故事當(dāng)作實(shí)在的問題。因?yàn)?數(shù)學(xué)與善的分離,以及現(xiàn)代科學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的依賴,總是使科學(xué)誤置具體性,“把身體變成故事,又把故事變成身體;既產(chǎn)生稱為‘實(shí)在’的東西,又產(chǎn)生對(duì)實(shí)在的證詞”［6］。

由此看來,數(shù)學(xué)與善的同一,是作為一個(gè)哲學(xué)洞見被提出來的,然而在數(shù)學(xué)從哲學(xué)中分離出來成為具有重大影響的獨(dú)立學(xué)科的時(shí)候,這一洞見卻被數(shù)學(xué)與善分離的事實(shí)所代替。這一代替在傳統(tǒng)邏輯中雖然推動(dòng)了數(shù)學(xué)發(fā)展,但是在現(xiàn)代知識(shí)發(fā)展中必須被重新審視。因?yàn)?這一分離一方面使數(shù)學(xué)日益工具化,另一方面使數(shù)學(xué)日益抽象概念化。然而,數(shù)學(xué)與善的本然結(jié)合和數(shù)學(xué)的發(fā)生現(xiàn)象學(xué)又使數(shù)學(xué)本身實(shí)現(xiàn)能夠善的表達(dá)。因此,懷特海基于現(xiàn)代知識(shí)發(fā)展的背景,對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展表示出深深的憂慮,明確提出,“玩弄抽象概念并不能克服17世紀(jì)科學(xué)思想方法中‘具體性誤置’所引起的混亂”［7］。

二、數(shù)學(xué)的確切性和善的理想性與實(shí)踐的模糊性

數(shù)學(xué)與善都是從具體事物中抽象出關(guān)于事物的“類型”,具有超出直接經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)實(shí)實(shí)踐的理想性。數(shù)學(xué)與善都具有理想性這一事實(shí),使數(shù)學(xué)與善對(duì)于表征人的理性具有邏輯的同構(gòu)性與社會(huì)實(shí)踐的同一性。而且,數(shù)學(xué)與善都與現(xiàn)實(shí)實(shí)踐在表達(dá)確切性上區(qū)別開來,又在具體實(shí)踐產(chǎn)生的效果上結(jié)合起來。所以,數(shù)學(xué)和善“作為直接超越任何現(xiàn)實(shí)實(shí)踐的典范”［1］673,既以善的理想性定義模糊性的實(shí)踐,又以數(shù)學(xué)的確切性使經(jīng)驗(yàn)性的實(shí)踐行之有效。數(shù)學(xué)與善以概念的確切性與價(jià)值的理想性,改造了模糊的知覺,真正使柏拉圖致力于通過數(shù)學(xué)來講善的追求得以實(shí)踐性落實(shí)。

第一,數(shù)學(xué)和善以概念的自洽和價(jià)值的超越賦予存在以生氣,使模糊的知覺變得精確與穩(wěn)定,既成為實(shí)踐的指引,又成為現(xiàn)實(shí)的追求。雖然現(xiàn)代知識(shí)的擴(kuò)展使數(shù)學(xué)與善關(guān)系的表現(xiàn)形式發(fā)生了重大變化,但卻在數(shù)學(xué)與美和惡的聯(lián)系中重新表明出二者關(guān)系的重要性。追求數(shù)學(xué)的確切與善的理想是理性存在者所特有的。因?yàn)?唯有理性存在者才有選擇性難題,他既要求具體例示,又抽象具體示例。特別是對(duì)人而言,當(dāng)其以社會(huì)性智能歷史地建構(gòu)出例示內(nèi)蘊(yùn)的超歷史的類型的時(shí)候,其實(shí)就創(chuàng)造了精確的數(shù)學(xué)概念和理想的善的觀念。這是人類智能所獨(dú)有的特性。這顯然符合西賽羅對(duì)蘇格拉底的贊美,將善拉入人間進(jìn)行思考是極其重要的變革。同時(shí)也證明了數(shù)學(xué)之確切與善之理想的意義。與此同時(shí),我們可以窺見柏拉圖以數(shù)學(xué)論證善的困難。因?yàn)?數(shù)學(xué)與善在現(xiàn)實(shí)中是直接與實(shí)踐區(qū)分開來的,“善的理想和數(shù)學(xué)的確切都是關(guān)于精確性的。精確性是實(shí)踐和理論的區(qū)別。無論何時(shí)何地,也無論顯性或隱性,精確性始終是理論的根本要求”［1］673。但是,這并不意味數(shù)學(xué)和善就與經(jīng)驗(yàn)性實(shí)踐和現(xiàn)實(shí)性活動(dòng)是兩種完全不同的對(duì)象。雖然在實(shí)踐中,確切的數(shù)學(xué)概念和理想的善從來都不曾完全實(shí)現(xiàn),也不可能真正達(dá)到,但是人們總能在模糊經(jīng)驗(yàn)中達(dá)到數(shù)學(xué)之真與善之美。無論是成人還是孩童,都概莫能外。這也就意味數(shù)學(xué)與善只是經(jīng)驗(yàn)實(shí)踐的一體兩面。這既構(gòu)成了數(shù)學(xué)和善與生活的同構(gòu)性關(guān)系,又意味數(shù)學(xué)概念的精確性與邏輯的自洽性內(nèi)置了善的理想性。特別是現(xiàn)代科學(xué)解構(gòu)確切與客觀固定與不變之后,數(shù)學(xué)與善所表達(dá)的精確性就顯然不能再訴諸絕對(duì)的實(shí)體本體,而要服從與服務(wù)于人的現(xiàn)實(shí)生活。其實(shí),如果不考慮現(xiàn)代物理學(xué)對(duì)傳統(tǒng)客觀實(shí)體觀念的解構(gòu),即使只從數(shù)學(xué)概念化的精確性的來源也可知其中必須蘊(yùn)含著對(duì)生活善的理解。這也是為什么柏拉圖會(huì)在《菲力布篇》明確體現(xiàn)出數(shù)學(xué)如何精確地從技藝中篩選出數(shù)學(xué)的要素,并隱喻性地指向善的真正原因。因?yàn)?“知識(shí)體的科學(xué)特性依賴于通過數(shù)量原理實(shí)踐理智控制的能力,此后,他繼續(xù)工作,并將這一概念化應(yīng)用于數(shù)學(xué)本身”［3］40。而當(dāng)懷特海在現(xiàn)代知識(shí)背景下再提數(shù)學(xué)與善時(shí),顯然是贊成柏拉圖的觀念并且將其推進(jìn),“請(qǐng)記住,無論是人類關(guān)于一英寸的長(zhǎng)度,還是一秒鐘的時(shí)間,作為確定無疑的基本單位,都與人的生活完全相關(guān)”［1］674。或者說,數(shù)學(xué)的確切與善的理想都內(nèi)在于生活,但卻并不是實(shí)然地存在于生活之中等待被發(fā)掘出來的知識(shí)體系,而是激活真實(shí)事件的理想性與超越性。數(shù)學(xué)與善同時(shí)使人認(rèn)識(shí)到抽象無限性的無效,而數(shù)學(xué)與善則又共同揭示有限的意義,指引了有限的未來達(dá)到無限本身。所以,“有限饋贈(zèng)價(jià)值,這是人類活動(dòng)的必要條件。而活動(dòng)意味集合模式得以產(chǎn)生,數(shù)學(xué)恰恰又是研究模式的學(xué)問”［1］674。由此,數(shù)學(xué)研究與善的追求在實(shí)踐指引與現(xiàn)實(shí)追求中造就了共同的存在論基礎(chǔ)。

第二,數(shù)學(xué)的確切性與善的理想性通過對(duì)有限與無限的證成與表達(dá),既明確其二者的理論對(duì)象,更闡明與澄清數(shù)學(xué)和善處理有限模式的原因。雖然在《理想國(guó)》中柏拉圖將數(shù)學(xué)抬高到了純粹的高度,但卻并沒有從根本上解決數(shù)學(xué)淪為工具的問題。因?yàn)樵诎乩瓐D的邏輯中雖然存在著“數(shù)學(xué)與善的闡述是由善牽涉、追溯至數(shù)學(xué)而并非在數(shù)學(xué)下解釋善,數(shù)學(xué)的善是一種發(fā)自人的經(jīng)驗(yàn)但又脫離人的經(jīng)驗(yàn)的純形式、理想化的境界”［8］,但是,數(shù)學(xué)并沒有逃脫工具化的宿命。因?yàn)?“數(shù)學(xué)搭建了物質(zhì)與理念世界的橋梁,是通達(dá)善的工具和關(guān)鍵途徑”［8］的判斷為數(shù)學(xué)的工具化留下邏輯可能。我們有理由相信懷特海重提數(shù)學(xué)與善應(yīng)該是明了問題的關(guān)鍵。因此,在其看來如何在哲學(xué)層面超越具體的數(shù)學(xué)理論(或公式)說明這一問題就至關(guān)重要。因?yàn)?這一問題不僅關(guān)涉到現(xiàn)代知識(shí)背景下數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題,更是關(guān)系現(xiàn)代知識(shí)體系中數(shù)學(xué)發(fā)展與數(shù)學(xué)教育的重大根本問題。對(duì)此,懷特海特別強(qiáng)調(diào),“沒有獨(dú)立存在的有限實(shí)體”［1］674,只有被無限規(guī)定的有限和被有限說明的無限。也正因?yàn)槿绱?懷特海以近乎辯證法的邏輯判定有限與無限的互證與互成,為數(shù)學(xué)的確切與善的理想提供了本體論前提。數(shù)學(xué)從例示、實(shí)體,或者說是個(gè)體經(jīng)驗(yàn)到的對(duì)象中抽象出模式,其既是對(duì)有限的具體還原,又是借用無限達(dá)到的對(duì)有限的理性把握。數(shù)學(xué)知識(shí)作為一般的模式,不是源于其直接思考的無限,而是對(duì)有限的抽象。因此,有限就從意義與價(jià)值賦予的角度使無限具有意義,而無限又給予有限以確定性。所以在懷特海看來,如果只是借助于思辨哲學(xué),如同斯賓諾莎和萊布尼茲那樣不將數(shù)學(xué)的根基具體化為人類的知識(shí)與價(jià)值,對(duì)有限與無限的說明就必須求助于“自然神論的無限”。但是如果從數(shù)學(xué)的確切性與善的理想性出發(fā)的話,那么這個(gè)問題就迎刃而解了。這既是在現(xiàn)代知識(shí)發(fā)展中必須討論數(shù)學(xué)與善的原因,也是現(xiàn)代知識(shí)化邏輯中的“數(shù)學(xué)與善”和柏拉圖的“數(shù)學(xué)與善”的重要區(qū)別。而要達(dá)到這種層面,必須在哲學(xué)的高度深入理解創(chuàng)造出數(shù)學(xué)知識(shí)的悟。因?yàn)椤啊颉@一概念既需要理解討論有限時(shí)為何需要無限、討論無限時(shí)為何需要有限”［1］675。或者說,數(shù)學(xué)基于有限的模式本身就是通向無限性的理想性的善。這樣既規(guī)避了客觀真理的數(shù)學(xué)知識(shí)源于有限的問題,又解決了善理想性的無限如何通達(dá)的問題。由此看來,柏拉圖提出數(shù)學(xué)與善的問題其實(shí)就已經(jīng)睿智地?fù)糁辛藛栴}的關(guān)鍵,但卻因?yàn)橹R(shí)體系尚未充分展開,只能是一個(gè)洞見。現(xiàn)代知識(shí)體系的發(fā)展所敞開的事實(shí)證明,數(shù)學(xué)的確切性并非善的完滿性,而是模式源于生活的事實(shí)性,在有限與無限互證與互成中生成的可依賴性,以及規(guī)避惡與成就善的可能性。

第三,數(shù)學(xué)作為具有確切性的模式真理,是量的廣延、形的確定和善的理想,規(guī)范著實(shí)踐。數(shù)學(xué)的模式真理性是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)超越個(gè)體對(duì)象而客觀具有的,現(xiàn)實(shí)真理性則是由善的理想性在規(guī)范實(shí)踐模糊性中表達(dá)的。數(shù)學(xué)確切性是由形式結(jié)構(gòu)的創(chuàng)造性思維和具體內(nèi)容的客觀對(duì)象雙重本體所保證的,“數(shù)學(xué)在各個(gè)不同的抽象化水平上(即在各個(gè)抽象層次上),它總是從業(yè)已模式化的個(gè)體出發(fā),在進(jìn)一步的抽象過程中對(duì)可能產(chǎn)生的模式進(jìn)行研究”［9］。而且,模式在實(shí)踐中具有十分重要地位,“每門藝術(shù)都奠基于模式的研究,社會(huì)組織的穩(wěn)定與結(jié)合也依賴于模式的保持;文明的進(jìn)步也僥幸地依賴于行為模式的變更”［1］677-678。雖然懷特海這樣的判斷有將數(shù)學(xué)工具化的邏輯可能,但是執(zhí)著于模式的數(shù)學(xué)其實(shí)和語言一樣都力圖將意義結(jié)構(gòu)化在模式之中,并使數(shù)學(xué)在研究高階模式中和善一致起來,具有本體化的趨勢(shì)。或者說,數(shù)學(xué)本身所體現(xiàn)出來的邏輯合理性、模式真理性和現(xiàn)實(shí)真實(shí)性,構(gòu)成其確切性的核心內(nèi)涵,并在規(guī)范與影響實(shí)踐中表達(dá)量、形和善。數(shù)學(xué)發(fā)展的邏輯告訴我們,數(shù)學(xué)并沒有停留于柏拉圖對(duì)永恒不變的善的逼近或表達(dá)之中,而是在其不斷的發(fā)展中揭示出善的一般結(jié)構(gòu)和內(nèi)在構(gòu)成,并以數(shù)學(xué)的模式真理性地構(gòu)成善本身。因此,有學(xué)者明確提出,“通過數(shù)學(xué)知識(shí),我們認(rèn)識(shí)自然事物的組合和秩序。懷特海倡導(dǎo)數(shù)學(xué)的模式本質(zhì)觀,通過數(shù)學(xué)模式(研究對(duì)象)的構(gòu)建,闡述數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值理念,從中探求數(shù)學(xué)和善兩者間的關(guān)聯(lián)”［8］。或者說,正是數(shù)學(xué)在其自身內(nèi)容發(fā)展和觀念完善之中,本質(zhì)性地探問了善的問題,而這一探問的目的并沒有停留于數(shù)學(xué)達(dá)成善的方式與過程(盡管這是人們對(duì)數(shù)學(xué)的常識(shí)性觀念),更是深入到了數(shù)學(xué)模式真理演變本身展開善的歷史現(xiàn)象學(xué)。這也是懷特海在面對(duì)數(shù)學(xué)與善時(shí)始終強(qiáng)調(diào)不能離開人的生活思考數(shù)學(xué)本質(zhì)的重要原因之所在。

因此,數(shù)學(xué)確切性的面相在數(shù)學(xué)產(chǎn)生那一刻就被人們所認(rèn)可,然而正是因?yàn)閿?shù)學(xué)與善的內(nèi)在一致性使得數(shù)學(xué)確切性和善的理想性關(guān)聯(lián)起來。數(shù)學(xué)與善的這種關(guān)系其實(shí)展開于數(shù)學(xué)模式形成、確定、運(yùn)用和修正之中,這既構(gòu)成數(shù)學(xué)在模式中結(jié)構(gòu)化意義與價(jià)值的能力,又構(gòu)成了數(shù)學(xué)表達(dá)善、成就善的過程,同時(shí)善的理想性又不斷修正模式使數(shù)學(xué)與善相互生成。正如前文所述,柏拉圖承接蘇格拉底思考善,但是他用數(shù)學(xué)來思考善本身就是一個(gè)偉大的創(chuàng)舉,正是這個(gè)創(chuàng)舉既使數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展依賴善實(shí)現(xiàn)的程度,又使善而非惡成為數(shù)學(xué)內(nèi)在的價(jià)值構(gòu)成。

三、數(shù)學(xué)對(duì)模式的智力分析與善惡對(duì)模式的存在依賴

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展使數(shù)學(xué)不再局限于對(duì)數(shù)目和圖形的分析和闡明,而是進(jìn)一步深入到對(duì)模式的研究。無論是代數(shù)還是幾何,均是如此。且不論為了滿足數(shù)學(xué)如上發(fā)展所引發(fā)的數(shù)學(xué)思維和理論方法的進(jìn)步,從“數(shù)”在代數(shù)學(xué)中的地位變化看,我們發(fā)現(xiàn)數(shù)已從數(shù)學(xué)的核心地位轉(zhuǎn)變成為對(duì)象提供名稱,“數(shù)學(xué)已轉(zhuǎn)變成對(duì)模式類型的智力分析”［1］677。數(shù)學(xué)的這一轉(zhuǎn)變顯然不僅是知識(shí)自身邏輯發(fā)展的結(jié)果,更是現(xiàn)代人對(duì)模型重視的必然。其實(shí),隨著經(jīng)驗(yàn)形而上學(xué)意義的確定,以及實(shí)驗(yàn)對(duì)現(xiàn)代科學(xué)的存在論奠基和范式改變,模型以及模型之間的關(guān)系在經(jīng)驗(yàn)生活和理性知識(shí)中的重要性與根本性便日益凸顯。模式構(gòu)成經(jīng)驗(yàn)生活的直接規(guī)定,模式關(guān)系限定善惡的發(fā)生。因此,善惡與數(shù)學(xué)在現(xiàn)代歷史語境中的再次相遇也就絕非偶然,將柏拉圖充滿經(jīng)驗(yàn)暗示的哲學(xué)洞見再一次提出來,必然需要我們重新思考數(shù)學(xué)與善的關(guān)系問題。

第一,模式成為數(shù)學(xué)核心對(duì)象確證了柏拉圖對(duì)數(shù)學(xué)的正確洞見,善惡與模式的關(guān)系也再一次證明了數(shù)學(xué)與善關(guān)系之于人類知識(shí)和生活的重要性。如此看來,柏拉圖講演的不成功,不在于判斷正誤,而在于數(shù)學(xué)發(fā)展的狀態(tài)和人對(duì)模式重要性的認(rèn)知。從數(shù)學(xué)發(fā)展史的角度來看,模式并非一開始就是數(shù)學(xué)關(guān)注的對(duì)象,而是20世紀(jì)以前半個(gè)世紀(jì)知識(shí)論發(fā)展的結(jié)果。這里既有幾何學(xué)的進(jìn)展,更有代數(shù)學(xué)的明確。代數(shù)群論的興起就是極佳的證明。或者說,隨著知識(shí)論發(fā)展,數(shù)目和形狀在數(shù)學(xué)知識(shí)中的地位逐漸退后,模式逐漸走向前臺(tái),這既是數(shù)學(xué)獨(dú)有能力的證明,“對(duì)于理解模式和分析模式之間的關(guān)系,數(shù)學(xué)是最強(qiáng)有力的技術(shù)”［1］678;又是人類生活對(duì)模式依賴的證明,經(jīng)驗(yàn)層面模式雖然“只是我們的經(jīng)驗(yàn)的實(shí)現(xiàn)中的一個(gè)因素,或者是直接價(jià)值,或者是為了未來的價(jià)值的感覺刺激”［1］678,但存在層面的模式卻是一個(gè)內(nèi)置于人類行為之中的文明要素,無論是藝術(shù)、社會(huì)體系還是歷史進(jìn)步無一不受其影響和制約,人現(xiàn)實(shí)的行為已經(jīng)“把模式注入自然事件之中,模式的穩(wěn)定性,以及模式的發(fā)展,都是善實(shí)現(xiàn)的必要條件”［1］677。因此,從現(xiàn)代知識(shí)論和人類活動(dòng)兩個(gè)方面都證明一個(gè)事實(shí),模式推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展,數(shù)學(xué)明確模式狀態(tài);模式規(guī)定善的實(shí)現(xiàn),善表征模式特質(zhì)。因此,“數(shù)學(xué)的進(jìn)步并不只存在于導(dǎo)致對(duì)問題的新答案的研究之中。這些問題自身依賴于程序的模式。這些程序的模式最初并沒有與它們發(fā)生于其中的答案區(qū)分開來,它們并未普遍化”［3］16。顯然,這既是數(shù)學(xué)發(fā)展的一般邏輯,也是柏拉圖講演在古希臘時(shí)效性不強(qiáng)的原因之所在。然而,隨著人類歷史的發(fā)展,模式卻逐漸展開并呈現(xiàn)出前述的獨(dú)立性。模式獨(dú)立性的獲得及其與善關(guān)系的明確,使數(shù)學(xué)與善的關(guān)系再一次深度交織。這一方面是因?yàn)閿?shù)學(xué)對(duì)模式的智力理解具有“壓倒性的優(yōu)勢(shì)”［1］678,另一方面則是人類總會(huì)在現(xiàn)實(shí)的生活中開創(chuàng)出新奇性的模式從而展開善的新命題。

第二,數(shù)學(xué)在對(duì)模式的智力性分析中與世界建構(gòu)了整全性關(guān)系,既深度揭示模式規(guī)范善惡的邏輯,又培植人向善的能力。數(shù)學(xué)對(duì)模式的智力分析,并非數(shù)學(xué)知識(shí)的獨(dú)立性與功能性,恰恰是在理性分析中表征模式存在的整體性。這一方面是存在自身的特性使然,因?yàn)?模式的個(gè)性或單一的關(guān)系都不能構(gòu)成模式自身的規(guī)定性,更遑論其對(duì)善的規(guī)定性;另一方面數(shù)學(xué)對(duì)模式的智力分析顯然不是邏輯分析,而是對(duì)內(nèi)蘊(yùn)模式的自然世界的直觀和構(gòu)造,是被康德稱之為感性-知性科學(xué)的純粹科學(xué)。因此,當(dāng)懷特海重提數(shù)學(xué)與善的時(shí)候,實(shí)質(zhì)上“將批評(píng)的矛頭指向了獨(dú)斷論,他認(rèn)為一個(gè)獨(dú)斷論者恰好是徹底懷疑的,并在此闡明作為無限的‘善’與作為處理有限模式的‘?dāng)?shù)學(xué)’之間不可分割的關(guān)聯(lián)”［10］。當(dāng)數(shù)學(xué)在智力分析中引入“任一”(any)這一概念的時(shí)候,就使其具有了超越有限直面無限的可能,并“與整個(gè)環(huán)境發(fā)生關(guān)系”［1］678。這既為善惡所參考的不同經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ教峁┝死硇砸罁?jù),又以理性分析的方式還原了善惡的存在論處境。因?yàn)閿?shù)學(xué)非常注意對(duì)概念與對(duì)象之間的沖突、對(duì)象與對(duì)象的不一致、概念與概念之間的矛盾的理性分析并形成對(duì)模式自洽性的判定。這既解決了經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ降膮f(xié)調(diào)性問題,又使經(jīng)驗(yàn)獲得的模式得以升華成為引導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)向善。更為重要的是,數(shù)學(xué)通過對(duì)有限模式的分析,使其存在關(guān)系得以展現(xiàn),使聯(lián)系成為模式表征的事物本身的規(guī)定性。所以,當(dāng)數(shù)學(xué)從被模式化的特殊事物中抽象出模式本身的時(shí)候,將事物從有限擴(kuò)展到無限,從而具有善的特質(zhì)、成為善惡的限定、引領(lǐng)善的行為。對(duì)此,懷特海確定無疑地宣布將數(shù)學(xué)定義為對(duì)有限模式理性分析的重要意義,“我要強(qiáng)調(diào)的觀點(diǎn)是,模式對(duì)于善惡的產(chǎn)生不可或缺,在有限感受單位中能夠獲得對(duì)這種模式所帶來的具體體驗(yàn)”［1］680。

第三,數(shù)學(xué)對(duì)模式的理性分析,內(nèi)置了柏拉圖珍視的“包含著強(qiáng)調(diào)”［1］681的抽象方法,是以有限激活無限、創(chuàng)造價(jià)值的善所必需的方法。雖然數(shù)學(xué)的這一特性使得數(shù)學(xué)在諸多時(shí)候和場(chǎng)景中被當(dāng)作工具或者中介,但是數(shù)學(xué)也一直被喻為人類智慧皇冠上的明珠。因此,數(shù)學(xué)抽象方法的強(qiáng)調(diào)顯然不是工具性的突出與強(qiáng)化,而是在與善互成過程中的本體性建構(gòu)。這也是為什么人們也把數(shù)學(xué)稱為世界觀的原因。這一方面是因?yàn)閿?shù)學(xué)所表征的類理性使然,另一方面則是因?yàn)閿?shù)學(xué)不僅以理性開啟直指事功的新世界,同時(shí)更是開啟了實(shí)現(xiàn)善并和善統(tǒng)一的新途徑。懷特海在重提“數(shù)學(xué)與善”時(shí),就深深地被數(shù)學(xué)分析模式表征的理性所折服:“希臘天才逐漸突出抽象方法是特別新奇的事情。”［1］680雖然后來因?yàn)閿?shù)學(xué)與善的分離,并引發(fā)了抽象的誤用,或多或少地影響了數(shù)學(xué)的形而上學(xué)意義、動(dòng)搖了數(shù)學(xué)的地位。但是,從柏拉圖以數(shù)學(xué)來闡明善的時(shí)候本身就是以抽象的方式講出一個(gè)事實(shí):如果經(jīng)驗(yàn)是具體統(tǒng)一的,那么數(shù)學(xué)抽象的公式和結(jié)論就會(huì)真正從有限中抽象出激活無限的模式。而且,數(shù)學(xué)與善的關(guān)系也就一直存在數(shù)學(xué)思考之中,不斷地被哲學(xué)家們以不同的方式常提常新。比如康德就以數(shù)學(xué)與自由申明了數(shù)學(xué)與善的統(tǒng)一。這一方面是因?yàn)?就現(xiàn)實(shí)而言,有限之有限就在模式本身的具體性,特別是“每個(gè)人在他自己的范圍內(nèi)可能達(dá)到善;但是這一結(jié)果不確定、不牢靠、易于犯種種錯(cuò)誤”［3］36。因此,“能導(dǎo)向?qū)φ胬淼睦斫狻保?1］525的抽象方法或者說數(shù)學(xué)就會(huì)必然出場(chǎng),因?yàn)?這會(huì)達(dá)成一個(gè)“任何現(xiàn)實(shí)的創(chuàng)造中所涉及的抽象,具有連通無限與有限的統(tǒng)一性”［1］681,就如同表達(dá)具體個(gè)體的數(shù)一樣。另一方面,數(shù)學(xué),特別是“幾何學(xué)會(huì)使得人們更加容易看到善的理念,迫使我們看到存在,而不僅僅是變化”［3］51。因?yàn)閹缀螌W(xué)重大的高深的部分就是讓人能夠“把握善的型”［11］527。總之,數(shù)學(xué)理性分析模式本身,顯然不是為了確立模式自己,而是“以美與善為目的”來分析模式和建構(gòu)模式,是以理性的方式使模式存在者成為模式的表達(dá)者。

因此,數(shù)學(xué)對(duì)模式的理性分析切中善惡發(fā)生的一般條件,使善惡作為對(duì)象的規(guī)定性突顯出來。對(duì)人而言,明晰數(shù)學(xué)研究模式的意義與方式,明了善惡存在與發(fā)生的一般條件,顯然離不開數(shù)學(xué)。這在雅典城邦的生活中是如此,在人工智能時(shí)代的今天亦是如此。正如柏拉圖在《理想國(guó)》中所言一樣,“只要他想做一個(gè)人,他就要學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)和計(jì)算”［11］521。所以,數(shù)學(xué)對(duì)模式的研究不僅關(guān)乎人言說世界的語言建構(gòu),還關(guān)乎人行為的善和善的行為。

四、結(jié)論

懷特海重提數(shù)學(xué)與善,顯然是一個(gè)哲學(xué)的追問,而非科學(xué)的提問。這既是以哲學(xué)的方式來展示現(xiàn)代數(shù)學(xué)的本質(zhì),又以哲學(xué)的方式揭示善的本性。如果說懷特海所言的“哲學(xué)不是科學(xué)”［1］681是正確的,那么我們可以說數(shù)學(xué)不是科學(xué)。這意味著對(duì)數(shù)學(xué)與善的思考既是對(duì)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)意義的追問,更是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的追問,還是對(duì)時(shí)代與數(shù)學(xué)關(guān)系的追問。這一追問,使我們?cè)僖淮误w會(huì)到柏拉圖的深刻:數(shù)學(xué)“就是我們正在尋找的那種學(xué)習(xí)之一,通過這種學(xué)習(xí)能使思想清醒,盡管它確實(shí)能夠把心靈引向本質(zhì)和實(shí)在,但沒有人正確地使用它”［11］521。今天,身處人工智能時(shí)代的我們雖然有了更完備的理論體系和更繁雜的知識(shí)邏輯,但是人類社會(huì)理論與知識(shí)的繁榮并沒有取消那些根基性問題,數(shù)學(xué)與善依然是我們需要深入思考和審慎對(duì)待的重要問題。其一,知識(shí)論意義上數(shù)學(xué)的發(fā)展依賴于哲學(xué)觀念的變革是不爭(zhēng)事實(shí)。如何將我們這個(gè)時(shí)代世界觀念的變化,特別是微觀物理學(xué)的發(fā)展和量子力學(xué)的發(fā)展內(nèi)化到數(shù)學(xué)的觀念、理論和知識(shí)之中,達(dá)到對(duì)世界之善(屬性)的深刻認(rèn)知,需要我們重新思考這一難題;其二,在技術(shù)興盛并從根本上影響人類存在和未來的時(shí)代,數(shù)學(xué)的工具性日益強(qiáng)化、形而上學(xué)逐漸褪去的時(shí)候,數(shù)學(xué)之善與數(shù)學(xué)的意義更需要我們深入追問數(shù)學(xué)與善的關(guān)系;其三,時(shí)代的艱苦與創(chuàng)新的艱難,需要我們突破與創(chuàng)新,數(shù)學(xué)的創(chuàng)新更是根基性工作,我們?nèi)绾瓮黄茢?shù)學(xué)知識(shí)既有體系,真正將人類之善融入數(shù)學(xué)的自洽之中,使向善之學(xué)成為善之學(xué)更需要我們重審這一追問。