壓電致動柔性結構的遲滯建模與精密控制技術研究*

金愛國 ，郭德強 ，金貴陽

（寧波職業(yè)技術學院智能裝備研究所，浙江 寧波 315800）

在過去的幾十年里，許多人致力于壓電致動柔性結構的建模和控制，研究了壓電致動柔性結構的各種遲滯模型和控制方法。但是關于壓電致動柔性結構的遲滯建模和控制的專門綜述類文章很少。Hassani等[1]對智能材料的遲滯建模和控制進行了相關綜述，Gu 等[2]專注于壓電驅動納米定位臺的建模和控制，但這些研究都沒有直接關注壓電致動柔性結構的建模和控制。本文以壓電致動柔性結構為研究對象，對其非線性遲滯建模與控制進行了綜述，并在此基礎上，提出了壓電致動柔性結構遲滯建模的新類型和控制方法，對不同的遲滯模型和控制方法進行了比較。

1 壓電致動柔性結構遲滯特性

壓電致動柔性結構基于逆壓電效應實現高精度的定位，逆壓電效應指的是壓電材料在外加電場的作用下會產生相應的變形[3]。此外，在外加電場的作用下，壓電致動柔性結構還存在鐵電效應和電致伸縮效應，這些特性使其具有了遲滯非線性[4]。遲滯一詞最早是由物理學家Alfred 對其進行了定義，遲滯現象是壓電材料所受電壓與輸出位移之間的一種多值映射的非線性現象[5]。

遲滯模型通常可以分為物理遲滯模型和唯象遲滯模型。其中，物理遲滯模型是通過確立位移、能量和應力應變之間的關系來揭示遲滯現象，從而描述遲滯現象的一種模型；而唯象遲滯模型則是采用數學模型來表示遲滯現象。由于壓電材料遲滯現象的物理成因較為復雜，難以精準分析，根據物理成因進行建模難度較大，所以唯象遲滯模型得到了廣泛的應用，其中包含靜態(tài)遲滯模型和動態(tài)遲滯模型兩大類。

2 壓電致動柔性結構遲滯建模

2.1 壓電致動柔性結構靜態(tài)遲滯建模

2.1.1 Preisach模型

Preisach 模型是由德國物理學家F. Preisach 提出的，用于描述鐵磁化現象中的遲滯特性。后經蘇聯數學家對其進行物理含義的剝離，推廣應用于描述壓電材料的遲滯行為。經典的Preisach 模型采用Relay 算子γαβ[v(t)]和密度函數μ(α,β)來描述輸入與輸出之間的關系。模型表達式如下：

式中，v(t)和y(t)分別表示遲滯模型的輸入與輸出，α和β為Relay算子的兩個閾值且α≥β。

Preisach 模型廣泛應用于智能材料的滯回建模，該模型在空載情況下能較好地表征遲滯。但是隨著預加載力和執(zhí)行器輸入頻率的增加，Preisach 模型的精度將逐漸降低[6]。為了提高Preisach 模型的精度，Mayergoyz 等[7]提出了引入積分函數的廣義Preisach模型。通過擬合一階和二階過渡曲線，使得模型具有更高的精度。在上述研究的基礎上，Ge 等[8]進一步優(yōu)化了廣義Preisach 模型，在主上升回路上定義了一個特殊的滯回值，結果表明其對滯回輸出的預測效果較好。

2.1.2 Krasnosel’skii-Pokrovskii(KP)模型

在F. Preisach 提出Preisach 模型后，俄羅斯數學家Krasnosel’skii 將Preisach 模型引入到一個純形式化的數學形式中，其中的遲滯現象通過遲滯算子的線性組合來建模[9]。其主要區(qū)別在于改進了Play 算子kp[v,ξ(ρ)](t)取代了Preisach模型中的傳統Relay 算子。改進的Play算子如下所示：

從KP 模型的數學表達式可以發(fā)現，該模型與Preisach 模型有很大的相似性，可以看作是一個增強的Preisach 模型。相比于Relay 算子，KP 算子多了一個斜率參數，這使得它在描述復雜的遲滯現象時會更加準確，但仍沒擺脫雙重積分運算，導致其在求逆時很難得到解析解。為了克服Preisach 模型和KP 模型的缺陷，PI 模型作為Preisach 模型的子集被引入，與Preisach 模型和KP 模型相比，PI 模型具有更簡單的數學結構。

2.1.3 Prandtl-Ishlinskii(PI)模型

經典的Prandtl-Ishlinskii(PI)模型是由Preisach 模型演化而來的。主要區(qū)別在于Preisach 模型采用的是單積分器，而PI 模型采用的是雙積分器。PI 模型的結構具有低復雜度的優(yōu)點，便于求逆運算，因而廣泛應用于在線逆控制器。此外，算子也有所不同，KP模型采用Play 算子，PI 模型采用Stop 算子和Play 算子。Stop算子和Play算子滿足如下表達式：

式中，r和v(t)分別表示閾值和輸入電壓，Sr[v](t)和Pr[v](t)分別表示Stop算子和Play算子的輸出值。

由上式可知，Stop 算子和Play 算子是非常相似的，它們只是兩種不同的表達方法，在PI 模型中主要采用Play 算子。假設輸入電壓v(t)在[0,ts]時間域上是單調連續(xù)的，同時將其劃分為n個子區(qū)域，且滿足0=t0≤t1≤…≤tn=ts。對于閾值r≥0的Play算子Pr表示為：

式中，y(t)表示算子的輸出且滿足fr(v,y)=max(v-r,min(v+r,y))。

當密度函數pr為負數時，經典PI 模型難以求得逆模型。為了解決這一問題，Tan 等[10]提出了一種擴展的PI 算子，將滯后映射到具有良好反轉特性的區(qū)域，然后求逆權值以確定前饋控制器的逆滯后模型。此外，考慮到PI模型參數確定方面的困難，Dong等[11]將廣義間隙算子（GBO）作為初等算子引入到模型中，使模型對復雜滯后的建模更加靈活。此外，采用Levenberg-Marquardt算法對模型參數進行估計。

2.1.4 Maxwell模型

Maxwell 模型最初用于描述彈簧系統中力與位移的非線性關系。隨后，將其推廣到壓電致動柔性結構的非線性遲滯行為。在Maxwell 模型中，輸出可以看作是多個彈性元件的組合，每個彈性元件由一個無質量滑塊和一個無質量線性彈簧組成。該模型的表達式如下：

式中，x為輸入位移，F為輸出力，k為彈簧剛度，fi和ki為彈性有關參數。滑塊摩擦力為f=μN，μ為摩擦系數，xbi為第i個單元滑塊的初始位置。

基于Maxwell 模型，Yeh 等[12]提出了一種建模方法，引入了一種基于非線性彈簧元件的Maxwell 模型。為了表示氣動人工肌肉致動器的非線性特性，Vo-Minh 等[13]開發(fā)了用作集總參數準靜態(tài)模型的Maxwell-slip 模型。此外，還有一些基于Maxwell 模型的建模方法和補償控制。與Preisach 模型和PI 模型相比，Maxwell模型的表達式更簡單，沒有積分器。因為Maxwell 模型是一個率無關的遲滯模型，它不考慮輸入頻率和速率。

2.2 壓電致動柔性結構動態(tài)遲滯建模

動態(tài)遲滯建模受驅動電壓頻率影響，隨著頻率的增加，遲滯非線性現象也會愈發(fā)明顯。動態(tài)遲滯建模方法通常可以分為整體式動態(tài)遲滯建模和分離式動態(tài)遲滯建模。

2.2.1 整體式動態(tài)遲滯建模

整體式動態(tài)遲滯建模是將可以表征輸入信號速率的參數引入靜態(tài)遲滯模型中，從而建立可用于描述動態(tài)遲滯現象的一種建模方法。Wei 等[14]將遲滯加載曲線的斜率和速率之間的關系簡化為線性函數，使Play 算子由率無關變?yōu)槁氏嚓P，得到了動態(tài)調整的PI模型。Yang 等[15]通過引入動態(tài)包絡函數，使算子的閾值和權值在靜態(tài)的情況下，具有表征動態(tài)遲滯現象的能力。整體式動態(tài)遲滯模型能較好地表示壓電致動柔性結構動態(tài)遲滯現象，但是因為引入了導數的概念，使得算子和密度函數表達式更加復雜，提高了參數辨識和補償控制器設計的難度。

2.2.2 分離式動態(tài)遲滯建模

分離式動態(tài)遲滯建模將被控對象的動態(tài)遲滯現象分為靜態(tài)遲滯部分和時不變部分，再將兩者串聯，從而實現對被控對象的動態(tài)遲滯建模。相較于整體式動態(tài)建模方法，分離式動態(tài)建模方法不但能夠充分繼承靜態(tài)遲滯建模的優(yōu)點，而且建模較為簡單，深受研究者們的喜愛。王鈺鋒等[16]將改進的PI 模型作為靜態(tài)遲滯非線性部分，將外因輸入自回歸模型作為動態(tài)部分，建立了準備描述壓電致動柔性結構的動態(tài)遲滯模型。

3 壓電致動系統控制策略研究

建立了準確的壓電致動柔性結構遲滯模型之后，如何精準控制并盡可能地降低遲滯現象顯得尤為重要。常見的方法有兩種，第一種是把遲滯非線性當作干擾來設計控制器從而進行補償，第二種則是將遲滯模型求逆后串聯在系統前作為前饋補償器進行補償。

3.1 無遲滯逆模型的控制方法

無遲滯逆模型的控制方法相對較為簡單，不考慮電壓遲滯特性，避免了遲滯系統建模難的問題，僅考慮輸出信號設計控制器對遲滯系統進行補償控制。Tan 等[17]在不建立非線性系統模型的基礎上，設計了一種非線性PID 控制器，并通過仿真實驗證明了控制器的有效性。Xu 等[18]建立了一種離散時間輸出積分滑模控制方法，能夠對壓電電機驅動的直線運動實現精準控制。李朋志等[19]利用TS 模糊規(guī)則與PI 控制設計了一種動態(tài)模糊前饋+PI 的復合控制方法，并對不同的波形進行了軌跡跟蹤實驗，驗證了所提方法的有效性。

3.2 基于遲滯逆模型的控制方法

基于遲滯逆模型建立的控制器能夠在一定程度上對遲滯非線性現象進行補償，但是由于是開環(huán)控制系統，具有抗干擾能力不強、誤差受數學模型精度影響大的特點。為了彌補這些不足，學者們陸續(xù)提出了復合控制方法，即在前饋控制的基礎上增加如PID、神經網絡、魯棒等控制，從而提高系統的跟蹤精度。郭詠新等[20]提出了超磁致伸縮致動器的動態(tài)遲滯模型，并引入PID 算法實現反饋控制，實驗結果表明效果良好。Huang 等[21]采用模型預測控制算法作為反饋控制環(huán)節(jié)，在模型精度欠佳的情況下依舊具有較好的控制效果。雖然常規(guī)的復合控制能夠實現對被控對象的軌跡跟蹤，但由于其結構相對復雜，使得系統不可避免地會出現滯后現象，這也將影響系統的控制精度。為克服上述不足，又衍生出了迭代學習。相較于傳統的控制方法，迭代學習控制具有自學習的能力，能重復運行周期性的控制程序。此外，對于模型的精度要求也不是特別高，這使其在動態(tài)模型難以精準建立的場合具有重大的應用價值。目前，此方法廣受學者們的喜愛，應用領域廣闊，取得了不錯的控制效果。

4 結束語

本文對壓電致動柔性結構的遲滯建模與精密控制技術的相關研究進行了綜述，首先分析了壓電材料的遲滯特性，將遲滯模型分為物理遲滯模型和唯象遲滯模型。重點對唯象遲滯模型進行了探討，其又可以分為靜態(tài)遲滯模型和動態(tài)遲滯模型。靜態(tài)遲滯建模部分羅列了4 種廣泛應用的模型，并對比分析了其各自的優(yōu)缺點及適用場合。動態(tài)遲滯建模分為整體式和分離式兩類，其中，分離式動態(tài)建模方法不但能夠充分繼承靜態(tài)遲滯建模的優(yōu)點，而且建模較為簡單，得到了廣泛應用。最后，闡述了無遲滯逆模型和基于遲滯逆模型的控制策略，指出自適應迭代學習綜合控制性能較好，廣受學者們的喜愛，應用前景廣闊。