柔性作業車間調度與視情維修的聯合決策

甘 婕, 王 磊, 吳燕汝, 張曉紅

(1.太原科技大學 經濟與管理學院 工業與系統工程研究所,山西 太原 030024; 2.山西人文社科重點研究基地:裝備制造業創新發展研究中心,山西 太原 030024)

0 引言

在制造企業中，生產調度和維修活動常發生沖突[1]。提前預防性維修(PM)能確保生產順利進行[2]。但過多的預防性維修會影響正常的生產活動和企業效益[3]。因此，將生產調度與預防性維修活動相結合，解決兩者間的沖突問題成為了制造領域的研究焦點。

柔性作業車間調度(FJSS)在傳統調度的基礎上，進一步考慮每道工序在不同設備選擇加工的問題[4]。針對FJSS與PM的聯合研究，E.Moradi等學者建立了相關決策模型，并結合理性策略與定周期策略進行維修決策[5]。路光明等分析了FJSS的魯棒性，建立了兩者的多目標聯合決策模型[6]。劉永等研究聯合決策模型時，考慮了設備的役齡約束[7]。杜陽宇等在此基礎上，引入了可靠性控制因子，通過設備可靠性對維修活動進行決策[8]。Mirahmadi等針對同樣的聯合決策問題，提出了一個隨機數學模型，該模型同時考慮到了最小化完工時間和最小化能源消耗兩個方面[9]。

以上的決策研究中，采用多是基于時間的維修(TBM)策略。然而，隨著傳感技術的日益發展，設備狀態可直接或間接檢測獲得，以致基于狀態的預防性維修策略受到了廣泛關注[10。采用視情維修策略(CBM)，使得設備發生故障之前得到有效的預防維修[11。文獻[12進行了綜述，認為CBM策略較TBM策略更現實、更經濟，決策時在TBM中，插入了適當的CBM。文獻[13進行單機調度與CBM的集成研究，并建立了相應的優化模型。Fei等同時考慮了生產成本與完工時間兩個目標，研究了基于可靠性的PM與流水車間調度的聯合優化問題[14。文獻[15]在FJSS和PM集成問題研究中，采用了TBM和CBM相結合的維修策略。

本文針對柔性作業生產車間，且劣化狀態可直接或間接檢測的設備，以FJSS調度序列和每項工序前進行CBM的邏輯變量作為決策變量，進行FJSS與CBM的聯合決策研究。

1 問題描述

FJSS與CBM的聯合決策包括以下問題：

(1)工序分配問題，將工序分配到可加工的相應設備；

(2)工序排序問題，各設備上的工序排序；

(3)維修決策問題，根據設備狀態安排PM。

在FJSS與CBM的聯合決策研究中，考慮以下假設：

(1)設備初始狀態全新，加工作業在零時開始加工；

(2)忽略設備的初始設置和作業在不同設備間的移動時間；

(3)調度序列中每個位置只能加工一項作業，每項作業只能被分配到序列的一個位置上；

(4)工序的加工不可續；

(5)維修后，設備狀態恢復全新；

(6)維修時，相應設備停工。

2 FJSS與CBM聯合決策模型

2.1 符號定義

n：待加工作業總數；m：加工設備總數；

oi：待加工作業i的工序總數，i=1,2,…,n；

tijk：作業i的工序j在設備k上加工的時間，i=1,2,…,n，j=1,2,…,oi,k=1,2,…,m；

rk：設備k上被分配的加工作業總數；

D[r]k：設備k上第r項作業完工時，設備的劣化值，k=1,2,…,m,r=1,2,…,rk；

tP：預防性維修所需時間；tF：故障后更換所需時間；

ck：設備k上加工作業的完成時間。

決策變量符號定義如下：

xijk：FJSS的決策變量，在設備k上加工作業i的工序j；

yrij：FJSS的決策變量，在設備的第r個位置上，加工作業i的工序j；

z[r]k：維修策略的決策變量，判斷設備k上第r項作業加工前設備是否被維修。

2.2 FJSS與CBM的聯合策略

xijk確定了對作業i的工序j加工的設備，表達如式(1)所示:

(1)

(2)

維修策略的決策變量為z[r]k，表達為式(3)：

(3)

聯合策略：

1)當z[r]k=1時，進行維修活動，若D[r]k≥Dk，則安排故障更換；否則，安排預防性維修。

2)當z[r]k=0時，安排下一項加工作業，設備狀態繼續劣化。

2.3 模型建立

若D[r]k

(4)

若D[r]k≥DF時，則進行故障后更換，維修概率表達如式(5):

(5)

首先，對每項作業的第一道工序進行加工，j=1時，存在兩種可能：

1)若該作業是設備k的第1項加工作業，r=1，則其作業的完成時間為：c[1]k=t[1]k。

2)否則，當前設備已有加工作業工序被加工，必須在加工完成當前作業工序后加工，即r>1，該作業的完成時間為：

c[r]k=c[r-1]k+z[r]k(PP[r]k·tp+PF[r]k·tF)+t[r]k

(6)

其次，按照既定的工藝流程，安排每項作業的其余工序，即j>1時，存在兩種可能:

1)該作業是設備的第1項加工作業，r=1，則c[r]k=c[h]l+t[r]k,h≠l。

2)當前設備已有其它作業的工序被加工，必須在完成當前作業的工序后加工，即r>1，該作業工序的完成時間為:

c[r]k=max{c[h]l,c[r-1]k+z[r]k(PP[r]k·

tP+PF[r]k·tF)+t[r]k}

(7)

以最大期望完工時間最小為優化目標，建立相應數學模型：

(8)

(12)

式(8)為目標函數；

式(9)與式(10)為FJSS的加工約束；

式(11)為預防性維修的決策變量；

式(12)表示只能在第k個設備的空閑期間安排維修。設備k上第r項作業開始時間(c[r]k-t[r]k)，必須大于等于第r-1項作業的完成時間c[r-1]k與維修時間z[r]k(PP[r]k·tP+PF[r]k·PF[r]k·tF)之和。

2.4 概率密度函數

假設設備在單位時間內的劣化增量ΔD～F(D)，初始劣化為D[0]k=0。

選取第1臺設備進行分析，當r=1時，設備運行第t[1]1個時間單位后完成第1項加工作業，此時設備的劣化狀態由0增長為D[1]1，其概率密度函數表示為式(13):

φ1=(D[1]1)=f(t[1]1)(D[1]1)

(13)

當r=2時，劣化狀態為D[2]1，加工時間為t[2]1。具體分析如下。

1)若z[2]1=0，設備未維修，概率密度函數為φ1=(D[2]1)=f(t[2]1)(D[2]1-D[1]1)。

2)若z[2]1=1，安排預防性維修，設備狀態恢復全新，φ1=(D[2]1)=f(t[2]1)(D[2]1)。

根據前兩式，φ1=(D[2]1)的計算公式為式(14):

φ1=(D[2]1)=f(t[2]1)(D[2]1-(1-z[2]1)D[1]1)

(14)

以此類推，第k臺設備上，第r項作業完成后，D[r]k對應的概率密度函數通式為式(15):

φk(D[r]k)=f(t[r]k)(D[r]k-(1-z[r]k)D[r-1]k)

(15)

3 數值分析

3.1 模型求解

設t[r]k～U(1,5);ΔD～Γ(α,β),β=0.25,α1=4,α2=4.5,α3=5;tP=3,tF=6。3個工件分配到3臺設備加工，每個工件有8道工序，每道工序對應2臺設備。

加工數據如表1所示。

表1 可加工工序對應設備及加工時間

遺傳算法參數：種群大小40，最大遺傳代數500，交叉概率0.8，變異概率0.1，代溝0.8。

3.1.1 染色體編碼設計

3.1.2 遺傳算子設計

1)選擇：采用輪盤賭的選擇方法。

2)交叉：滿足交叉概率，分別對工序調度序列和維修決策部分進行單點交叉操作。交叉后，調整新的染色體，以滿足待加工工序對應設備的調度約束。

3)變異：滿足變異概率，取[1,m]內的隨機整數，替換調度序列中需變異的值，并調整工序以滿足調度約束；再將維修決策部分的變異編碼進行0/1變異。

圖1 染色體編碼示例

3.2 聯合決策優化模型驗證

分別采用柔性作業車間調度與視情維修的聯合決策和獨立決策得到目標值，并進行比較分析。圖2為根據表1給出的加工數據，由聯合決策模型進行優化后所得的甘特圖。

圖2 聯合決策結果的甘特圖

如圖2所示，柔性作業車間調度與視情維修聯合決策中，最優目標值為36.11。同時調整調度序列與維修序列，以防止設備故障產生長時間停機維修。

兩者獨立決策。先在FJSS規則下，得到最大完工時間最小的調度序列；而后在該序列中插入維修，得到最優值為42.7，如圖3。

圖3 獨立決策結果的甘特圖

比較兩種決策，聯合決策比獨立決策的目標值降低了6.59。在加工作業過程中，聯合決策有利于減少調度決策和維修決策之間的矛盾。因此，聯合決策可以獲得更優的目標值。

為證明聯合決策模型在不同加工作業規模下的有效性，隨機生成了10×6、25×50和25×60不同規模，將聯合決策與獨立決策進行對比。如表2所示。

表2 不同加工規模下的優化結果

經比較，10×6規模下，聯合決策的最優目標值相較于獨立決策降低了5.43。25×50規模下，聯合決策的最優目標值相較于獨立決策降低了21.65。25×60大規模下，聯合決策的最優目標值相較于獨立決策降低了28.87。

結果表明，柔性作業車間調度和視情維修的聯合決策相較于獨立決策的最優目標值低，而且在加工規模越大的情況下，降低越多。

3.3 靈敏度分析

為判斷所建模型的適用性及靈敏度，對聯合決策的劣化參數α和tP/tD進行分析。

其余參數確定不變，對不同設備下不同α的情況分析相應目標值。

實驗2中3臺設備劣化參數取值為5，6，7，而實驗1中的劣化參數取值為2，3，4，表明實驗2中3臺設備的劣化速度總體比實驗1中3臺設備的劣化要快。

表3 α對優化結果的影響

觀察表3中α對優化結果的影響，隨著α的增大，設備劣化速度加快，為了保證設備能正常運行，需要安排更多的預防性維修，致使目標最大期望完工時間增大，根據模型優化求解后，目標值E(cn)由37.62增加到44.89，且實驗2中被安排了8次維修，而實驗1中安排了5次預防性維修，實驗2比實驗1多安排了3次維修活動。

以M1,M2,M3為例，將tP/tF對優化結果的影響進行比較，分別取三個設備的劣化參數為α=2,3,4，如表4所示，其中PM為預防性維修次數，CM為故障更換次數。

表4 tP/tF對優化結果的影響

當tP/tF=1/6時，最大期望完工時間為32.23。聯合決策中，安排了8次PM。柔性作業車間調度中，安排加工作業時，優先選擇在加工時間較短的設備上進行加工。

當tP/tF=3/6時，目標值增加到37.62。進行了2次CM與5次PM。調度序列自適應調整，將部分作業安排到劣化速度慢的設備上加工，以得到最優目標值。

當tP/tF=5/6時，tP和tF接近，最大期望完工時間為40.61，進行了3次CM與5次PM。調度和維修序列同樣依據聯合決策結果進行調整，以得到最優目標值。

綜上所述，模型對設備的劣化速度與預防性維修時間和故障后更換時間的比值都具有良好的敏感度。

4 總結與期望

針對可直接或間接檢測獲取劣化狀態的設備，研究FJSS與CBM的聯合決策問題。以FJSS的調度序列與CBM序列為決策變量，構建了最大期望完工時間最小的聯合優化模型。推導了聯合決策過程中相應的概率密度函數。通過聯合決策與獨立決策的數值分析結果對比和對劣化參數的敏感度分析，驗證了本文所建模型的有效性。基于此研究思路，可以對柔性作業車間調度與非完美視情維修的聯合決策進行進一步研究。