基于數據包絡分析的混合多屬性第二分值拍賣機制

安慶賢, 鮑 茜, 熊貝貝

(1.中南大學 商學院,湖南 長沙 410083; 2.湖南大學 工商管理學院,湖南 長沙 410082)

0 引言

逆向拍賣作為一種主要拍賣形式廣泛應用在采購決策中，可以在信息不對稱情況下揭露投標人的私人信息[1]。多屬性拍賣作為拍賣的重要組成部分，除價格因素外還考慮了一些非價格因素，比如在工程項目招標過程中，拍賣人不僅考慮價格，還考慮每個投標人針對完成時間、交付質量、投入人力數量等因素的投標。多屬性拍賣足以反映現實生活中拍賣交易的復雜性，有利于突出投標人的非價格優勢[2]。為了在拍賣中綜合考慮物品的多維特性，以往學者提出了分值拍賣來解決這個問題。數據包絡分析(data envelopment analysis, DEA)是一種有效的數據驅動型的評價工具，用于評估一組同質決策單元(decisionmakingunit, DMU)的表現[3]。近年來，該方法已經得到廣泛的開發并被應用于多輸入多輸出復雜系統的性能評估[4,5]。從某種程度上來說，DEA十分適合應用于拍賣機制的設計中。首先，在不考慮共謀的情況下，參與拍賣的投標人在某種程度上是獨立和同質的，每個投標人都可以視為一個DMU。其次，多屬性拍賣往往考慮的不只是價格和質量兩種屬性，很多情形下會涉及到多個輸入輸出。第三，DEA對DMU進行效率測度時無需對投入產出進行標準化，這種無量綱測度使得比較投標更容易[6]。最后，DEA可在不事先假定生產邊界形式的情況下測量單個DMU的相對效率[7]，非常適合評估投標人的事前相對效率?；诖?，本文結合DEA方法設計了混合多屬性第二分值拍賣機制。

為了克服傳統DEA模型對DMU區分能力不足的問題，以往學者提出了基于規模報酬不變(constant returns to scale, CRS)的超效率DEA模型，從參考集中排除了被評估的DMU，這種想法非常適合設計有效的拍賣機制。Lee等[8]指出在CRS情況下的超效率DEA模型不會出現無可行解的問題。在實際拍賣中，投標人的數量通常足夠大，并且拍賣通常向一定范圍內具有相似生產規模的公司開放。此外，利用DEA選擇最佳供應商時，最好是在參考集中排除被評估的DMU，因為如果被評估的DMU可以影響有效的生產前沿面，那么他將在某種程度上缺乏提高自身表現的動力[9]。因此，本文采用CRS超效率模型來進行多屬性拍賣機制的設計。Bogetoft等[9]首次將DEA應用于拍賣機制設計，結合DEA設計了一種新的第二分值拍賣機制。以往將DEA與拍賣相結合的研究較少，而Bogetoft等[9]提出的拍賣機制僅考慮價格和質量屬性，應用的DEA模型中只有一個輸入。實際上，在將DEA運用于拍賣機制時，很難將單個輸入擴展為多個輸入，并且推導的定理和性質也難以直接泛化。這是因為拍賣人和投標人往往有不同的偏好，對每種投入賦予的偏好權重不盡相同。本文針對輸入幾乎沒有先驗結構且投標人數量足夠大的情況，提出了一種新的拍賣機制，在先前有關多屬性拍賣研究的基礎上將單個投入擴展為多個投入。為了更好地處理拍賣中涉及到的多投入多產出的問題，本文結合多目標規劃和逆DEA來確定可以最大化拍賣雙方效用的帕累托最優輸入，證明了該機制具有的優良性質，并結合應用案例指明了該機制的運行程序及方法。

1 問題描述與模型介紹

1.1 問題描述

圖1 拍賣流程

1.2 DEA模型

如前所述，本文采用CRS超效率DEA模型。對于被評價的DMUk，投入導向的CRS超效率模型如下所示，超效率分值被定義為θk*。

minθk

(1)

λj≥0,j≠k

2 拍賣機制設計

2.1 拍賣機制

拍賣人根據模型(1)對每個投標人的投標進行打分，超效率分值代表投標人的相對表現。如果一個投標人可以用更少的投入生產更多的產出，那么他將獲得更高的超效率分值，這與多屬性拍賣中評分規則的設計相符。將投標人k的投標得分記為Sk，即Sk=S(xk,yk)=θk*，根據每個投標的得分Sk，可以對所有投標人的投標進行排序。

超效率分值可以被視為在排除自身的情況下，求解加權產出與加權投入的比值，那么可以將超效率分值看作性價比，即針對每個投標，求得的超效率分值反映了該投標的性價比。假設拍賣人的目標是最大化性價比，而投標人的目標是最大化性價比的倒數或者最小化性價比。實際上，這種假設是合理的，因為當拍賣人選擇最佳競標者時，能夠用最少投入生產最多產出的投標人更受拍賣人青睞，而投標人往往希望拍賣人能設定更高的成本補償，也就是希望拍賣人能夠為中標項目投入更多的錢、預留更長的時間干更少的活。由于投標的分值反映了投標的相對表現，因此不失一般性地，可以認為拍賣人的期望效用是S，而投標人的期望效用是1/S。

基于第二分值拍賣機制的設計思路，在獲勝投標人(中標人)的產出保持不變的情況下，超效率分值需要從S(1)降低到S(2)。記拍賣人為中標人設定的目標超效率分值為αk，即αk=S(2)。

考慮以下線性多目標規劃問題:

min{l1,l2,…,lm}

(2)

λj≥0,j≠k,li≥0

minα

在應用AUGMECON之前，需要計算每個目標函數的范圍。為了獲得只包含帕累托最優解的收益表，Mavrotas[11]提出需要對每個目標函數進行字典式優化。第3部分將詳細介紹字典式優化的過程。在構建收益表之后，目標函數的范圍被劃分為幾個具有相同間隔的區間，使用每個網格點分別作為ei的值，應用于AUGMECON。

對于模型(2)，如果優化目標函數l1，那么需將其他目標函數作為約束條件。新問題變為:

s.t.-l2-s2=e2

-l3-s3=e3

(4)

…

-lm-sm=em

λj≥0,j≠k,li≥0,si≥0

其中eps是一個足夠小的正數(通常位于10-3～10-6的區間內)，si是非負剩余變量。ei來自于收益表，ri是相應目標函數的范圍(請參見第3部分中有關如何準確獲取ei和ri值的示例)。Mavrotas[11]進一步證明了模型(4)僅產生帕累托有效解，這個有用的命題使拍賣人可以輕松地選擇自己偏好的有效預期投入，使得本文提出的混合多屬性第二分值拍賣更有實際意義。

2.2 拍賣流程

第二步，拍賣人對所有投標進行排名，并運用模型(1)計算每個投標的超效率分值Sj=S(xj,yj),j∈N。

第三步，得分(超效率分值)最高的投標獲勝，即當Sk=S(1)時，選擇投標人k作為獲勝投標人(中標人)。

在混合多屬性拍賣中，投標人提交多屬性投標，然后拍賣人通過求解模型(1)為所有投標計算反映其相對生產超效率的得分，并選擇具有最高超效率分值的投標人作為中標人，這意味著中標人能夠以相對較少的投入生產相對較多的產出，選擇最高的超效率分值意味著拍賣人選擇了最高的性價比。最后，令αk=S(2)，并根據模型(4)計算的li的值確定中標人的預期投入，即預期投入將是DEA第二分值結果(1+li)xk。

2.3 新拍賣機制的性質

性質1混合多屬性第二分值拍賣機制滿足激勵相容。

性質2混合多屬性第二分值拍賣機制滿足個人理性。

性質3混合多屬性第二分值拍賣機制優于傳統第二分值拍賣機制，在吸引投標人的前提下能夠最大化拍賣人的利益。

3 應用實例

本章采用一個應用實例來說明上述拍賣機制的運行方式，該實例基于意大利巴里理工大學某設施翻新工程招標數據集，該數據集曾被應用于[12,13]中。

第二步，運用使用模型(1)計算每個投標的超效率分值sj=s(xj,yj),j∈N，并進行排名。表1展示了計算得到的每個投標的超效率分值。

表1 應用實例：投標、超效率分值和排名

第三步，得分最高的投標人獲勝。根據表1，由于S23是最高的超效率分值，因此該工程項目被分配給第23號投標人。

第四步，為了計算拍賣人給投標人設定的預期投入，將第23號投標人(中標人)的超效率分值表示為S(1)=1.5954，第10號投標人的超效率分值(排名第二)表示為S(2)=1.1041。那么中標人的預期超效率分值為α(1)=S(2)=1.1041，可以根據模型(2)計算中標人的預期投入。

正如第2.1節所述，可以使用Mavrotas[11]提出的AUGMECON方法來求解模型(2)的帕累托最優解，即根據模型(4)可以計算得到多目標規劃問題(2)的帕累托最優解。在應用AUGMECON方法前，需要通過字典式優化來計算每個目標函數的范圍。假設對于拍賣人來說價格比完成時間有更高的優先級，即最小化中標人的預期價格更為重要，那么對本實例中兩個目標函數的字典式優化是首先優化第一個目標函數(-l1)(優先級更高)，然后在第一個目標函數(-l1)取最優值的約束下，優化第二個目標函數(-l2)。通過字典式優化可以得到如下收益表。

表2 字典式優化計算得出的收益表

4 結論

本文基于多屬性商品采購的客觀實際情況，利用DEA方法中的超效率模型、逆DEA模型以及改進的多目標規劃求解方法，設計了一種混合多屬性第二分值逆向拍賣機制。本研究的主要創新性體現在：(1)在以往研究的基礎上，新的拍賣機制考慮了包含多個投入和多個產出的投標，納入了除價格因素外的其他投入因素，考慮了拍賣人和投標人之間的偏好差異，可以極大地擴展每個投標人的投標空間，充分發揮自身的競標優勢；(2)證明了該機制具有個人理性、激勵相容性質，每個投標人投標其真實投入，符合有效拍賣機制的要求；(3)我們發現該機制可有效確保拍賣人能夠最大化采購商品的性價比，并從帕累托最優解決方案中選擇其最偏好的預期資源投入，使得該機制具有一定的應用價值。