合理利用轉(zhuǎn)化思想 突破學(xué)生思維難點

沈 銘

（福建省廈門市湖明小學(xué)）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）提出：“學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個主動的過程，認(rèn)真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。教學(xué)活動應(yīng)注重啟發(fā)式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑問難，引導(dǎo)學(xué)生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題；促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，體會和運用數(shù)學(xué)的思想與方法，獲得數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗；培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成積極的情感、態(tài)度和價值觀，逐步形成核心素養(yǎng)。”

小學(xué)數(shù)學(xué)課程是一門特別注重思維培養(yǎng)的學(xué)科，而鑒于年齡特點，小學(xué)生正處于由形象直觀思維向邏輯抽象思維過渡的關(guān)鍵時段。為此，教師要有意識地運用轉(zhuǎn)化思想，根據(jù)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和知識儲備，引導(dǎo)學(xué)生對比分析轉(zhuǎn)化后新舊知識的聯(lián)系，形象直觀地揭示出數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，從而達(dá)到最佳的教學(xué)效果。

一、以數(shù)化形，在明晰算理中提升推理意識

小學(xué)階段對“數(shù)的運算”這一部分的教學(xué)，不單單指能快速準(zhǔn)確地計算出結(jié)果，還要求學(xué)生能理解并掌握算理的形成過程。小學(xué)生對一些抽象算理的理解存在一定的困難，他們的思維方式更傾向于直觀具體的感知。為此，教師要能根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特征，在教學(xué)中滲透轉(zhuǎn)化思想，借助圖形，把抽象的、難以理解的算理直觀、具體、形象化，以便于學(xué)生理解和掌握。

例如，在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材四年級下冊“乘法分配律”一課時，教材的編排是以問題情境“一共有25個小組，每組里有4人負(fù)責(zé)挖坑、種樹，2人負(fù)責(zé)抬水、澆樹，每組要種5棵樹，每棵樹要澆2桶水，一共有多少名同學(xué)參加這次植樹活動？”呈現(xiàn)。很多教師是根據(jù)以下板書進(jìn)行教學(xué)的。

方法1： 方法2：①每組一共有幾人？ ①挖坑、種樹有幾人？4+2=6（人） 4×25=100（人）②一共有多少人？ ②抬水、澆樹有幾人？6×25=150（人） 2×25=50（人）③一共有多少人？

得出結(jié)論：（4+2）×25=4×25+2×25=100+50=150（人）

通過對比兩種算法（4+2）×25和4×25+2×25，從而引導(dǎo)歸納出乘法分配律：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把它們與這個數(shù)分別相乘，再相加，這就叫乘法分配律。整個引導(dǎo)歸納的教學(xué)過程，都是通過引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系、尋找不同的解題思路，最后通過對比計算結(jié)果和算式特征來歸納乘法分配律。這樣對于小學(xué)生的年齡特征來說不但是抽象難懂，而且是枯燥無味的，因而教學(xué)效果不高。教學(xué)的時候，教師可以借助圖形的直觀來進(jìn)行表征（如下頁圖1）。

圖1

學(xué)生很快就能借助圖形明白：要求一共有多少人，可以先求負(fù)責(zé)挖坑、種樹的一共有多少人，再求負(fù)責(zé)抬水、澆樹的一共有多少人，最后再求一共有多少人；也可以先把挖坑種樹的4個人和抬水澆樹的2個人看成1組，再算出這樣的25組，也就是一共有多少人。此時，借助圖形就能直觀、具體地幫助學(xué)生明晰乘法分配律的算理，即明白求25個6是多少與求25個4與25個2的和是多少，都是表示一共多少人，從而把乘法分配律的內(nèi)涵理解清楚，達(dá)到良好的教學(xué)效果。

二、以形化意，在提升符號意識中理解本質(zhì)

在小學(xué)階段，學(xué)生對概念的理解是其學(xué)好數(shù)學(xué)的前提。在日常教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)都是用死記硬背的方法，而對概念所表示的真實內(nèi)涵，學(xué)生很多時候都處于“知其然而不知其所以然”的狀態(tài)。通過借助幾何直觀厘清概念的內(nèi)涵與外延，可以讓學(xué)生真正理解概念的本質(zhì)。學(xué)生通過對概念本質(zhì)的理解，建立與之相關(guān)的知識結(jié)構(gòu)體系，進(jìn)行結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，也能夠促進(jìn)直觀形象思維向抽象思維的轉(zhuǎn)化。如果教師能夠根據(jù)概念的本質(zhì)內(nèi)涵聯(lián)系，將其轉(zhuǎn)化成圖形直觀呈現(xiàn)，就能把抽象、難懂、枯燥的數(shù)學(xué)概念直觀、具體、形象化，既降低學(xué)習(xí)難度，又激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。此外，“以形化意”還能為學(xué)生后續(xù)推理能力的培養(yǎng)和結(jié)構(gòu)化建構(gòu)知識奠定扎實的概念基礎(chǔ)，從而進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

例如，人教版數(shù)學(xué)教材五年級下冊“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”一課中，教師可讓學(xué)生根據(jù)提供的若干個小正方形（3個、5個、8個、9個、12個），擺成1個長方形，并要求學(xué)生盡可能多擺幾種。當(dāng)學(xué)生擺完后（根據(jù)擺的結(jié)果，用一個乘法算式表示小正方形的個數(shù)），再讓學(xué)生根據(jù)擺的結(jié)果進(jìn)行分類。學(xué)生很快就能擺出長方形的個數(shù)并把它分成兩類，即3個和5個小正方形只能擺一種長方形，而8個、9個和12個小正方形都能擺最少兩種長方形。在這樣直觀呈現(xiàn)的基礎(chǔ)上，教師可再引導(dǎo)學(xué)生去觀察表示每個長方形的算式，想想這些算式的因數(shù)有什么特點。學(xué)生很快就會發(fā)現(xiàn)：只能擺1排長方形的小正方形個數(shù)的因數(shù)只有1和小正方形的個數(shù)（如果擺2排就會不夠或多出來）。而能擺2排以上的小正方形個數(shù)的因數(shù)，除了1和小正方形的個數(shù)以外，還有其他因數(shù)。此時，教師順勢引出質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念：一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做合數(shù)。這樣，學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，擺出長方形的種數(shù)和所需小正方形的個數(shù)契合質(zhì)數(shù)與合數(shù)的意義本質(zhì)，就能生動直觀地形成對質(zhì)數(shù)與合數(shù)意義的深度理解和掌握。

三、化難為易，在幾何直觀中感悟規(guī)律

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，二者結(jié)合萬般好，倘若分離萬事休。”數(shù)學(xué)學(xué)科具有很強(qiáng)的思維性和邏輯性，而小學(xué)生對一些抽象數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)知還存在一定困難。如果教師在教學(xué)時能充分借助幾何直觀，根據(jù)描述畫出相應(yīng)的圖形，再通過分析圖形建立形與數(shù)的聯(lián)系，就能使得學(xué)習(xí)內(nèi)容變得形象、直觀、具體。把抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律簡單化，這樣學(xué)生就能借助幾何直觀更好地把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。

例如，在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材六年級上冊“數(shù)與形”一課時，教師引導(dǎo)學(xué)生用不同顏色的平面圖形（○、△、□）來表示下列三個算式（要求既便于看出各個加數(shù)，又便于計算）：

①1+3=？

②1+3+5=？

③1+3+5+7=？

學(xué)生用正方形來表示算式的時候（如上頁圖2），教師引導(dǎo)學(xué)生通過看圖來探究其中的規(guī)律。

圖2

師：如何又快又準(zhǔn)確地算出正方形的個數(shù)？

預(yù)設(shè)1：一個一個地數(shù)（教師追問，還有其他更簡單的方法嗎）。

預(yù)設(shè)2：數(shù)出1排有幾個，再數(shù)有幾排（教師追問，和第1個方法比，你會選哪種方法）。

師：請同學(xué)們再擺一擺1+3+5+7+9，并用乘法表示正方形的個數(shù)，然后觀察對比這幾個加法算式和乘法算式，說說你有什么發(fā)現(xiàn)。

預(yù)設(shè)1：加法算式從1開始加。

預(yù)設(shè)2：每個加法算式的加數(shù)都是奇數(shù)（教師追問，這些奇數(shù)又有什么特點？學(xué)生回答相鄰的奇數(shù)）。

預(yù)設(shè)3：每個加法算式有幾個加數(shù)相加就是幾乘以幾。

師：如果是計算1+3+5+7+9+11，你能快速地用乘法表示嗎？說說你是怎么想的？如果是n個加數(shù)相加呢？

教師可以像這樣合理運用圖形，根據(jù)學(xué)生已有的基礎(chǔ)知識，引導(dǎo)學(xué)生從大正方形的顏色去觀察，學(xué)生可以用加法累加不同顏色來算出所需小正方形的個數(shù)，也可以從乘法的意義去計算所需小正方形的個數(shù)。教師再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)每組加法算式與乘法算式的對比與分析，探索出從1開始的連續(xù)奇數(shù)之和與“正方形數(shù)”之間的關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去觀察、思考，開展直觀、生動的階梯螺旋上升式的探究教學(xué)，能夠化抽象為具體，有效提高學(xué)習(xí)效果。

四、以舊化新，在勾連方法中提升模型意識

著名數(shù)學(xué)家波利亞說過：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)。因為這種發(fā)現(xiàn)，理解最深，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系。”在教學(xué)中，任何一個新知識，它都是學(xué)生已有知識體系的延伸。在實際教學(xué)中，教師如果能根據(jù)學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)，通過一定教學(xué)情境的設(shè)計，把新知轉(zhuǎn)化成與之關(guān)聯(lián)的舊知，并通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析新舊知識的聯(lián)系，從而歸納總結(jié)出新知收獲，也能達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

例如，在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材五年級下冊“異分母分?jǐn)?shù)加減法”一課時，教師通過出示，很直觀地就能讓學(xué)生明白，因為和的分?jǐn)?shù)單位不同不能直接計算，先通分，把它們的分?jǐn)?shù)單位轉(zhuǎn)化成相同的分?jǐn)?shù)，就很自然地把異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加減法。然后，再引導(dǎo)學(xué)生觀察以下4種算式，思考為什么在列豎式計算整數(shù)加減法的時候要個位對齊，在計算小數(shù)加減法的時候要小數(shù)點對齊，且在計算異分母分?jǐn)?shù)的時候要通過通分把異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加減法再計算，尋找它們在計算方法上有什么相同之處。

通過對整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的第一級計算方法的勾連對比學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，整數(shù)加減法列豎式各位對齊、小數(shù)加減法小數(shù)點對齊、異分母分?jǐn)?shù)通分成同分母分?jǐn)?shù)，都是為了把它們轉(zhuǎn)化成計數(shù)單位相同，這樣就能直接進(jìn)行計算。教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，有意識地把與之相關(guān)的新舊知識在本質(zhì)上進(jìn)行勾連對比，能幫助學(xué)生在方法上建模，知識上形成體系，不僅符合小學(xué)生的年齡、思維特點，還能達(dá)到較好的教學(xué)效果。

總之，新課程改革大背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)顛覆以往把現(xiàn)成的結(jié)論教給學(xué)生的教學(xué)模式，它是新形勢下“數(shù)學(xué)活動”的教學(xué)，需要教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生自己探索知識產(chǎn)生的起因，探索其與其他相關(guān)知識的聯(lián)系，并在探索過程中形成完整的知識體系。教師根據(jù)學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)巧妙地運用“轉(zhuǎn)化”進(jìn)行教學(xué)，可以將數(shù)學(xué)知識變舊為新、變難為易，將抽象變直觀，將不規(guī)則變規(guī)則，進(jìn)而降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，既培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，又促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面提升。