融通與思辨：HPM視域下數學化思維的探索與實踐

蘇龍霞

（福建省廈門市寨上小學）

HPM（History and Pedagogy of Mathematics）指的是數學史與數學教育。華東師范大學汪曉勤教授研究團隊指出，在數學教學中融入數學史有六大價值——知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效。這些足可見融入數學史的數學教學對學生數學學習特別是數學思維的影響。數學思維（數學化思維）即“人類對數學的認識過程，是大腦不斷反映轉化的過程,是人們從事數學活動（一般指研究數學、學習數學、應用數學和講授數學的活動）中的理性認識過程,是人們形成數學思維形式、數學概念、數學命題、數學推理和數學理論的思維過程”。有學習就有思維的參與。南京大學鄭毓信教授認為，“只有幫助學生數學化的思維，才能更深刻體現數學史融入教學的意義，才能真正從‘冰冷的美麗’到‘火熱的思考’”“教師應通過數學教學幫助學生改進思維，達到數學化的思維”。根據數學史融入數學教學的四種基本方式，教師應更好地引導和幫助學生進行數學化思維，真正實現學生核心素養的提升。

一、附加式融入——引趣與導思

數學的發展是一部充滿曲折和智慧的歷史，每一個數學知識的背后都印記著先哲們的努力與奮斗，在其發現探究過程中，本身就附帶著一個個迷人的故事，這些故事、人物、史實應在適當的時機分享給學生，也就是附加式融入的數學史教學方式。附加式融入就是利用圖片、語言和視頻等方式，以外部介紹傳輸的形式傳遞給學生數學史知識，使學生體會“在數學里，有美不勝收的故事；在故事里,有美不勝收的數學”。附加式融入的主要特點是把數學史作為課堂教學的一個有益補充，課堂中這些與內容相關的、有意義的數學故事，不僅可以激發學生的學習興趣，還可以使數學富有人文色彩，激發學生的興趣，啟發思考。

翻看人教版數學教材，在“你知道嗎”欄目中有許多數學史的介紹，這些內容可以采用以附加式融入為主的方式進行教學。還有一些與數學有關的名言、數學家的故事、數學概念、數學術語、數學符號等趣味橫生的資源也可同時融入。如學習“位置與方向”時，教師可引入“笛卡爾病床上蒼蠅位置標示”的故事；在學習“大數的認識”時，教師可講述“阿基米德數沙粒”的傳說；在學習“圓面積”時，教師可引入開普勒的故事。再如，教師還可適時引入古希臘畢達哥拉斯的“完美數”，笛卡爾的“愛情表達式”，“站在巨人肩膀”的牛頓，“數學界的莎士比亞”歐拉，等等。這些都可促使學生產生美好遐想，激發數學興趣，同時促使他們產生“怎么會那樣”等疑問，從而產生進一步探究為什么的興趣。

例如，“年月日”的教學中，教師就可以以附加式融入為主的方式融入數學史料。在了解學生“關于年月日知道了什么”的認知起點的基礎上，教師可用視頻等形式引入年月日的來歷以及年月日的產生與太陽、月亮、地球公轉及自轉的關系，還有因而引發的月圓月缺的故事。古人是從先熟悉日到月再到年的，學生學習的順序也是“日、月、年”，這與人類的生活性、自然性是吻合的。同時，教師還要引導學生建立度量單位學習的結構，即從大到小再到更小的認知過程，要引發學生思考“凱撒和奧古斯是怎么動日歷的？”“大月小月平月是怎么來的？”“你會自己制作日歷嗎？”等，使學生在鏈接歷史中豐富認知，啟迪思考。

二、復制式融入——體驗與感悟

數學發展歷史中有許多關于名題和熱議問題的解答與爭論，其中發生的故事更是不勝枚舉。教學中，教師針對對應的知識直接呈現歷史上曾出現的數學問題或者數學解法，這就是復制式融入。復制式融入是讓學生在與先哲的對話中，找尋解題的方法和規律，感悟歷史的探索過程，體會歷史的沉淀。復制式融入運用方式的特點是直接采用。學生必須去解讀古語所傳達的信息，轉化成現代的數學語言，再經歷分析比較等思維過程，對比中感悟古人的解答智慧，提升數學素養。

數學教材上也有很多可以利用復制式融入進行數學史相關教學的內容（如表1）。歷史上的名題往往也可以采用這種方法，如人教版數學教材四年級下冊的“雞兔同籠”問題即是直接的復制式采用。再如，學習行程問題時，也可以直接采用《計算之書》中的兩船相遇問題。而在學習兩位數乘法時，還可以采用古代格子算法等，努力實現學生的體驗感悟，促使其更深刻地進行思考。

表1 人教版各冊適合復制式融入教學的數學史內容

在學習“雞兔問題”時，出示古題之后，教師可以讓學生先自由解讀，理解題意，然后獨立思考怎么解答。在學生陸續得到表格法、畫圖法、假設法等方法并交流其異同與聯系后，教師可先對比《孫子算經》的算法，將所有動物的腳數除以2，也就是94÷2=47。每只雞有一對腳，兔子有兩對腳。然后，假設所有的動物都是雞的話，就應該有35對腳，但事實上有47對腳。如果將一只雞換成一只兔子的話，用47減去35，得到12，說明需要有12只雞被換成兔子，這就是兔子的數目。最后，引導學生思考：“為什么可以這樣解答？”學生將很容易就能得到其實際上是假設法的運用。在此基礎上，教師還可以介紹古人的其他想法——抬腿法、吹哨法、砍足法等，使學生在一一對比中，升華認識，感悟成長。

三、順應式融入——探究與思辨

數學發展源遠流長，有些材料經過適當編制或根據數學問題進行改編，會成為很好的學習素材，從而體現“古為今用、推陳出新”，這就是順應式融入。順應式融入的主要特點是根據課堂教學的需求對原始文獻進行改編，這類材料從表面上看已經沒有了歷史的痕跡，但它們既傳承了歷史的精神，又順應了時代的要求，還在仿真對比中使學生學會求知，發展思維。

順應式融入適用于跟歷史上方法近似、情境相同或知識點一樣的素材使用，可以根據材料創編為新課的例題，也可以改編問題為練習題用，或在方法的推介上運用。如表2的列舉即教材中適合使用順 應式融入的數學史內容。

表2 人教版各冊適合順應式融入教學的數學史內容

在學習“三角形面積”時，教師應引導學生了解面積的歷史并借鑒歷史上三角形面積的計算方法（如下頁表3）。面積計算的產生源于生活生產的需要，因為尼羅河河水的泛濫，造成土地面積劃分困難，因此才有面積計算的需求。創設這樣的情境導入，加上出示一組平行線間兩個規范的平行四邊形和三角形（改編于《幾何原本》），可激發學生對計算學習的需求，也可使他們聯想到應用數學解決生活實際問題——“要想知道它們的面積，需要測量什么？”進而在得出倍比法的同時對比割補法以及對古人方法的評價與分析。“比較分類就是一種有效的思維過程”，通過仿真比較，能更好地促使學生反思，實現其思維的成長。

表3 歷史上三角形面積的計算方法

四、重構式融入——建構與融通

歷史相似性告訴我們，學生在學習中碰到的困難往往就是數學家們當時遇到的困難。在數學學習過程中，借鑒或者重構知識最原始的發生、發展過程，能夠將知識所包含的最核心的數學思想、數學方法體現出來，從而呈現出數學知識的自然發生過程。在重演歷史中嘗試建構知識體系，能真正融通數學史與數學學習的橋梁，提升學生的數學素養。

人教版數學教材在“你知道嗎”“數學廣角”等板塊都有專門的數學史內容，而且都是配合本單元相關學習的內容有序、成體系的安排。結合相關內容（如下頁表4）的學習，教師可以以重構式融入的方法為主組織教學。在重構式融入教學中，學生將在真實情境中獲得“古為今用”的美好體會，不僅體現了歷史發生法，更使學生通過探究和不斷調整，建構自己的知識體系，發展數學素養。

表4 人教版各冊適合重構式融入教學的數學史內容

度量的發展史，是從抽象的單位如幾個、幾頭、幾種等到利用工具得到實質測量。最初的距離測量都是用人身體上的器官作為測量工具的，如“拃”（尺）、“咫”（成年女人大拇指與中指之間的距離）等。而“英尺”的界定，則是16世紀的德國人在某禮拜日把從教堂里走出的16個成年男子集中在一起，測量每人左腳的長度、加在一起取平均值來定義的，這個通過平均值來得到的長度一直延續使用至今。為此，在設計測量教學時，就可以重構歷史的鏡頭，“你在一個關閉的只有一扇門和一個窗的房間里，又沒有任何可以參照的前提下，怎么告訴別人窗有多高，門有多寬？”從而引發學生思考：可以用手臂長、兩腳張開的長等來大約說出其寬和高。在這個過程中，學生經歷了古人的困境，學會了分析、辯證，最終建構起度量最本質的特征——測量單位的確定與累積，從而也融通了古今對照。

當然，我們應該清楚數學史融入數學教學，不是只有單一的融入方式，也不是只有教材上所呈現的顯性的數學史內容，而更重要的是“為教育的歷史”“數學史是教學的指南”的意識與觀念。在實際教學中，我們應該針對不同教材內容的不同知識特征，收集更多的數學史材料，尋找更多靈活搭配融通的運用方式。只有這樣，才能真正實現“智力教育是數學教學的重要使命”，實現學生數學化的思維和核心素養的發展。