“完整地學”：提升學生運算能力的新視角
——四下《三位數乘兩位數》課堂實錄

丁愛平

【背景】

自《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）頒布以來，不少教師對“計算的一致性”頗感興趣。然而，課堂教學并不順利，教師教得很吃力，學生對“一致性”理解起來也很吃力。問題的主要原因是：在整數、小數、分數的計算教學中，教師對它們各自內部的“一致性”和“完整性”的關注不充分，學生對計算學習的體驗不深入、認知不完整。

我們需要整體把握運算能力的內涵。新課標指出：運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力。能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；能夠通過運算促進數學推理能力的發展。培養學生運算能力的過程還有助于他們形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學態度。可見，提高運算能力不是簡單外顯為能夠正確運算，還強調能夠理解意義和關系、選擇運算策略、發展數學推理能力、形成思維品質、養成科學態度，這是一個完整的核心素養發展過程。

基于素養目標與現實需要，筆者提出“完整地學”，為提升學生的運算能力提供一個新視角。“完整地學”，主要從學習內容的整體觀照、認知過程的完整關注、學科育人的全面關懷這三個維度出發，促進學生核心素養的提升。計算教學不能使學生成為機械計算的工具人，他們需要學會思維、學會學習、長遠發展，更“完整地”學習計算。

如蘇教版四下《三位數乘兩位數》這節課，不少教師都認為太簡單，沒有多少“嚼頭”，普遍的教學流程是“嘗試例題→概括算法→鞏固練習”。此教法使學生看到的只是外顯的數學知識技能。其實，計算教學的內容和意義遠不止于此。法與理的共存、過程與結果的和諧、數學文化與兒童立場的相融、計算教學與時代背景的映照……計算教學并不簡單，它隱含著豐富的育人資源。如果以動態數學觀認識課程資源，就會發現許多內隱性資源依附在過程之中。“三位數乘兩位數”的算法是結果性知識，教師教學時不僅要使學生掌握結果性知識，更重要的是要將關于“三位數乘兩位數”的問題、語言、方法、命題這條邏輯鏈完整、清晰地展示出來。

【教學過程及分析】

一、自主遷移，探究新知

師：同學們，今天我們上一節計算課。請大家看這道題（出示圖1），誰來讀題？

（圖1）

師：讀完之后有什么感受？

生：我坐過“復興號”高鐵，速度非常快！我們祖國太強大了！

師：同學們的小臉上寫著滿滿的自豪。計算包括口算、列豎式算、估算，你準備用哪一種方法來計算？

生：我準備用列豎式的方法計算。

師：好的，如果除了列豎式計算，你還有其他算法，也把它寫下來。

學生在學習單上嘗試計算，教師巡視指導，并請兩位學生到黑板上解答。

數學教育承載著落實立德樹人的根本任務，強調引導學生通過課堂學習，形成積極的情感，樹立正確的價值觀。本課的例題注重發揮情境素材的育人功能，將課本例題中的“計算小區有多少住戶”改為計算“綠皮火車”和“復興號”12 小時行駛的路程，使學生在數據對比中增強了民族自豪感。

師：下面，我們來掌聲有請板演的小老師講一講，看他們是怎么解決這兩個實際問題的。

生1：我算的是“綠皮火車”12 小時行駛多少千米，列式是32×12，先算2 乘32 等于64，代表的是2個32；再算10乘32等于320，這里有一個0不需要寫，代表10個32是320；最后把這兩個數加起來。（如圖2左）

生2：我寫的是“復興號”12 小時的路程。2乘332 代 表2 個332，十 位 的1 再乘332 等 于3320，代表10個332，最后加起來就是3984。（如圖2右）大家有什么補充？

（圖2）

生3（上臺板演如圖3）：還可以這樣算。

生4（上臺板演如下頁圖4）：我還有畫圖的方法，畫一個長方形，把長邊拆分成300、30 和2，短邊也拆分成10 和2，這里一共有6 個格 子，下 面 是2×2、30×2、300×2，上面是2×10、30×10、300×10。

（圖3）

（圖4）

師：他的方法大家能看懂嗎？我來采訪采訪他，你為什么會想到拆成6 個不同區域？

生4：拆成整十數，好算一點。

生5：我贊同他的方法！我還有一個方法，和生3 有點相似，他是把12 拆成6 乘2，而我是把12拆成10和2，10加2等于12。

生6：我算的“復興號”跟大家不一樣，“復興號”和“綠皮火車”每小時相差300 千米，“復興號”12 小時比“綠皮火車”多跑了3600 千米，384加3600等于3984千米。

生7：我想總結一下前面這些方法，他們都是把332 和12 拆成了幾個數，只是有的拆332，有的拆12，都是用拆的方法。

師：同學們看，這是我們以前的兩位數乘兩位數，這是三位數乘兩位數。我們沒學過三位數乘兩位數，可是全班同學都能用自己喜歡的方法計算，你們有什么發現嗎？

生1：我有發現！它們都是先拿兩位數的個位去乘三位數，再拿兩位數的十位去乘，運算方法是一樣的。

生2：我發現這幾種方法都是用拆的方法，先分再合。（教師板書：先分再合）

生3：分較小的數計算起來更容易。

師：原來你們調用的是兩位數乘兩位數的經驗啊，真好！仔細觀察這些方法，你能否找到它們和豎式的聯系？

生1：我覺得332×（10+2）和豎式有緊密的聯系，都是拆成10和2。

生2：畫圖法和豎式都是用拆的方法。不同的是，畫圖法把兩個數都分開了；豎式只分一個數，且大部分時候只分較小的數。

師：其實這個六格圖和豎式計算的每一步緊密聯系，比如二二得四，你發現了嗎？丁老師指圖，誰來指對應豎式的哪一步？

師生合作，將六格圖與豎式的6 個關鍵步驟一一對應。

師：看來圖和豎式計算的步驟是對應的呢！我們再次梳理一下剛才的學習過程。是什么經驗讓我們學會探索三位數乘兩位數的？

生：先分再合。

師：但是具體分哪個數有不同的情況，一般分位數少的數，先得到多少個一，再得到多少個十。我們還梳理了這些不同的方法與豎式的聯系，它們都進行了拆、乘、加。

上述教學過程立足單元整體，內容更完整。聚焦“332×12 可以怎樣算”展開自主探究與伙伴學習，不是碎片化知識技能的機械翻炒，而是結構化知識的整體建構。基于正確計算、多元聯想、有機勾連，教師將知識結構化。在學生豐富多元的計算作品中，涵蓋現代筆算中的位值原則、數的分解與組成、計算的本質意義等“原理性知識”，以及豎式書寫、計算步驟等“規則性知識”。將多種計算方法整體聯通，引導學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，培養結構化思維，新課標倡導的單元整體設計的理念得以生動詮釋。

上述教學過程關注深度理解，整個過程更完整。學生完整地經歷自主探究與合作交流“332×12 為什么可以這樣算”的過程，理解“三位數乘兩位數”的算理，掌握豎式計算的方法，明確“先分后合”。首先是獨立嘗試階段，學生自主遷移“兩位數乘兩位數”的計算方法，把未知轉化為已知，解決新問題十分順利。接著進入多種思考階段，不同算法接踵而出，每一個獨特的想法都得到重視，全員卷入深度互動。教師引導學生從具體到一般，對整數乘法進行建模，促進他們提高了運算能力，培養了推理意識。

二、練習進階，內化建模

師：我們學習計算需要適當的練習。請看“練一練”（出示圖5），大家先獨立完成，再互評互學。

（圖5）

學生展示匯報過程略。

師：最后，我們來對比同學們運用的豎式、橫式、畫圖等方法，它們有沒有相同的地方？

生：都要拆數，算乘法，最后加起來。

師（板書）：拆、乘、加。

數學學習是一個完整的過程，如果缺失深刻的過程體驗，將導致學生認知的淺表化。要支持學生全面理解乘法運算，需要將學生的數學活動經驗進行再完善與再升級。本課的基本練習僅設計了一道題“109×54”，以一當十，讓學生經歷簡單習題的“深度加工”。一方面，這道題非常典型，分別從計算易錯點、數形結合、數學推理等方面，讓學生經歷觀察與思考、想象與操作、質疑與討論、反思與評價等完整的學習過程，展現不同能力水平學生的思維痕跡，使他們再次感悟“先分后合”的計算方法，培養抽象能力和模型觀念，促進其數學理解的深度、廣度和完整度。另一方面，這道題關注“教—學—評”一致性。發揮評價的育人導向作用，以評促學、互評共學，突出自我評價和同學評價，重視培養學生認真細致、自覺反思的計算習慣。教師鼓勵學生彼此欣賞、彼此照亮，培養其濃厚的數學研究興趣，使他們在“學會”數學知識的過程中獲得“會學”的能力和品格。

師：接下來，丁老師邀請同學們“理一理”，（出示圖6 中的前2 題）我們已經能熟練地筆算這些整數乘法，繼續往下研究（出示③號虛線框），猜猜看，③號算式可能是什么？

（圖6）

生：三位數乘三位數，四位數乘兩位數。

師：你們還會算嗎？

生：會！方法和今天學的一樣，都是先分再合。（學生圈出“先分再合”）

師（出示③號豎式圖）：揭曉謎底啦！

生（驚奇地）：啊？③號豎式沒有數字！

師（出示）：丁丁和毛毛提出自己的觀點，你贊同嗎？獨立思考后在小組里討論。

生1：丁丁的觀點是對的，乘數不管有幾位，整數乘法的算法都是一致的。毛毛的觀點不對，這里個位最大是9，十位最小是1，一個是乘9，一個是乘10，當然A比不過B。

生2：第一次的積表示乘了幾個，第二次的積表示乘了幾十。如果第二個乘數是三位數，那就要再寫一行，因為還要乘幾百啊！

師：你創造的那個C，和A、B相比呢？

生（齊聲）：那當然C最大嘍！

“理一理”這道題體現出鮮明的整體建構特點，教師引導學生回顧整數乘法的關鍵節點，“遷移”的力量在學生腦海中升騰。當學生滿心期待多位數相乘的算式時，教師卻出示一個沒有乘數的計算模型。A 與B 的較量吸引著學生進行大膽猜想和舉例驗證，他們在分析、評價與創造的高階思維發展過程中獲得了認知與情感的高峰體驗。

師：我看了小學六年的數學書，發現整數乘法學到三位數乘兩位數就結束了，我們不再學三位數乘三位數、四位數乘兩位數了，為什么不學了呢？

生：沒必要再學了，因為方法是一樣的，都是先分后合的方法。

師：是的，如果把乘法計算比作一棵大樹，先分再合就是計算整數乘法的樹干，不管是兩位數乘兩位數還是三位數乘兩位數，或者是其他多位數相乘，都是這棵大樹生長出來的枝葉。（完善板書，如圖7）

（圖7）

一幅板書寫立意，自然生成有靈魂。樹形圖直觀形象，用學生喜歡的方式把獲得的知識、能力、思想、方法進行整體設計，讓學生的學習具有結構感。這幅板書，除了課題、先分后合、左上角的數框，其他部分都是學生的手筆，生動詮釋了以學為中心的教學理念，整數乘法計算的大樹象征著學生蓬勃生長的運算能力。

三、評價反思，總結延伸

師：今天的課后作業是一個“玩一玩”的游戲，怎么玩呢？（出示圖8）同學們課后和小伙伴或家長玩一玩吧，老師期待大家的新研究、新發現、新成果！下課！

（圖8）

“完整地學”倡導讓學生學會思維、學會學習，長遠發展。“雙減”背景，素養導向，教師在每次作業設計之后，都要審視這份作業的價值：學生是否減負增效了？是否獲得了知識技能，學有所得？是否感受到了學科之美，喜歡研究？是否擁有了方法和素養，有助于他們的長遠發展？本課的課后作業只有一個“玩一玩”的游戲，教師的“友情提醒”是幫助學生全面思考、理性分析的工具方法。實踐證明，游戲化作業順應學生天性中的冒險家特質，它沒有標準答案，能使學生放飛無限的想象，在充滿未知的挑戰中充分感受計算的樂趣，獲得數學學習的價值體認，走向完整而愉悅的生命成長。