軌姿控發動機振動試驗夾具結構拓撲優化

張允濤，薛 杰，宋少偉，吳 丹，劉建招

(西安航天動力研究所， 陜西 西安 710100)

0 引言

試驗夾具是液體火箭發動機力學環境試驗的重要組成部分，其主要作用是將試件與振動臺過渡連接以傳遞振動臺施加的基礎激勵[1-3]。為了實現夾具傳遞給試件的振動均勻、平穩，通常夾具的設計以剛度最大為主要原則。即在試驗頻率范圍內，夾具的一階固有頻率足夠高，且避開被試產品的主要特征頻率[4]。工程實際中，發動機產品的結構形式復雜多樣，力學環境試驗夾具仍以經驗設計為主，進行必要的模態分析和試驗前實物驗證等。對軌姿控動力系統整機產品，現有試驗夾具多為錐狀形式，夾具的尺寸和質量較大，整體剛度偏低，一階固有頻率往往低于500 Hz，部分頻段試驗控制容易超容差限。而推力裝置、傳感器和閥門等小型試件的試驗夾具以塊狀和板狀結構為主要形式，夾具剛度大，基頻高，材料利用率低。為了提升發動機力學環境試驗技術水平，有必要開展夾具的動力學優化設計，掌握典型結構的試驗夾具設計優化方法。

對夾具進行動力學拓撲優化(topology optimization)是設計改進和性能提升的重要手段，通過拓撲優化能夠實現使用最少的材料，給出滿足設計目標的最優結構方案[5-6]。近年來，以結構動特性和動響應為目標的拓撲優化研究得到廣泛關注[7-9]。滕曉艷等以固有頻率和動態柔順度的加權函數為優化目標，提出了漸進結構拓撲優化模型，進行了多目標結構拓撲優化設計[10]。彭細榮等使用獨立連續映射方法開展了頻率約束下的結構拓撲優化研究，解決了“棋盤格”、單元網格依賴性以及模態交換等具體問題[11]。龍凱等以靜柔度最小和動態固有頻率最大化加權函數為目標進行了拓撲優化結構設計[12]。劉虎等基于變密度法研究了簡諧力激勵下的拓撲優化設計問題，分析了頻率和加載方向對位移響應以及優化結果的影響，通過引入附加靜位移約束，獲得了合理的結構形式[13]。Optistruct軟件的拓撲優化功能在解決工程結構問題中具有獨特的優勢。芮強等基于Optistruct的變密度法對某動力艙支架結構進行拓撲優化設計，以靜力和頻率特性合成柔度指數為綜合目標函數，優化后動力艙的靜、動態特性均得到了較大改善[14]。朱大昌等結合平均頻率法和折衷規劃法構建了多目標SIMP優化模型，以Optistruct為工具對某機構進行了多目標拓撲優化，優化收斂性較好[15]。蘭鳳崇等運用折衷規劃法定義了車身結構靜態剛度和固有頻率最大化綜合的目標函數，通過層次分析法確定最優權重系數，在Optistruct軟件中進行了車身結構的優化設計[16]。

本文以液體軌姿控發動機振動試驗的典型夾具為研究對象，基于Optistruct軟件，研究了錐狀夾具和塊狀夾具的動力學拓撲優化方法、思路和實現過程，給出了主要優化結論和設計經驗。

1 拓撲優化方法

使用Optistruct進行結構拓撲優化的流程主要包括：初始結構有限元建模、優化模型定義、結構分析和優化計算等。初始有限元建模與常規的有限元建模方法相同。拓撲優化的關鍵是定義3類設計要素：優化目標、約束條件和設計變量，對結構動力學優化，優化目標和約束條件涉及固有頻率、振型、穩態響應以及隨機振動響應等，設計變量為單元密度。結構分析的類型根據實際情況，可以是單獨的靜力、動力學分析工況，也可以是多個工況組合分析。

Optistruct拓撲優化采用變密度法的SIMP(solid isotropic microstructures with penalization)計算模型，單元密度在0～1之間連續變化，優化后單元密度為1表示該處材料優先保留，單元密度為0表示該處材料可去除。單元的密度與材料密度有關，因此也與結構剛度有關，而單元密度處于0～1之間的材料存留不明確，造成優化結果不清晰。Optistruct使用懲罰因子技術使單元的密度向0或者1聚集，該技術被稱作“power law representation of elasticity properties”，對實體單元其表達式為[17]

(1)

1.1 拓撲優化模型

夾具的動力學拓撲優化是在給定體積或質量占比的約束條件下，通過改變單元密度，使初始結構的材料在設計域上重新分布，從而達到結構的固有頻率或動力學響應最優的目的。以固有頻率最大優化為例，結構的動力學特征方程為

(2)

式中：K和M分別為系統的剛度矩陣和質量矩陣；ωi和Φi分別為系統第i階固有頻率和振型向量。拓撲優化的數學模型可以表述為

(3)

式中:ωi為優化的目標頻率;ρj為單元密度;ρmax和ρmin為密度的優化上下限;V為優化后的體積;Vo為初始體積;fV為體積約束的百分比。

單獨以固有頻率最大為優化目標進行動力學拓撲優化時，很容易陷入局部最優區域，造成拓撲優化結果不清晰、拓撲結構剛度差、與實際承載不符的問題[18]。根據文獻[10,14,16,18-21]，可以采取固有頻率與靜態響應或動態響應與靜態響應綜合的多目標或多約束的方法提高優化結果的可行性。幾種常用的多目標優化方法包括：①固有頻率與靜力響應綜合的多目標優化；②動力學響應與靜力響應相結合的多目標優化；③低頻段與高頻段動力學響應相結合的多目標優化。

Optistruct軟件中可直接實現第①類的多目標優化，計算時采用一種加權求和法，優化模型可簡單表述為

min[wcC(ρ)+wλ/λ(ρ)]

(4)

加權求和法優化模型形式簡潔，計算效率高。多目標優化時，固有頻率與靜力響應(如剛度、柔度或者應變能)的數量級差異較大，加權系數的取值對優化結果有影響。Optistruct允許程序自動設置加權系數，根據初始迭代步計算應變能數值C0和模態特征值λ0，得到固有頻率加權系數wcC0/λ0，使固有頻率和靜應變能加權后的響應處于同一數量級。需要注意的是，靜應變能(compliance)默認定義在整個結構上，其計算公式為

(5)

目前，一種普遍的多目標優化策略為折衷規劃法(compromise programming method)，以固有頻率最大與靜應變能最小的多目標拓撲優化為例，采用折衷規劃法[14]創建目標函數，其表達式為

(6)

式中：C(ρ)為結構在靜載荷工況下的柔度；ω(ρ)為結構的固有頻率；Cmax和Cmin分別為靜應變能目標函數的優化上下限；ωmax和ωmin分別為固有頻率目標函數的優化上下限；w1和w2分別為靜應變能和固有頻率占優化目標權重系數；q為懲罰因子，取值不小于2。Cmax、Cmin和ωmax、ωmin分別通過單目標靜應變能和固有頻率優化前后的結果獲得；權重系數根據經驗給出，也可以參考決策論中的層次分析方法確定[16]。

1.2 優化控制參數

Optistruct進行拓撲優化時，需要對離散度參數、最小成員/最大成員尺寸、“棋盤格”控制等參數進行設置，使得拓撲優化后的結構更加合理[21]。主要參數設置如下。

1)DISCRETE，即離散度參數，用于對懲罰函數進行控制，該值越高，材料密度介于0～1之間的單元就越少，拓撲優化的結構更加清晰。對于實體單元，參數值一般不小于2。圖1給出了離散度參數取不同值的拓撲優化后結構截面形狀，可以看出，離散度越高，材料的無效堆積越少。

圖1 不同離散度參數的拓撲優化結果

2)MINDIM和MAXDIM，即最小成員尺寸和最大成員尺寸。最小成員尺寸主要用于消除細小的網狀結構，有更好的加工性(見圖2)。最大成員尺寸用于限制材料的過渡堆積，使結構更加清晰。通常最小成員尺寸大于單元尺寸的2～3倍，最大成員尺寸默認為最小成員尺寸的2倍左右。

圖2 不同最小成員尺寸的優化結果

3)CHECKER，即“棋盤格”控制。“棋盤格”現象是優化過程中不同密度單元呈現交替排列的現象，0表示無控制，1表示有控制。圖3給出了無“棋盤格”控制和有“棋盤格”控制的拓撲優化結果，顯然，采取“棋盤格”控制后，拓撲優化的單元密度分布更加連續，過渡更加均勻。文中“棋盤格”控制均設置為1。

圖3 “棋盤格”參數設置對拓撲優化結果的影響

另外，拓撲優化中還可以設定與加工制造有關的工藝參數，包括對稱約束、拔模約束等。

2 塊狀夾具結構優化及驗證

某姿控動力系統推力裝置振動試驗的原始夾具形狀如圖4所示。試驗時夾具兩端用螺栓與振動臺固定連接，推力裝置產品伸入夾具開孔內，與夾具通過耳片連接。這類塊狀夾具的設計簡單，基頻高，振動傳遞特性較好，同時也存在結構質量偏大、材料利用率低等突出問題，有必要進行拓撲優化。

試驗共3個方向，其中x、y這2個方向的夾具安裝方式相同，z向通過旋轉夾具進行試驗安裝。拓撲優化時分別考慮不同的試驗加載方向創建模型。圖4中綠色有限元網格部分為設計域，藍色有限元網格部分為非設計域。

圖4 塊狀夾具初始優化模型

2.1 單目標與多目標優化方法

采用一階固有頻率最大進行單目標拓撲優化，約束條件為優化后設計域的體積分數(volume fraction)不大于0.6，離散度參數取4，經過29步迭代后滿足優化條件的結構拓撲形狀如圖5所示。可以看出，優化后夾具整體上結構形式合理，能夠反映出結構有效的材料分布區域。但局部孔洞和小尺寸細長結構較多，結構完整性差，部分區域去除材料形狀復雜，結構不夠清晰，加工難度大。

圖5 單目標拓撲優化結果

采用折衷規劃法構建一階固有頻率最大與整體靜應變能最小的多目標優化函數。拓撲優化的約束條件及離散度參數與單目標優化時相同。經過16步迭代后得到滿足優化條件的拓撲結構如圖6 所示。與上述單目標優化結果相比，夾具整體上結構形式差異不大，但多目標拓撲優化的結構局部孔洞少，去除材料部分結構比較連續，結構完整、清晰，易于加工。

圖6 多目標拓撲優化結果

2.2 優化控制參數設置

對塊狀夾具，研究了離散度參數和最小成員尺寸的不同取值對拓撲優化結果的影響。以x、y方向試驗狀態為例，采用2.1節的多目標優化方法，約束條件為體積分數不大于0.6。不同離散度參數取值的優化結果見圖7，不同最小成員尺寸的優化結果見圖8。

由圖7可知，離散度參數分別取1、2、4和6時，拓撲優化后的夾具結構外形基本一致，但內部材料分布顯著不同。離散度為1和2時，夾具中間圓柱壁幾乎沒有去除材料，兩側圓柱靠近下端面去除材料較多，同時，兩側圓柱壁內有腔體；而離散度取4和6時，夾具中間和兩側圓柱壁均有材料去除，兩側去掉較多，中間去除較少，圓柱壁內無腔體，厚度相對均勻，材料分布連續。

圖7 離散度參數不同取值的拓撲優化結果

由圖8可知，最小成員尺寸分別取5、10、15和20時，拓撲優化后的夾具結構外形和內部材料分布基本一致，從截面圖可以看出，不同取值下夾具圓柱壁的厚度略有不同。

圖8 最小成員尺寸不同取值的拓撲優化結果

2.3 優化結果

分別對夾具進行x、y向和z向兩個試驗狀態的拓撲優化。優化目標為一階固有頻率最大與整體靜應變能最小。靜應變能計算時，通過在產品與夾具連接面上施加振動方向的單位力(每個節點100 N)模擬夾具承受的靜力載荷。離散度參數取4，最小成員尺寸取10，約束條件為體積分數，分別取0.4、0.6和0.8，優化結果如圖9和圖10所示。可以看出，優化后結構呈梯形，材料分布集中在產品與夾具對接周圍，對接背面以及兩端螺栓連接處材料去除較多。

圖9 x、y向試驗狀態夾具優化結果

圖10 z向試驗狀態夾具優化結果

綜合2個試驗方向的拓撲優化結果，得到最終的夾具結構形式，如圖11所示。對優化后的夾具進行有限元模態分析，得到第一階模態振型見圖12。優化前后結構質量和固有頻率的變化見表1。

圖11 塊狀夾具拓撲優化后的結構形狀

圖12 優化后的夾具第一階模態振型

表1 塊狀夾具拓撲優化前、后的主要參數對比

2.4 實物驗證

對優化后的塊狀夾具實物在振動臺上開展了正弦掃描試驗和隨機振動試驗(見圖13)，主要驗證振動試驗中以夾具與產品對接面作為加速度控制點的響應特性。

圖13 振動試驗夾具安裝圖

正弦掃描試驗條件為：頻率范圍5～2 000 Hz，掃描速率4 oct/min加速度幅值0.2g。夾具上端面控制點的響應譜曲線見圖14。可以看出，2.0 kHz以內，夾具上加速度控制點的幅頻響應曲線(藍實線)平坦，與參考譜(綠實線)基本重合，滿足正弦振動試驗容差限(橘色虛線)要求。

圖14 正弦掃描試驗控制響應譜曲線

隨機振動試驗條件為：頻率范圍20～2 000 Hz，功率譜密度為0.01g2/Hz的平譜，加速度均方根值Grms=5.0g。夾具上端面控制點的響應譜曲線見圖15。結果表明，加速度控制點的響應譜(藍實線)與參考譜(綠實線)基本一致，無明顯的放大和衰減，控制點的功率譜密度滿足隨機振動試驗容差限(橘色虛線)要求。綜上，優化后的夾具滿足振動試驗要求。

圖15 隨機振動試驗控制響應譜曲線

3 錐狀夾具結構優化應用

某型軌姿控發動機整機振動試驗的原始夾具為錐狀形式，如圖16所示。對該試驗夾具進行動力學優化的目的是在不顯著改變夾具質量的情況下提高夾具的固有頻率，改善夾具的動態響應特性。

圖16 錐狀夾具拓撲優化流程

優化的思路為“兩步優化”方法。第一步，根據整機產品的接口以及振動臺的安裝尺寸，確定夾具拓撲優化的初始模型。圖16中，第一步優化模型中綠色部分為設計區域，藍色部分為非設計區域。目標函數為前三階固有頻率最大和靜應變能最小，以此得到夾具的大致形貌和截面形狀。第二步，在第一步優化的結果基礎上再次進行拓撲優化，目標函數為夾具與產品連接的上端面加速度頻響幅值和隨機響應RMS，同時以固有頻率、靜應變能等為約束條件。

該方法的優勢在于，首先，以固有頻率和靜應變能等結構全局響應進行優化，能夠獲得比較清晰的結構基本形狀和輪廓；然后，以關注部位的加速度等局部響應進行再次優化，能夠細化局部材料分布和結構尺寸，從而降低了直接優化局部響應的難度，層次清晰，可操作性強。

從圖16可以看出，優化后結構的底部安裝面比優化前有明顯擴大，在質量相當的情況下，材料分布偏向夾具下端，同時，結構的錐度比優化前有所減小。此外，夾具側壁沿錐面不再呈原來的直線形式，而是有一定的彎折。對優化后的夾具保留與原始夾具相同的減質孔。

對優化前、后的夾具進行有限元模態分析，得到前四階固有頻率和振型，如圖17、圖18和表2所示。優化后夾具的前四階主要頻率比優化前均有明顯提升，其中一階頻率相比優化前從337 Hz提高到了781 Hz，頻率優化效果突出。

圖17 優化前錐狀夾具的前四階模態

圖18 優化后錐狀夾具的前四階模態

表2 錐狀夾具拓撲優化前、后的主要參數對比

對優化前、后的夾具進行頻響分析，得到振動臺基礎激勵下夾具上端面(與產品連接面)的加速度響應，如圖19和圖20所示。由幅頻曲線結果可以看出，優化后夾具上端面的加速度響應在20～2 000 Hz以內突頻點明顯減少，且最大突頻位置由337 Hz提高到894 Hz，優化后的夾具加速度響應得到明顯改善。

圖19 優化前夾具上端面加速度幅頻曲線

圖20 優化后夾具上端面加速度幅頻曲線

4 結論

使用Optistruct對軌姿控發動機振動試驗典型夾具進行了結構拓撲優化，研究了多目標優化以及優化控制參數的影響，針對典型塊狀夾具和錐狀夾具進行了動力學拓撲優化，形成了一般方法并給出了可直接用于試驗的夾具結構形狀，主要結論如下。

1)結構動力學優化時，宜采取多目標作為目標函數，包括固有頻率、靜應變能、動態響應等的綜合形式，以保證優化后的結構清晰、合理，加權求和法和折衷規劃法是行之有效的多目標函數構建方法。

2)使用Optistruct進行拓撲優化時，通過調整離散度參數、最小成員尺寸等參數，可以改善優化結果。為了減小優化后材料無效堆積，離散度參數可取4。

3)對塊狀夾具，針對現有夾具材料利用率低、夾具質量偏大的問題進行了拓撲優化，以固有頻率和靜應變能為優化目標，考慮了不同試驗加載方向，優化后的夾具質量減輕約1/3，一階頻率大于試驗加載最高頻率2.0 kHz，試驗控制平穩，響應譜滿足要求。

4)對錐狀夾具，針對現有夾具一階固有頻率低、振動傳遞特性差的問題進行了拓撲優化，采取“兩步法”拓撲優化，先以靜應變能和固有頻率等全局響應作為目標獲得夾具基本形式和輪廓，再以關注部位加速度響應作為目標確定夾具的最終結構。優化后固有頻率顯著提高，幅頻響應特性得到明顯改善。

致謝：本文研究內容得到液體火箭發動機重點實驗室基金支持。