遠(yuǎn)距離籃球最優(yōu)投籃軌跡預(yù)規(guī)劃算法設(shè)計

鄒偉豪，劉 江

（西南交通大學(xué)體育學(xué)院 四川 成都 610031）

當(dāng)今時代，體育強(qiáng)國是國家發(fā)展和追求的目標(biāo)。在2008年北京奧運(yùn)會中，我國金牌數(shù)位居榜首，成為名副其實(shí)的體育大國。但是，我國離體育強(qiáng)國還存在一定差距。基于這種情況，我國運(yùn)動員仍在加緊訓(xùn)練，以期在未來的各大賽事中取得優(yōu)異的成績。體育項目種類繁多，其中籃球有廣泛的受眾群體。要想在籃球賽事中獲得勝利，投籃訓(xùn)練必不可少。理想的投籃水平不是一朝一夕就能達(dá)到的，需要經(jīng)過長期反復(fù)地訓(xùn)練。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，先進(jìn)的技術(shù)或手段引入到投籃訓(xùn)練中，其中，利用智能算法預(yù)規(guī)劃最優(yōu)投籃軌跡是重點(diǎn)之一。通過運(yùn)動員實(shí)際投籃軌跡與預(yù)規(guī)劃的理想軌跡的對比，為其訓(xùn)練提供重要的參考標(biāo)準(zhǔn)，從而提高訓(xùn)練效率。

基于上述背景，最優(yōu)投籃軌跡預(yù)規(guī)劃問題成為專家和學(xué)者研究的重點(diǎn)課題。軌跡規(guī)劃問題研究大致分為兩部分，一部分是設(shè)置目標(biāo)函數(shù)，另一部分是對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，得到最優(yōu)軌跡規(guī)劃方案。相比較前一部分，后一部分是該問題研究的重點(diǎn)，因此，關(guān)于該部分的研究也更多，該部分的關(guān)鍵是選取智能尋優(yōu)算法。目前，智能尋優(yōu)算法有很多，如（鳥群覓食算法）、粒子群算法、蟻群算法、遺傳算法、魚群算法、灰狼算法等。不同的尋優(yōu)算法求解路徑不同，獲得的軌跡規(guī)劃方案也不同。智能尋優(yōu)算法普遍存在容易早熟、收斂速度慢的缺陷，導(dǎo)致預(yù)規(guī)劃出來的軌跡缺乏全局性，從而無法達(dá)到全局最優(yōu)。此外，易陷入局部最優(yōu)的缺陷使得求得的解更適用于短距離軌跡規(guī)劃，越遠(yuǎn)距離，規(guī)劃效果越差。

針對上述問題，本文設(shè)計了一種遠(yuǎn)距離籃球最優(yōu)投籃軌跡預(yù)規(guī)劃算法，該算法針對傳統(tǒng)智能尋優(yōu)算法存在的缺陷，進(jìn)行優(yōu)化組合，以期提高求解質(zhì)量，獲得全局最優(yōu)解。

1 遠(yuǎn)距離投籃最優(yōu)軌跡預(yù)規(guī)劃研究

籃球訓(xùn)練中投籃訓(xùn)練最為重要，其訓(xùn)練成果直接關(guān)系到在賽場上的表現(xiàn)。遠(yuǎn)距離投籃最優(yōu)軌跡預(yù)規(guī)劃是輔助運(yùn)動員投籃訓(xùn)練的重要手段。通過規(guī)劃出來的投籃軌跡能夠給投籃訓(xùn)練提供重要的參考。本文分為兩部分，即多目標(biāo)函數(shù)設(shè)置及其求解，下面進(jìn)行具體分析。

1.1 多目標(biāo)函數(shù)設(shè)置

獲取遠(yuǎn)距離投籃最優(yōu)軌跡預(yù)規(guī)劃的前提是對其運(yùn)動進(jìn)行準(zhǔn)確描述并建立待求取的目標(biāo)方程。假設(shè)投籃出手角為?，籃球在此刻的運(yùn)動速度為vt。由此建立籃球投射時的水平方向速度和垂直方向速度，即

式中，a代表重力加速度。X(vt)、Y(vt)分別代表t時刻籃球投射時的水平方向速度和垂直方向速度。

基于X(vt)、Y(vt)，結(jié)合物理學(xué)斜拋運(yùn)動原理，建立籃球投籃后的運(yùn)動軌跡方程S，即

式中，H代表投射點(diǎn)到地面的垂直高度。

對運(yùn)動軌跡方程S進(jìn)行求導(dǎo)，然后建立最佳投籃角度目標(biāo)函數(shù)，即

式中，maxG代表最佳投籃角度目標(biāo)函數(shù)。G達(dá)到最大值時的?就是最佳投籃角度。

除了投籃角度是最優(yōu)軌跡規(guī)劃中要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)外，球心與筐心重合度也是軌跡規(guī)劃中要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)。建立球心與筐心重合的條件方程，即

式中，B代表投球出手點(diǎn)到籃筐中心的水平距離；d代表投射點(diǎn)到地面的垂直高度。

將上述條件方程組合在一起，構(gòu)建球心與筐心重合度目標(biāo)函數(shù)。

針對建立的目標(biāo)函數(shù)，設(shè)置的約束條件如下：

式中，?min、?max代表投籃出手角的最大值和最小值；Bmax、Bmin代表投球出手點(diǎn)到籃筐中心的水平遠(yuǎn)距離的上下限。

將上述構(gòu)建的兩個目標(biāo)函數(shù)組合在一起，構(gòu)成一個多目標(biāo)函數(shù)，即

式中，F(xiàn)代表多目標(biāo)函數(shù)；W1、W2分別代表兩個目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重。

1.2 基于目標(biāo)函數(shù)求取的最優(yōu)投籃軌跡預(yù)規(guī)劃方案設(shè)計

上述多目標(biāo)函數(shù)求解后，就需要求取滿足目標(biāo)函數(shù)的解，該解就是本文所要設(shè)計的最優(yōu)投籃軌跡。一般來說，滿足目標(biāo)函數(shù)的解往往有多個，本文中需要從這些可行解中找出最優(yōu)的一個，完成最優(yōu)投籃軌跡預(yù)規(guī)劃方案設(shè)計。從可行解中找出最優(yōu)的一個，本質(zhì)上來說是一個不斷優(yōu)勝劣汰的過程，通過不斷迭代將劣解淘汰掉，最終剩下一個最優(yōu)解。基于這種機(jī)制，雖然尋優(yōu)算法是解決上述問題的主要手段。尋優(yōu)算法有很多，但是單一的尋優(yōu)算法普遍存在早熟、收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)的問題。針對上述問題，本文中將3種尋優(yōu)算法結(jié)合在一起，以期提高全局求解能力。首先利用鳥群覓食算法隨機(jī)產(chǎn)生N個初始解，然后將這N個初始解作為帝國競爭算法的初始種群，在帝國競爭算法求解過程中，對殖民地進(jìn)行差分進(jìn)化。具體過程如下：

（1）鳥群覓食算法生成初始解

鳥群覓食算法是模擬鳥群尋找食物過程而開發(fā)的一種尋優(yōu)算法，該算法也稱為粒子群算法。利用該算法生成初始解的過程如圖1所示。

圖1 鳥群覓食算法生成初始解的基本流程

鳥群覓食算法生成的初始可行解有N個，記為Q={q1,q2,...,qN}。每個可行解都是一個初始投籃軌跡。

（2）帝國差分競爭算法求取最優(yōu)解

將鳥群覓食算法生成的初始解Q={q1,q2,...,qN}作為帝國差分競爭算法的初始國家。Q中每一個目標(biāo)函數(shù)的可行解Q={q1,q2,...,qN}都代表一個國家。具體求解流程如下：

步驟1：設(shè)置帝國差分競爭算法的初始參數(shù)。

步驟2：初始化種群Q={q1,q2,...,qN}。

步驟3：利用章節(jié)1.1構(gòu)建的多目標(biāo)函數(shù)［公式（8）］構(gòu)建適應(yīng)度函數(shù)，計算每個可行解的適應(yīng)度函數(shù)值。即

式中，f(qi)代表第i個初始可行解的適應(yīng)度函數(shù)值，也就是第i個國家的所擁有的力量值。

步驟4：將計算得到的f(qi)按照從小到大升序排列。

步驟5：將f(qi)數(shù)值排名前M個對應(yīng)的初始解作為初始殖民國家，后M個對應(yīng)的初始解作為殖民地。這樣就將初始種群Q={q1,q2,...,qN}劃分為了兩個種群，分別記為L1、L2。

步驟6：對L1中每個殖民國家分配種群L2中的殖民地。

式中，Ui代表L1中第i個殖民國家在L1種群中的競爭力；M代表L1包含的殖民國家的數(shù)量；N-M代表L2中殖民地的數(shù)量；Ki代表分配給第i個殖民國家的殖民地數(shù)量。

步驟7：殖民地同化。即上述分配結(jié)果讓分配后的殖民地向著所屬殖民帝國方向移動，也就是讓可行解向著較優(yōu)的投籃軌跡移動。

步驟8：移動后更新殖民地位置。

步驟9：殖民地革命，該環(huán)節(jié)的目的是增加可行解的多樣性，重新生成部分新的軌跡。在這里引入差分進(jìn)化算法來代替帝國競爭算法原始的革命操作。具體過程如下：

（1）從被分配的殖民地種群選出3個殖民地，記為Or1，Or2，Or3。其中r1，r2，r2代表［0，1］之間的標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)。

（2）由Or1，Or2，Or3使分配給殖民帝國的每一個殖民地變異，生成新的殖民地，即

式中，Obest代表全局最優(yōu)值；T代表縮放因子；Oi代表分配給殖民帝國的第i個殖民地。

（3）將變異前、后的解進(jìn)行交叉操作，即

式中，λ代表交叉概率；rand代表［0， 1］取值的隨機(jī)數(shù)；Ji代表交叉后產(chǎn)生的新的殖民地。

（4）計算變異前、后的解適應(yīng)度值，然后采取貪婪選擇的方式選擇殖民地進(jìn)入下一代，也就是是否需要讓變異、交叉后Ji代替原始Oi。

式中，f(Oi)、f(Ji)分別代表Ji、Oi的適應(yīng)度函數(shù)值。

步驟10：重新計算殖民地和殖民國家的適應(yīng)度函數(shù)值并進(jìn)行比較，以實(shí)現(xiàn)位置交換。前者大于后者，二者位置對調(diào)；否則保持不變。

步驟11：綜合每個殖民國家的適應(yīng)度函數(shù)值總和。

步驟12：統(tǒng)一相似投籃軌跡。

步驟13：通過帝國競爭，也就是讓適應(yīng)度函數(shù)值較大的殖民國家占有適應(yīng)度函數(shù)值較小的殖民國家的殖民地，也就是投籃軌跡逐漸收斂至全局最優(yōu)。

步驟14：當(dāng)適應(yīng)度函數(shù)值較小的殖民國家所有殖民地都被較強(qiáng)殖民國家占據(jù)時，該殖民國家消亡，即適應(yīng)度值較高投籃軌跡被適應(yīng)度值較低的投籃軌跡吞并。

步驟15：是否達(dá)到最大迭代次數(shù)？若是，輸出當(dāng)前群體中適應(yīng)度最大的殖民國家，該殖民國家就是最優(yōu)解，也就是規(guī)劃出來的遠(yuǎn)距離籃球最優(yōu)投籃軌跡；否則，回到步驟3。

經(jīng)過上述兩個步驟的研究，完成遠(yuǎn)距離籃球最優(yōu)投籃軌跡預(yù)規(guī)劃算法研究。

2 算法測試

2.1 虛擬測試環(huán)境

基于Matlab軟件建立一個用于投籃軌跡預(yù)規(guī)劃算法的虛擬測試環(huán)境，如圖2所示。

圖2 投籃軌跡預(yù)規(guī)劃算法的虛擬測試環(huán)境

該環(huán)境基本參數(shù)如表1所示。

表1 虛擬測試環(huán)境基本參數(shù)表

2.2 投籃工況設(shè)置

本文的算法是針對遠(yuǎn)距離籃球最優(yōu)投籃軌跡的。距離球籃中心6.50 m以外的區(qū)域被稱為遠(yuǎn)距離投籃。由此設(shè)置3種不同的工況，具體見表2。

表2 投籃工況設(shè)置表

2.3 遠(yuǎn)距離籃球最優(yōu)投籃軌跡

利用本文所研究的改進(jìn)帝國競爭算法以及3種對比尋優(yōu)算法（傳統(tǒng)帝國競爭算法、傳統(tǒng)粒子群算法、傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法）對公式（8）多目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，預(yù)規(guī)劃出遠(yuǎn)距離籃球最優(yōu)投籃軌跡，結(jié)果如圖3所示。

圖3 遠(yuǎn)距離籃球最優(yōu)投籃軌跡預(yù)規(guī)劃結(jié)果

2.4 對比分析

模擬運(yùn)行圖3預(yù)規(guī)劃出來的遠(yuǎn)距離籃球最優(yōu)投籃軌跡，進(jìn)行100次投籃，統(tǒng)計投籃命中率，命中率越高，證明所規(guī)劃出來的遠(yuǎn)距離籃球投籃軌跡越優(yōu)秀。

從圖4中可以看出，改進(jìn)帝國競爭算法求解得到的遠(yuǎn)距離籃球投籃軌跡的投籃命中率要更高，由此說明改進(jìn)帝國競爭算法的投籃軌跡規(guī)劃能力要高于傳統(tǒng)帝國競爭算法、傳統(tǒng)粒子群算法、傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)尋優(yōu)算法的步驟，使得規(guī)劃出來的投籃軌跡達(dá)到最優(yōu)。

圖4 投籃命中率對比圖

3 結(jié)語

籃球訓(xùn)練的重點(diǎn)的項目之一就是投籃訓(xùn)練，投籃命中率越高，越能夠取得比賽的勝利。在投籃訓(xùn)練中遠(yuǎn)距離投籃的訓(xùn)練難度最大。面對這種情況，為提高遠(yuǎn)距離投籃訓(xùn)練效率，改善訓(xùn)練難度，研究一種遠(yuǎn)距離籃球最優(yōu)投籃軌跡預(yù)規(guī)劃算法。在該算法研究中，先是設(shè)置了投籃軌跡預(yù)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)，然后利用改進(jìn)帝國競爭算法對其進(jìn)行了求解。通過對傳統(tǒng)帝國競爭算法的改進(jìn)，在仿真實(shí)驗中，使得求得的投籃軌跡達(dá)到最優(yōu)，與傳統(tǒng)帝國競爭算法、傳統(tǒng)粒子群算法、傳統(tǒng)差分進(jìn)化算法相比，提高了投籃命中率，證明了該算法的求解效果。雖然取得了一定的效果，但是還存在不足且需要加以改進(jìn)和完善。投籃軌跡會受到自然環(huán)境因素的影響，如風(fēng)力、空氣阻力等，本研究中設(shè)置的目標(biāo)函數(shù)并沒有將環(huán)境因素考慮進(jìn)去，因此還有待進(jìn)一步完善。