范希爾理論下初中數學數形結合的應用策略探析

韓薛成，董琪翔

（揚州大學數學科學學院，江蘇揚州 225000）

著名數學家華羅庚教授曾經說過：“數無形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好。”這首詩說明了要善于將抽象的數學理論和生動、直觀的圖形兩者相互結合起來分析問題，這便證明了“數形結合”的重要性。但是在當下的初中數學課堂里，很多學生都畏懼學習數學，喪失了學習數學的興趣，更不用說主動思考、解決數學難題，他們認為數學枯燥無味，只不過是計算結果，沒有語文閱讀的“美”。數學教師要帶領學生深挖教材中的“數形結合之美”，引導學生應用數形結合思想思考并解決問題，如此方能激發學生學習數學的興趣，培養學生的數學核心素養。本文將范希爾理論融入初中數學數形結合教學，探索適合初中生的應用策略，期望能在提高學生的數學核心素養以及幾何思維水平等方面達到更好的效果。

一、范希爾理論簡介

范希爾理論是范希爾夫婦在長期一線教學中總結出來的經驗，故因此命名。這個理論和皮亞杰的認知發展理論不同，對于指導幾何課堂教學意義重大，目前國內有越來越多的人開始研究此理論的價值。范希爾夫婦認為教師應該針對學生不同的思維階段組織不同的教學模式，因此將思維水平與教學階段相結合，對應學生的思維水平，提出了“五個教學階段理論”，理論內容如下：

階段1：學前咨詢（Information），教師通過進一步了解學生的解題能力，在舊知經驗的基礎上施加與之相對應的幾何教學，從而提高學生的解題能力，從學生最近發展區出發確定下一步的學習計劃。

階段2：引導定向（Direct Orientation），教師要在課堂教學環節精心設計豐富多彩的活動，吸引學生主動研究，通過動手操作鞏固新知、掌握學習目標，能夠運用一些學習方法。

階段3：闡明（Explication），接著上面兩個階段學習符號語言的意義，運用符號語言獲得新知，促進教育教學和教師專業發展。

階段4：自由定向（Free Orientation），引導學生用多樣化的方法解決問題，從而發現研究方向，范希爾理論認為這個階段是讓學生利用已有的知識經驗發現、探索和運用，激發學生主動學習的意識。

階段5：整合（Integration），學生在此階段歸納總結、梳理所學知識內容，通過自己的理解描述成觀點，將對象與關系內化為一個新的思維領域，教師要鼓勵學生經常反思，從而加深理解知識。

二、提倡初中數學數形結合法的原因

（一）課程標準的改變

新課程標準出臺，提出“通過獨立思考或者合作交流感悟數學的基本思想”，課程標準多次提出要滲透數學思想，其中就包括數形結合思想，這更加凸顯了數形結合思想的重要性，越來越多的學者開始研究數形結合思想在一線教學中的作用。新課程改革提倡學生能夠運用數形結合思想展開探究性學習，在解決問題的過程中能夠培養運用數形結合思想的好習慣，有效突破傳統、枯燥的學習模式。習近平同志曾說過“教育是國之根本”，我國非常重視教育，尤其是素質教育，不能再搞老一套的“填鴨式”教育。隨著推進教育改革，數形結合思想在初中數學教學中占據了不容忽視的地位，越來越多的學者開始重視滲透數形結合思想。

（二）實踐教學的需要

古人云：“授人以魚，不如授人以漁”，教師應該讓學生掌握學習數學的思想方法，而不是就題目講題目，因此滲透數形結合思想能夠提升學生的數學素養，使學生思維富有創造性，以后可以為社會發展、科技進步貢獻一份力量。初中生抽象思維能力還沒有完全發展，一些難懂的數學語言成了學生學習數學路上的“絆腳石”，教師需要借助直觀易懂的數學模型講解晦澀難懂的數學知識，也就是滲透數形結合思想。每年中高考都會涉及數形結合方面的內容，有效運用數形結合思想不僅有利于學生擴展解題思路，而且也能大大提高解題效率，能夠探索問題的一題多解，加快學生的解題速度，提高解題的正確率。數形結合不僅能夠改變傳統的數學學習模式，給學生學習數學帶來更多趣味性、便捷性，學生通過直觀的圖形感知并理解更多復雜的數學知識，而且能夠拓展學生的發散性、開放性數學思維，激發學生的好奇心，讓他們愿意嘗試各種解題方式，培養創造性思維。

（三）學生學習的需要

縱觀目前的數學課堂，教師教學和學生解題并沒有普遍運用數形結合思想，部分學生根本不懂數形結合的含義，還有部分學生也說不出來課本上的題目是否運用了數形結合，更別提能夠在考試時運用數形結合方法了。每年的中高考試卷都會出現不同程度考查數形結合的題目，這些題目不只局限于明顯的關于“數”和“形”的數學問題，而更加關注考查基于雙基基礎的學生思維的創新能力，這就意味著學生要重視學習和應用數形結合思想。

三、學生運用數形結合思想解題時的問題分析

（一）學生的幾何基礎薄弱，繪圖不規范

結合實際教學經驗以及與其他教師溝通發現，大部分學生在運用數形結合解題時繪制圖形都不規范，不會借助直尺畫圖，往往都是畫一些只能自己看懂的草圖，繪圖不準確、不嚴謹往往也會導致解題失敗。畫圖的目的是直觀展示題意，從而促使學生更容易分析解題思路，求得正確結果。然而很多學生畫的圖形并不能體現數量關系，部分學生的幾何基礎薄弱，看到題目中的“是它的1.5 倍”等條件無法準確用線段表示。因此，教師要解決學生在以“形”助“數”方面遇到的阻礙。

（二）學生無法運用直覺思維分析圖形表征

學生的兩種思維模式決定了學生解題時運用的方法，在應用數形結合法解決“圖形與幾何”部分的問題時，學生應該多以直覺思維分析圖像表征，通過形象、具體、直觀的圖形表征理解關于數與代數部分的知識。而基礎薄弱的學生并不能找準圖形中的數量關系，忽視了圖形中的代數意義，因此無法正確解題。

（三）學生無法用數學的思維方式理解數學語言

學生解決問題時總是習慣用自然語言解釋問題，而不能運用數形結合思想看待問題，也就是無法理解問題中蘊含的數學語言。部分學生不理解數學概念表示的含義，而只是一味地死記硬背，不能基于自己的生活經驗給予其相應的解釋、嘗試理解數學概念。

四、范希爾理論下應用數形結合教學法的策略

（一）學前咨詢階段：復習舊知，調動學生已有的經驗

在新課程改革的推動下，社會對于教師有了更高的要求，教師應當與時俱進，及時更新教育理念，培養社會需要的人才，增強滲透數形結合思想的意識。數學思想是學生打開數學世界大門的“金鑰匙”，教師不應該一味地進行“填鴨式”教育，而要關注情景化教學，關注學生發現問題、探究問題、解決問題的能力，這就要求教師在課堂教學過程中要加強滲透數學思想，而數形結合思想就是數學思想的重要組成部分，因此教師在課堂教學中要提高滲透數形結合思想的意識。

1.在觀察中滲透“數形結合”思想。觀察、操作、證明一直是數學教學不可或缺的三個環節，環環相扣、層層遞進。引導學生應用數形結合思想解決問題，教師首先要從“觀察”環節滲透數形結合思想。例如，在教學《主視圖、左視圖、俯視圖》一課時，要引導學生充分觀察不同方位看到的圖形特征。

2.在操作中滲透“數形結合”思想。傳統的數學課以知識為本位，磨滅了學生學習數學的熱情，導致他們覺得數學枯燥、無聊。而當前數形結合成了以學生為本位的數學課堂的一種重要的教學方法。比如，在教學《余角、補角、對頂角》一課時，教師要引導學生通過動手操作“擺一擺、拼一拼”，從而感受角的不同大小，感受余角、補角、對頂角的特征。在驗證三角形的內角和是180°的過程中，組織學生通過操作擺出不同的三角形，引導學生進一步探索發現、驗證計算三角形的內角和。每一步操作都能滲透數形結合思想，一步一步地提高學生的思維能力。

3.在證明中滲透“數形結合”思想。研究中考試卷發現幾乎每張中考試卷中都有一道證明題，而證明題學生往往得分最低，因為很多證明題都要借助圖形進行佐證，但是圖形并不能直接證明，課本明確指出圖形只能作為說理的過程，而這是運用數形結合解決問題時一定要注意的問題。例如推導“完全平方公式”時，教師要引導學生構建一個邊長為a 的大正方形，還有一個邊長為b 的小正方形，求這兩個正方形的面積差，先在圖中找出面積差的部分，把它分成兩個長方形，一個是面積為a×（a－b）的長方形，一個是面積為b×（a－b）的長方形，兩個長方形的面積和即a2－b2，則平方差公式成立。

（二）引導定向階段：認真鉆研教材，研究數形結合的典型案例

數學教材是按照發現、產生、發展數學知識的過程編寫的，呈螺旋式上升的特點，其中學生容易掌握基礎知識，而數學思想并沒有具體的呈現方式，學生不容易理解。但是基礎知識中蘊含著基本數學思想，每種基本數學思想可能包含幾個章節或幾個模塊的知識，因此教師要認真鉆研教材，研究數形結合的典型案例，從而促使學生更容易掌握和理解。教學過程中要設計生動有趣的教學情境，培養學生的數形結合意識。教師要認真研讀教材，在講授新課的環節加入創設情境、自主探索等環節，滲透數形結合思想。

例如《數軸》一課就是典型的數形結合案例，引導定向階段要始終以學生為主體，教師為引導者，循序漸進地引導學生體會數軸的特征，給數軸下定義。闡明和整合階段要總結一系列利用數軸解題的類型，在學生解題時提示用畫圖的方法，給學生的解題思路搭建一座“數形結合”的橋梁，也給教師解決幾何教學設計存在的問題提供一條有效路徑。有效運用數軸解釋、理解實際數學問題，可以突出課堂教學的重點，突破難點，有利于解決一些學生無從下手的難題，使抽象的數量關系變得直觀可見，“數”與“形”相結合可以收到非常不錯的課堂教學效果。

（三）闡明階段：注重提高學生的理解能力，掌握三種數學語言的轉化

數學界有著名的三句話：“用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界。”數學語言簡潔而豐富，大致可以分為三類：文字語言、符號語言、圖像語言，這三種數學語言相輔相成、地位相當，只是在同一種知識中的表達方式有所不同。問卷調查顯示很多學生轉化三種語言的能力較弱，從而導致解題失敗。因此，教師實際教學時要重視教導學生三種語言之間相互轉化。一般情況下學生很容易忽視文字語言，雖然都會讀題，但是很多學生并不了解題目的意思，從而導致無法把題目轉化成對應的圖像語言。總而言之，教師在教學過程中要更加關注學生相互轉化三種語言的能力。

（四）自由定向階段：借助信息技術增強學生的作圖能力

隨著信息技術快速發展，課堂教學也不僅僅依賴粉筆和黑板了。這些年來教育部一直倡導將信息技術融入教學環境，因此傳統教學模式發生了翻天覆地的變化。值得注意的是，在數學學科中運用信息技術特別有利于發展學生的數形結合思想，如教師課堂教學使用幾何畫板、GeoGebra 等專業畫圖軟件，可以大大提高作圖的準確性，減少人工作圖的誤差，促使學生更加直觀、明了地認識圖形。很多學生解題錯誤的原因并不是不會畫圖，而是畫得不夠準確，作圖潦草導致解題的正確率下降。

（五）整合階段：梳理總結、歸納整理應用數形結合法的類型

以數形結合為研究工具，促使學生置身于具體、直觀的環境中，經歷直觀形象—形象概括—本質抽象的過程，充分體會數形結合的好處。那么，數形結合可以解決哪些問題呢？初中數學利用數形結合可以解決的五大類型問題：圓的相關問題、集合問題、函數問題、方程與不等式、三角函數。

五、結語

本文結合一些教學案例展開闡述，對于給學生滲透數形結合思想有非常重要的意義。范希爾理論作為幾何教學的重要理論框架，提出學生幾何思維水平發展有次序性與進階性，強調教學活動對學生發展幾何思維水平的重要作用，促進了學生發展數形結合思想，具有很強的應用性、實踐性與可操作性。結合范希爾理論的五個教學階段展開研究，充分考慮學生不同階段的知識基礎與能力水平，針對每一階段學生的幾何思維設計相應的教學案例，以幫助學生掌握幾何知識、改進幾何理解，從而提升運用數形結合思想解決問題的能力。