化歸思想在初中數學教學中的滲透路徑

文 /戴金珍

引 言

化歸思想即轉化與歸結的簡稱，指的是把一個問題由繁化簡、由難化易的過程，不僅是一種數學思想策略，還是一種常用的解題方法，更是一種有效的數學思維方式。將化歸思想應用到初中數學教學中，不僅可以增強數學教學的趣味性、靈活性，還可以培養學生的數學學科核心素養，使學生的解題能力、思考能力得到提升。所以，在初中數學教學中，教師要重視化歸思想的應用，通過化歸思想的應用提高數學教學質量。

一、化歸思想對初中數學教學的作用分析

（一）促進學生的思維發展

在初中數學教學中，化歸思想的應用已經成為一種常態。簡單來說，化歸思想就是將復雜的問題轉化為熟悉、簡單的問題。運用化歸思想來解題，需要學生準確了解題目的考查意圖，找到新舊問題的結合點，從已知、熟悉、簡單的解題方法中找到最佳解題路徑，明確解題程序和步驟。這對學生的思維能力來說，無疑是一個挑戰。運用化歸思想來教學，相當于為學生提供了進行思維鍛煉的機會，能有效促進學生思維發展。

（二）提高學生的解題效率

初中階段的數學教學內容由復雜的知識體系構成。初中階段也是一個承上啟下的階段。在初中階段，學好數學，是學生學好理工科的基礎。學好數學，需要學生多做題，提高解題能力，總結學習經驗，牢固掌握知識點。化歸思想在數學解題中應用廣泛，尤其是在數學問題化簡以及數數、數形、形體轉化中，用化歸思想可以解決許多問題。將化歸思想應用到數學教學中，讓學生多做題、巧做題，可以鍛煉和提升學生的解題能力，使學生更牢固地掌握數學知識。

（三）優化學生的學習過程

初中數學教學內容有較強的數理性、思辨性。為了講清楚數學知識和原理，許多教師在數學教學中，教學方式相對單一，教學過程也機械無趣，這不僅影響了學生學習數學的興趣，也不利于學生終身發展和終身學習。化歸思想的有效滲透，不僅可以降低數學教學難度，還可以為初中數學課堂注入更多生機與活力，將教學方法與內容變得更新穎，使學生在數學學習過程中產生愉悅的體驗，增強自主學習能力與合作探究意識。這充分表明化歸思想的運用可以在一定程度上滿足學生的實際學習需求，使其在活學活用中形成良好的學習思想，切實感受到數學知識的魅力，繼而轉變學習數學的態度，最終輕松、高效地收獲知識，習得技能。

（四）鞏固學生的知識聯系

數學學習是一個由淺入深、由易到難的過程。初中數學是以小學數學知識為基礎的，但是它又拓寬了學生的學習范圍，提高了數學知識的層次，體現了數學教學規律。初中階段，學生的理性思維能力相對不足。在數學教學中，要想讓學生有效學習，教師需要幫助學生鞏固知識，加深學生對知識的印象，使學生明確數學知識體系層層遞進的關系，使學生的學習能力由淺入深逐步提升。在初中數學教學中滲透化歸思想，可以讓學生建立新舊知識之間的聯系，更透徹地理解數學知識，正確認識數學知識的內涵[1]。

二、化歸思想在初中數學教學中的有效滲透

（一）化陌生為熟悉，列出化歸思想滲透方案

從初中生的數學解題習慣來看，他們大多能夠很順利地解決自己熟悉的試題類型，處理相對陌生的題型時通常會陷入思維障礙，很難求得結果。對此，初中數學教師可以列出化歸思想滲透方案，增強化歸方法的指導，啟發學生對原有問題展開適當轉化，使其深入研究試題的本質屬性與考查要點，根據問題的本質將陌生題型轉化成熟悉題型，達到化陌生為熟悉的目的[2]。

比如，在進行“勾股定理”教學時，當考查學生是否能夠靈活運用勾股定理相關知識時，大部分新題型都不會直接提供直角三角形的兩個直角邊的長度，而是把問題融入比較復雜的場景，要求他們自主發掘和運用勾股定理知識，如用空地、菜園、田地、苗圃等生活場景中的矩形，要求學生求出這些矩形的對角線的長度；用正方體、長方體等立體圖形，讓他們求出從某一頂點到另外一個頂點的最短距離等。教師在指導學生解析這類數學試題時，需緊緊抓住題目中蘊涵的數學知識的本質，啟發他們從問題場景中抽象出三角形圖形的相關要素，找出關鍵條件與信息，列出相應的算式，將陌生而新穎的題型轉化成常見的公式應用類基礎題型。這樣教師指導學生應用化歸思想，把陌生的數學問題轉化為熟悉的題型，能消除他們的畏懼心理，使其準確理解題意，高效處理問題。

（二）化復雜為簡單，提升化歸思維滲透品質

數學屬于初中教育階段一門難度相對較大的學科，數學概念、公式、規律、定理等關鍵知識的理解與應用，均會給學生的學習帶來一定的難度，他們很難全部理解這些復雜而瑣碎的數理知識。初中數學教師需正確認識初中數學的特點，及時總結課堂教學經驗和數學規律，指引學生采用化歸思想，將復雜的數學知識與問題轉化成簡單的內容，有效降低學習數學知識的難度，幫助他們突破疑難障礙，擺脫學習困境，不斷增強學習數學的信心[3]。

例如，在“反比例函數”教學中，教師可出示題目：如圖1所示，已知反比例函數的圖像C與正比例函數y=ax（a≠0）的圖像l相交于點A與點B，A點坐標為（2，2），求B點坐標及a的值；把函數的圖像與直線AB同時向右平移n（n＞0）個單位長度，得到的圖像分別記為C'與l'，已知圖像c'經過點M（2，4），求n的值，分別寫出平移后兩個圖像c'與l'的函數關系式，寫出不等式≤ax-1的解集。解析：從數的視角出發，把兩個函數關系式聯立起來成為方程組，求出B點的坐標是（-2，-2）；c'與l'的函數關系式能夠很容易求出來；本題的難點在于最后一問，教師可以提示學生從數與形之間的關系展開思考，并運用化歸思想把這一不等式轉化成兩個函數圖像交點類的問題，把復雜問題變得簡單化。

圖1

（三）化新知為舊知，創設化歸思想滲透渠道

數學知識有極強的體系性，即使是不同領域下的數學知識，也存在不少聯系點，其中舊知識往往是新知識的基礎和鋪墊，新知識則通常是舊知識的持續與延伸，新舊知識相互滲透，組成了完整的數學知識體系。在初中數學教學中，教師要善于引導學生發現數學知識的內在聯系、邏輯關系，將舊知識看作學生理解、認識新知識的起點，運用新舊知識的表象聯系與內在聯系為他們提供諸多啟發，通過化新知為舊知創設化歸思想滲透渠道，使其完成新舊知識的對接與轉化，實現知識及方法的遷移應用[4]。

例如，“一元一次不等式”這一節主要介紹了一元一次不等式的變形，為解不等式做理論上的準備。在教學時，教師需積極尋求同舊知識之間的聯系，利用一元一次方程的相關知識，先給出一些簡單的一元一次方程，如x+1=2，2x-1=3等，激活他們已有的認知經驗，使其回顧方程變形的依據。接著，教師可聯系學生以前學習過的不等式相關知識，帶領學生系統地回顧不等式定義，然后演示課本44頁的實驗，讓學生觀察且聯系方程的基本變形得到不等式的基本性質1，再加以概括和板書，運用同樣的方式指導他們學習不等式的性質2與性質3。之后，教師出示一元一次不等式x+3＞5，x-6＜7，引領學生結合解一元一次方程的經驗思考如何計算，通過多樣化的新舊銜接化新知為舊知，使學生體會不等式與方程的聯系和區別。

（四）化抽象為具體，創新化歸思想滲透途徑

初中生正處于從具象思維向抽象思維轉變的特殊時期，他們的抽象思維能力還不是特別強，而數學知識恰恰有顯著的抽象性特征，這為正常教學的實施帶來一定難度、不便和挑戰。在初中數學教學過程中要想更好地滲透化歸思想，教師就要結合初中生的思維特點，優化教學內容，通過化歸思想的滲透，引導他們將數學概念、定理、公式等理解難度較大、理論性較強的數學知識變得具體、直觀，通過化抽象為具體，使學生準確掌握知識[5]。

以“平行四邊形”為例，教師可以先在多媒體課件中展示一些生活中平行四邊形的實物圖，如籬笆、伸縮門、伸縮晾衣架、伸縮支架等，詢問學生：它們是什么幾何圖形的形象？學生結合生活經驗與已學知識知道是平行四邊形。然后教師可運用信息技術手段演示從實物中抽象出平行四邊形的過程，使學生在具體形象的圖片的輔助下，真切感受到生活中存在著大量的平行四邊形，讓他們體會化抽象為具體的化歸思想。接著，教師提問：“這些圖形都是什么圖形？這樣的圖形為什么叫平行四邊形？”然后，教師可結合小學時期已學的數學知識，先引導學生回顧相關概念，再找到新舊知識的連接點，以舊知識解釋新知識，為學生判定平行四邊形提供理論依據。接下來，教師巧妙設疑，詢問學生研究幾何圖形通常要關注哪些元素，再結合具象的實物，抽象出平行四邊形的圖像要素，讓學生感知與理解平行四邊形的性質，使其初步體會幾何研究的一般思路與方法。

（五）加強設計練習，強化化歸思想滲透效果

練習作為鞏固課堂所學知識的重要途徑，還是提升學生學習能力的有效舉措，也可以進一步解讀數學思想方法。對初中數學教學而言，化歸思想的滲透并非一朝一夕之事，而是要循序漸進、逐步深入。為進一步滲透化歸思想，教師應當結合具體章節教學內容加強對練習題的設計，引導學生運用化歸思想分析題意，解答試題，通過解題訓練強化化歸思想的滲透效果，使其真正明確化歸的對象、方法與目標，有效鞏固與強化他們的化歸思想水平[6]。

以“圓”為例，當學完課本知識后，教師可設計這樣一道練習題：如圖2所示，已知兩個半圓中長是4的弦AB和直徑CD平行，且同小半圓相切，求圖中陰影部分的面積。題干提供的數量條件只有弦AB的長度是4這一個條件，弦AB與直徑CD平行看起來用處不大，還能夠發現在這個大半圓中，任意移動小圓的位置，圖中陰影部分的面積大小都不會發生變化，所以可以把小半圓的位置向右平移，直至兩個圓心重合，如圖2所示，設小圓和弦AB相切于點H，把OB與OH連接起來，根據切線的性質能夠得出OH垂直于AB，根據勾股定理可知HB2=OB2-OH2，則圖中陰影部分的面積（OB2-OH2）=2π。本題主要采用化歸思想，化未知為已知，對題目中小圓這一圖形的位置進行平移，屬于位似變換，通過適當的圖形變換，將一些看似無用或未知的條件變成解題的突破口。

圖2

（六）借助數學建模，促進學生化歸思想的發展

建模能力是數學學科核心素養的重要構成部分，建模思想的本質是由果推因，通過數學建模去求解，去定量分析和解決實際問題的數學思想。數學建模，需要從定量的角度了解對象信息、分析問題，所以它比常規數學方法更有助于培養學生形成發散思維和解決數學問題的能力。對于初中數學教學來說，數學建模與化歸思想一樣，都是需要掌握的學習方法。因此，在數學教學中，教師可以數學模型為基礎，引導學生使用化歸思想，通過數學建模與化歸思想的相互作用，讓學生去偽存真，真正理解與掌握數學知識。

例如，在“平方差公式”的教學中，教師可先帶領學生回顧多項式與多項式相乘的法則，出示以下例題：（x+1）（x-1），（x+2）（x-2），（3+x）（3-x），（2m+n）（2m-n），要求他們先獨立計算題目，再在小組內討論發現的規律，使其初步感知平方差模型。接著，教師出示式子（a+b）（a-b），由學生嘗試計算這兩個數的和與這兩個數的差所乘的積，使其發現（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2，并結合上述多項式相乘的題目分析相同點與不同點，讓他們結合這些例題的計算得出平方差公式，建立平方差模型。之后，教師要及時總結，給予學生啟示：“在平方差公式中，字母不僅可以代表數字，還能夠代表單項式和多項式。”由此借助數學建模訓練的融入滲透化歸思想，不僅可以提升學生的數學建模能力，還能夠發展他們的化歸思想，提高其綜合素質。

結 語

在初中數學教學活動中滲透化歸思想，不僅是對新課程標準的落實，還是數學學科自身教學的需求。教師應深刻了解化歸思想的內涵、本質與外延，結合數學知識規律、特點及初中生的身心特征，從不同路徑滲透化歸思想，達到化抽象為直觀、化復雜為簡單、化模糊為清楚的目的，使學生加深對數學知識的感悟，提高數學學科核心素養。