用導(dǎo)數(shù)證明不等式的五法

田 甜

(山東省青島市西海岸新區(qū)第八高級(jí)中學(xué))

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高考熱點(diǎn),也是難點(diǎn).本文例析用導(dǎo)數(shù)證明不等式常用的五種方法.

1 比較兩個(gè)函數(shù)的最值

證明問題等價(jià)于證明＋∞)),令f(x)＝xlnx,則f′(x)＝1＋lnx,當(dāng)x∈時(shí),f′(x)＞0,所以f(x)在時(shí),f′(x)＜0,當(dāng)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故為f(x)的唯一極小值點(diǎn),則

2 構(gòu)造函數(shù)證明不等式

證明令,則,令,則在x＞0上恒成立,所以r(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,又,所以存在x0∈(1,e),使得r(x0)＝0,即,所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),r(x)＜0,h′(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(x0,＋∞)時(shí),r(x)＞0,h′(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增,則

3 賦值法

證明令f(x)＝ln(x＋1)－x2－x,則f′(x)＝.令f′(x)＞0,得－1＜x＜0.令f′(x)＜0,得x＞0,當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)變化情況如表1所示.

表1

f(x)≤f(0)＝0,即ln(x＋1)≤x2＋x(當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)).

4 換元法

證明依題意兩式相減得(m＋1)(x1－x2)－(lnx1－lnx2)＝0,所以

5 分析法

證明要證只需證lnx,又易證ex＞x＋1(0＜x＜1),所以只需證明

而當(dāng)0＜x＜1 時(shí),2x2－x＋1＞0 恒成立,所以g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,故當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)＞g(1)＝0,即,因而

(完)