優化復數運算的幾種策略

劉夫剛

(山東省棗莊市第一中學)

復數運算必須遵循復數自身的運算法則,有道是“沒有規矩,不成方圓”,但也要講究策略.那么在復數的運算問題中,有哪些策略能幫助我們簡化運算、優化解題過程呢? 本文舉例說明.

1 應用性質

利用復數運算的性質解題可以幫助我們少走彎路,如設復數z＝a＋bi(a,b∈R),則是實數;又如,若z＝z1z2,則利用這個性質可以快速求出復數的模.

A.3 B.4 C.5 D.25

(2)已知i為虛數單位,復數z滿足z(1－i)＝4＋3i,則|z|＝( ).

故選C.

(2)方法1由于,故選C.

方法2由題意得,故選C.

2 妙用結論

高考中對復數的考查一般出現在選擇題或填空題中,只求結果,不求過程.在解答時如果我們能記住一些常用結論并加以應用,那么解題速度與正確率必將大大提高.復數運算的二級結論很多,我們應注意不斷積累.如i;若ω2＋ω＋1＝0 的兩根為,則.

A.z2≥0 B.

C.z3＝1 D.z2022＝z

3 化“虛”為“實”

所謂化“虛”為“實”,就是化虛數運算問題為實數運算問題.對于含參復數運算問題,這個方法十分有效,具體方法是將兩個復數相等的充要條件方程化,再通過解方程得到答案.

因為b＞0,所以a＝2,b＝1,即z＝2＋i,又因為復數w＝u＋3i(u∈R)滿足,所以,即,整理得(u－2)2＜16,即－4＜u－2＜4,解得－2＜u＜6,即u的取值范圍為(－2,6).

4 數形結合

復數具有幾何特征,它的幾何意義為數形結合解決復數問題創造了條件,尤其是對一類復數模的最值問題,它為簡化運算開辟了一條“綠色通道”.

(2)已知點P(s,t),Q(u,v),|s|＋|t|≤2,u2＋v2＝1,復數z1,z2在復平面內分別對應點P,Q,若z＝z1＋z2,則|z|的最大值是_________.

圖1

(2)如圖2所示,分別作出點P和點Q的軌跡,點P的軌跡為正方形及其內部區域,點Q的軌跡為單位圓及其內部區域.由三角不等式可得|z|＝|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|＝|OP|＋|OQ|＝3,當點P為正方形的頂點,且方向相反時,|z|取得最大值3.

圖2

5 運用復數的三角形式

復數的三角形式既有優美的運算法則,又可將復數問題轉化為三角問題來解決.當遇到復數的高次運算或多個復數連續相乘(或除)時,運用復數的三角形式進行運算,往往會收獲意想不到的效果.

所以(cos17θ＋cosθ)＋i(sin17θ＋sinθ)＝1,故

由sin217θ＋cos217θ＝1,可得

sin217θ＋cos217θ＝(－sinθ)2＋(1－cosθ)2＝1,

化簡可得sin2θ＋cos2θ－2cosθ＝0,即1－2cosθ＝0,所以,則,故,選A.

當然,簡化復數運算的策略還有很多,如整體代換、巧用共軛復數等,但無論采用何種方法,我們必須遵循兩條原則:一是不能違反復數的運算法則;二是使運算過程得以簡化,不可弄巧成拙.

(完)