基于廣義協同高斯過程模型的結構不確定性量化解析方法

萬華平，張梓楠，葛薈斌，羅堯治

(浙江大學空間結構研究中心，浙江，杭州 310058)

結構參數不可避免存在不確定性，引起結構參數不確定性的因素很多，比如加工容差、裝配磨損、環境侵蝕、參數自身固有的隨機性。參數不確定性必然導致結構響應具有不確定性，準確量化結構響應的不確定性大小有利于工程結構設計與決策[1-3]。蒙特卡洛法(Monte Carlo Simulation，MCS)[4]是常用的不確定性量化方法，需要對不確定性參數進行大量采樣，然后進行相應的有限元模型計算，再對模型計算結果進行統計分析。MCS方法具有適用范圍廣、穩定性好、易實現的優點，但大量次數的有限元模型分析會導致計算成本很高，難以應用于大型復雜結構的不確定性量化。為克服MCS法計算效率低的不足，代理模型方法采用數學模型近似代替結構物理模型，后續不確定性量化無需原始物理模型，大大降低了計算成本。用于不確定性量化的代理模型包括響應面[5]、Chebyshev 多項式[6]、多項式混沌展開[7]、高斯過程模型(又稱克里金模型)[8]等。其中，高斯過程模型(Gaussian processmodel,GPM)是一種非參數概率模型，可量化預測不確定性，且不受特定函數形式的限制，模擬復雜模型能力強。近年來，WAN 等[9- 10]提出了基于GPM的不確定性量化方法，將均值和方差的復雜高維積分問題轉化為簡單一維積分問題，得到了統計矩的解析結果。

GPM的建立涉及訓練樣本，訓練樣本精度越高，建立的模型越準確。高精度樣本數據的獲取需要建立復雜的有限元模型，這在一定程度上也會增加計算成本，導致采用高精度樣本建模效率較低。針對此問題，出現了多精度高斯過程模型，較常見的是協同高斯過程模型(co-Gaussian processmodel,co-GPM)[11-13]。co-GPM 使 用 較 多的低精度樣本和較少的高精度樣本進行建模，采用少量高精度樣本就可達到滿意的建模精度。co-GPM 克服了低精度樣本建模精度低和高精度樣本計算成本高的問題，在保證較高預測精度的同時進一步節約了計算成本。co-GPM由于不考慮低精度模型的預測值誤差，需要滿足樣本嵌套的條件，即高精度樣本必須是低精度樣本的子集，不適用于樣本非嵌套情況。

本文提出采用廣義協同高斯過程模型(generalized co-GPM,GC-GPM)，同時適用于嵌套樣本和非嵌套樣本。通過兩個獨立過程分別建立低精度高斯過程模型和差值高斯過程模型，二者組合構成GC-GPM。在GC-GPM 框架里計算結構響應的均值和方差，將高維積分問題巧妙轉化為一維積分問題，并推導出解析表達式。三個空間結構算例用來驗證GC-GPM方法的有效性，結果表明：與傳統GPM方法相比，本文方法具有高精度和高效率的優勢。

1 廣義協同高斯過程模型

1.1 高斯過程模型

GPM完全由其均值函數m(x)和平方指數協方差函數C(x,x′)決定[14]，它可定量地給出預測值的均值和方差，量化了預測值的不確定性。高斯過程模型表達如下：

式中：均值函數m(x)通常采用常數形式，比如均值函數為μ[9-10]；平方指數協方差函數C(x,x′)表示如下：

式中：η2為協方差函數變化尺度；lk為協方差函數的變化速率；xk為第k個參數；d為參數的維度；協方差函數的參數Θ ={l1,l2,···,lk,···,ld,η2}通常稱為超參數。

假設有n個觀測值的樣本點集D =(X,Y)，其中，X=[xT1,xT2,···,xTn]T，Y=[y1,y2,···,yn]T，上標T 為矩陣轉置。根據高斯過程假設，模型輸出服從高斯(正態)分布：

中，e為元素全為1的n維列向量；

1.2 廣義協同高斯過程模型

GC-GPM的基本思想：基于較多低精度樣本集建立一個低精度高斯過程模型，用于擬合輸入輸出關系的整體趨勢；基于較少高精度樣本集建立一個差值高斯過程模型，用于修正先前建立的低精度高斯過程模型。

假設分別有n1、n2個觀測值的的訓練樣本集分別表示低精度的輸入值和觀測值；分別表示高精度的輸入值和觀測值，n1＞n2。預測值可由一個低精度預測值和一個高斯誤差線性組合表示：

式中：y1(x)為 低精度的高斯過程預測值；y2(x)為高精度的高斯過程預測值；δ2(x)為高斯過程誤差； ⊥為相互獨立； ρ1為一個比例系數。

采用低精度訓練樣本集 D1建立高斯過程模型，如下所示：

其中：

考慮預測值誤差，預測均值與真實值之間的關系可表示為：

式中，ε1(x)為模型預測值誤差，對于兩個不同的輸入值， ε1(x)是 相互獨立的，即對任何x≠x′，有Cov(ε(x),ε(x′))=0。

由高斯過程模型的性質可得：

聯立式(9)和式(13)，可將y2(x) 與 ρ1y1(x)的差值δ2(x)表示為：

δ2(x)服從高斯分布：

將y2(x)-ρ1y?1(x)記 為 δ′2，建立高斯過程模型：

其中：

因此，高精度模型預測均值為：

預測方差為：

將式(11)和式(12)分別代入式(20)和式(21)，得到y2(x)的預測均值y?2和 方差vy2：

廣義協同高斯過程模型的兩個超參數Θ1={l1,1,l1,2,···,l1,k,···,l1,d,} 、Θ2={ρ1,l2,1,l2,2,···,l2,k,···,l2,d,}可通過最大化邊緣似然函數求得，即最小化負對數邊緣似然函數、：

2 基于GC-GPM的響應統計矩的解析計算

2.1 均值和方差的解析表達式推導

根據統計原理，均值和方差的表達式為：

利用協方差函數的分離特性，式(22)和式(23)可以寫成：

將式(28)和式(29)代入式(26)和式(27)中，得：

2.2 一維積分計算

由式(30)和式(31)可知，基于廣義協同高斯過程模型，響應統計矩的高維積分轉化為了一維積分和。一維積分可統一地表達為：

當參數為正態分布或均勻分布時，一維積分有解析結果[9- 10]：

式中：x～Nx(ξ,θ2)為 參數x服從均值為ξ、方差為θ2的正態分布；x～U(x,xˉ)為參數x服從上下限分別為、x的均勻分布；

當參數xi服從其他分布時，可根據概率相等的原則將其轉化為服從正態分布或均勻分布的參數ui，采用上式解析結果。不同概率分布轉化表達式如下：

3 方法驗證

3.1 算例1：球面網殼

凱威特型單層網殼(圖1)用來驗證所提方法的有效性，該網殼跨度為10m，矢高2.0m，周邊支承，整個網殼均由截面為φ80-2.0的鋼管組成。采用ANSYS軟件建立該網殼的有限元模型，桿件采用BEAM 188梁單元模擬，分別建立高、低精度有限元模型。高精度有限元模型將每根梁單元劃分4個單元，共624個單元；低精度有限元模型將每個梁單元劃分1個單元，共156 個單元。高、低精度有限元模型及其前五階振動模態如圖2所示。

圖1 凱威特網殼/m Fig.1 Kew itte single-layer spherical latticed shell

圖2 凱威特網殼高低精度有限元模型及前五階模態Fig.2 High and low-fidelity finite element model and the first-five-order modesof single-layer spherical latticed shell

假定鋼管半徑、鋼材密度和彈性模量為不確定性參數(見表1)，網殼的前5階固有頻率為分析對象，計算不確定參數下網殼結構固有頻率的統計矩(均值和方差)。GC-GPM 和co-GPM均用來結構固有頻率的統計矩計算，均采用15個高精度樣本和40個低精度樣本。同時MCS法(104個高精度樣本)用來近似固有頻率的統計矩真值。GCGPM 法、co-GPM法和MCS法的計算結果列于表2。由表2可知，GC-GPM法與MCS法的計算結果非常吻合，均值的最大誤差僅為0.0099%，方差的最大誤差僅為0.6251%，表明GC-GPM法用于不確定性量化計算精度高。在非嵌套樣本情況下，GC-GPM法的計算精度明顯高于co-GPM 法的計算精度。GC-GPM方法在嵌套和非嵌套樣情況下計算精度均非常高，表明其適用于嵌套和非嵌套樣本兩種情況。

表1 不確定性參數的統計特征(算例1)Table1 Statistical characteristics of the uncertain parameters(Example 1)

為進一步驗證GC-GPM法的優勢，將其與傳統GPM 法對比。分別采用20個、30個、40個、50個高精度樣本點建立GPM，并計算該網殼前5階固有頻率的均值和方差，同時與MCS法對比，計算結果列于表3。由表2、表3可知，要達到15個高精度樣本點的GC-GPM法的計算精度，傳統GPM法需要40個高精度樣本點，獲取高精度樣本的計算成本相對較高。以上分析表明，GCGPM 法具有高精度高效率的優勢。

表2 GC-GPM 法、co-GPM 法和MCS法計算結果對比(算例1)Table2 Comparison of the results between GC-GPM,co-GPM and MCS(Example 1)

表3 GPM 法和MCS法計算結果對比(算例1)Table 3 Comparison of the results between GPM and MCS(Example 1)

3.2 算例2：折板式網殼

采用如圖3所示的折板式網殼進一步驗證所提解析方法的有效性。該折板式網殼為混凝土薄殼，跨度為24m，矢高為6m，長度為32m。在ANSYS中建立該折板式網殼的有限元模型，屋面板殼采用SHELL63殼單元模擬，其他構件均采用BEAM 188梁單元模擬，分別建立高、低精度有限元模型。在高精度有限元模型中，對密肋板做了模擬，將每個殼單元劃分16個單元，共有2636個單元；低精度有限元模型采用加厚的等效板模擬密肋板，共有308個單元。高、低精度有限元模型及其一階屈曲模態如圖4所示。

圖3 折板式網殼/m Fig.3 Folded plate latticed shell

圖4 折板式網殼高低精度有限元模型及一階屈曲模態Fig.4 High and low-fidelity finite element model and the first-order buckling mode of folded plate latticed shell

假定該折板網殼共有5個不確定性參數(見表4)，其一階屈曲荷載系數為分析對象。分別在嵌套樣本、非嵌套樣本條件下建立GC-GPM 和co-GPM，均采用32個高精度樣本和170個低精度樣本。MCS法(3 ×104個高精度樣本)計算結果作為真值近似值，GC-GPM 法、co-GPM 法和MCS法的計算結果如表5所示。對比結果再次表明GC-GPM法的計算結果與MCS法的計算結果吻合程度較高，進一步驗證了本文的GC-GPM法的計算精度較高。同樣地，采用不同數量的高精度樣本點建立GPM，并分別計算一階屈曲荷載系數的統計矩，計算結果及相對誤差列于表6。由表5和表6可知，要達到32個高精度樣本點的GCGPM 法的計算精度，傳統GPM法則需要180個高精度樣本點，其計算時間是GC-GPM法的2.3倍。以上分析結果表明，本文的GC-GPM解析方法同時適用于嵌套樣本數據和非嵌套樣本數據，且具有高精度低成本的優勢。

表4 不確定性參數的統計特征(算例2)Table4 Statistical characteristicsof the uncertain parameters (Example 2)

表5 GC-GPM 法、co-GPM 法和MCS法計算結果對比(算例2)Table5 Comparison of the results between GC-GPM,co-GPM and MCS(Example 2)

表6 GPM 法和MCS法計算結果對比(算例2)Table 6 Comparison of the results between GPM and MCS(Example 2)

3.3 算例3：板片式網殼

板片式短線程網殼(如圖5)用來驗證本文所提方法的可靠性。網殼球半徑24m，頻數為3，桿均由截面為φ160-5.0的鋼管組成，鋼板厚度為20 mm。該結構的有限元模型在ANSYS中建立，所有桿件采用BEAM 188梁單元模擬，鋼板由SHELL63殼單元模擬，分別建立高、低精度有限元模型。高精度模型的殼單元劃分為48個單元，共2760個單元，低精度模型的殼單元劃分為12個單元，共840 個單元。假設該板片式短線程網殼承受100 N/m2的恒載和500 N/m2的活載，1.2倍恒載和1.4倍活載組合進行靜力分析。高、低精度有限元模型及節點變形云圖如圖6所示。

圖5 板片式網殼/m Fig.5 Plate latticed shell

圖6 板片式網殼高低精度有限元模型及節點變形云圖Fig.6 High and low-fidelity finite element model and the node deformation contour plot of plate latticed shell

假定該板片式網殼共有4個不確定性參數(見表7)，分析對象為節點最大撓度。分別采用嵌套樣本數據和非嵌套樣本數據建立GC-GPM和co-GPM，均采用35個高精度樣本和100個低精度樣本。GC-GPM法、co-GPM 法與MCS法(3×104個高精度樣本)的計算結果如表8所示。對比結果表明GC-GPM法的計算結果與MCS法的計算結果吻合程度較高，進一步驗證了本文的GC-GPM法的計算精度高。與co-GPM 法的計算結果對比表明GC-GPM 法同時適用于嵌套和非嵌套樣本，在兩種情況下均有較高可靠性。

表7 不確定性參數的統計特征(算例3)Table7 Statistical characteristicsof the uncertain parameters (Example 3)

同樣地，采用不同數量的高精度樣本點建立GPM，計算節點最大撓度的統計矩，計算結果列于表9。由表8和表9可知，要達到35個高精度樣本點的GC-GPM法的計算精度，傳統GPM 法則需要120個高精度樣本點。以上分析結果表明，本文的GC-GPM解析方法具有高精度高效率的優勢，同時適用于嵌套和非嵌套樣本情況。

表8 GC-GPM 法、co-GPM 法和MCS法計算結果對比(算例3)Table 8 Comparison of the results between GC-GPM,co-GPM and MCS(Example 3)

表9 GPM 法和MCS法計算結果對比(算例3)Table 9 Comparison of the results between GPM and MCS(Example 3)

4 結論

針對代理模型用來不確定性量化，存在高精度樣本計算成本高和低精度樣本建模精度低的問題，本文提出了基于廣義協同高斯過程模型(GCGPM)的解析方法。GC-GPM 法克服了上述問題，同時適用于嵌套樣本和非嵌套樣本情況?；贕C-GPM，響應統計矩的高維積分轉化為一維積分，并可解析計算出。三個空間結構算例用來驗證了GC-GPM方法的有效性，得到的主要結論：

(1)在非嵌套樣本情況下，GC-GPM法的計算精度高于co-GPM 法的計算精度，表明GC-GPM法均適用于嵌套和非嵌套樣本兩種情況。

(2)GC-GPM解析方法計算結果與MCS法計算結果高度吻合，均值最大誤差為0.0181%，方差最大誤差為1.6238%，表明GC-GPM解析方法計算精度高。

(3)與傳統的GPM法相比，GC-GPM法采用少量高精度樣本就達到良好的計算精度，而GPM法則需要3倍～5倍的高精度樣本，計算時間是GC-GPM法的1.5倍～2.4倍，表明GC-GPM法相對于傳統的GPM法具有高效率的優勢。