一類由α-穩(wěn)定過程驅動的隨機時滯微分方程的LaSalle 不變原理

張振中,陳 旭,童金英

（東華大學 理學院,上海 201620）

0 引言

近年來,隨著隨機微分方程在生物、工程、自動化等領域的廣泛應用,討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性成為該領域最重要的工作之一.值得注意的是,不可避免的時間延遲往往會破壞一個動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.故研究隨機時滯微分方程的穩(wěn)定性是相當重要的.自從 Lyapunov 引入了動態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念,并創(chuàng)造了研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的強大工具: Lyapunov 函數(shù)法.在過去的一個世紀里,許多學者[1-2]利用Lyapunov 函數(shù)法進行了更深入的研究,特別是用其處理并探討隨機系統(tǒng)的穩(wěn)定性.這其中一項重要的突破是LaSalle 針對一類常微分方程所建立的,能確定其極限集的LaSalle 不變原理.之后 Mao[1]建立了 LaSalle 原理的隨機版本.許多作者將Mao 的工作進行推廣,例如,Yin 等[2]給出混雜擴散系統(tǒng)的LaSalle 不變原理.隨后,LaSalle 原理的隨機版本被推廣到了隨機時滯微分方程、隨機泛函微分方程和隨機差分方程中.例如,Li 等[3]引入并改進了隨機時滯微分方程的 LaSalle 原理.Shen 等[4]改進了隨機泛函微分方程的 LaSalle 原理.Zhuang 等[5]基于 LaSalle 不變原理研究了隨機時滯馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的穩(wěn)定性.本文主要通過參考 Mao[6]證明 LaSalle 原理的思想,建立由α-穩(wěn)定過程驅動的隨機時滯微分方程的 LaSalle 原理并給出方程在平衡點處穩(wěn)定性的推論.

雖然布朗運動廣泛地用于刻畫軌道連續(xù)系統(tǒng),但是許多現(xiàn)實數(shù)據(jù)所對應的軌道常出現(xiàn)大的跳躍且尾分布呈冪律特征.對于不連續(xù)軌道且呈現(xiàn)冪律尾的隨機序列用非高斯穩(wěn)定過程來刻畫更合適.因此本文考慮由穩(wěn)定過程驅動的隨機微分方程

其中初值ξ:=x0:={x(θ):-τ≤θ ＜0}為軌道右連左極的隨機變量.若方程(1) 有解,記其解為{x(t)}.f和g均為 Borel-可測函數(shù),f:R×R×R+→R 且g:R×R×R+→R.{Z(t)}t≥0表示對稱α-穩(wěn)定過程,α∈(1,2).{Z(t)}對應的 Lévy 測度為

目前關于由對稱α-穩(wěn)定過程驅動的隨機時滯微分方程的 LaSalle 原理的研究很少.本文將借鑒Mao[6]對布朗運動驅動延遲方程建立 LaSalle 原理的思想,通過構造 Lyapunov 函數(shù),利用 It? 公式等方法,建立由α-穩(wěn)定過程驅動的隨機時滯微分方程的 LaSalle 原理,并以此分析隨機系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

1 預備知識

C(R;R≥0) 表示所有的非負連續(xù)函數(shù)f(·):R→R≥0:=R+∪{0}的全體.C2,1(R×R+;R≥0) 表示關于第一個變元二次偏導函數(shù)后仍然為連續(xù)函數(shù)且關于第二個變元一階偏導數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)的非負函數(shù)集.L1(R≥0;R≥0)表示所有的非負函數(shù)f(·) 的全體,其中

定義 1(i) 對任意的ε,r >0,若存在h>0,使得

則稱方程(1) 的零解隨機穩(wěn)定或依概率穩(wěn)定.

(ii) 若方程(1) 的零解隨機穩(wěn)定且對任意的ε>0 ,若存在h>0,使得

則稱方程(1) 的零解隨機漸進穩(wěn)定或依概率漸進穩(wěn)定.

(iii) 若方程(1) 的零解是隨機漸進穩(wěn)定的,且滿足

則稱方程(1) 的零解全局隨機漸進穩(wěn)定的.

注 1定義 1 等價于.此外,零解的全局隨機漸近穩(wěn)定性蘊含幾乎必然漸近穩(wěn)定.

對于任意t>0 ,由于隨機變量x(t) 依賴于前面的“一列”隨機變量{x(s):t-τ≤s ＜t},故{x(t)}本身不是馬氏過程.若將每一段過程記為一個隨機變量xt:={x(s):t-τ≤s ＜t},則{x(t),xt}為馬氏過程.利用相應的馬氏過程與半群理論,可寫出其對應的算子.

定義 2對任意的V ∈C2,1(R×R+;R≥0) 且V在算子L的定義域內,則過程{x(t),xt}t≥0的算子

引理 1[7]設{η(t)}t≥0是實值連續(xù)(Ft) -適應過程,且滿足

那么,對任意p ∈(0,α),存在C=C(α,p)>0,使得

引理 2[8]設{A(t)}t≥0和{U(t)}t≥0是兩個連續(xù)適應增過程且A(0)=U(0)=0 幾乎必然成立.令M(t) 為局部鞅且M(0)=0,ζ為非負F0-可測隨機變量,定義

即{X(t)}和{U(t)}均收斂于有限隨機變量.

為了更好闡述本文主要結果,現(xiàn)做出以下假設.

(H1)f(x,y,t)和g(x,y,t) 關于變量x,y滿足全局Lipschitz 連續(xù)條件.且假設對任意t≥0 ,f(0,·,t)=0,g(0,·,t)=0 .

條件(H1) 隱含f,g的局部有界性,即?h>0 ,存在常數(shù)Kh >0 ,使對于任意x,y ∈R,

記方程(1)的解為{x(t,ξ)}.若條件(H1)成立,則x(t,0)=0 為方程的解.

(H2) 假設g(x(t),x(t-τ),t) 是實值Ft-適應過程并且滿足

2 由 α -穩(wěn)定過程驅動的隨機時滯微分方程的LaSalle 原理

定理 1假設條件(H1)和(H2) 成立,若存在函數(shù)V∈C2,1(R×R+;R≥0),γ∈L1(R≥0;R≥0),w1,w2∈C(R;R≥0),使得

式(5)中:d(·,·)表示歐氏空間距離.

證 明本定理的證明思想主要借鑒文獻[6],其證明思想為先利用半鞅(特殊半鞅) 的收斂定理,得到一個非負函數(shù)的期望為0.再用分析的方法證明被積函數(shù)隨機變量幾乎必然收斂于0.借鑒文獻[6],將定理的證明分為 3 步.

由初值的有界性可知,存在一個足夠大且依賴于ε的正數(shù)h,使得|ξ(θ)|＜h對任意-τ≤θ ＜0 幾乎必然成立,即

上式中: 定義 i nf ?=+∞.根據(jù)式(11) 和A1,A2的定義,?i≥1 ,對任意的ω∈A1∩A2,則有

于是通過式(9)和式(11) 可以得出只要σ2i-1＜+∞,就有σ2i ＜+∞,可得

式(18)中:IA是集合A的示性函數(shù).根據(jù)假設(H1) 和引理 1 有

顯然矛盾.故式(11) 成立.

第3 步下面將證明 K er(w1-w2)=Ker(w)≠? .由式(11)和式(15)可知,存在Ω0?Ω有P(Ω0)=1使得

則{x(t,ω)}t≥0在 R 上有界,故一定存在一個增序列{ti}i≥1使得{x(ti,ω)}i≥1收斂于某個y∈R .因此

進一步,可推出y∈Ker(w) ,因此 K er(w)≠? .接著證明

這與w(z)>0 矛盾.故式(22) 一定成立.并且,由于P(Ω0)=1,故式(5) 成立.

注 2定理 1 說明了隨機時滯微分方程(1) 解的極限集為集合 K er(w1-w2) .該集合隱含解的漸進穩(wěn)定區(qū)域.例如,若已知集合 K er(w1-w2) 僅包含原點,即 K er(w1-w2)={0},此時方程(1) 的解x(t,ξ)會以概率 1 漸進趨于原點.由此可以得出關于方程(1) 的解漸進穩(wěn)定性的推論.

推論 1假設條件(H1)和(H2) 成立,若存在函數(shù)V∈C2,1(R×R+;R≥0) ,γ∈L1(R≥0;R≥0),w1,w2∈C(R;R≥0),使得

注 3定理 1 和推論 1 是對于全空間 R 成立的 LaSalle 原理.成立的前提是LV(x,y,t)≤-w1(x)+w2(y).本質上不帶延遲的系統(tǒng)起主要作用,使系統(tǒng)仍然總體耗散.一個自然的問題是,定理 1 的條件若不包含w2(·),是否隱含方程(1) 在平衡點處依概率穩(wěn)定性的推論? 下面推論將給出部分回答.

在此之前,首先說明方程(1) 解的非零性.

(H3) 假設存在常數(shù)c>1 使得|g(x,y,t)z|≥c|x|,對任意x,y,z ∈R{0}成立.

命題 1假設條件(H3) 成立,則方程(1) 從非零(片段序列的隨機變量最小值非零)片段初始值出發(fā)的任意解的幾乎所有樣本路徑都不會到達原點,即

證 明證明思想借鑒文獻[9]中的引理1.假設t0是穩(wěn)定過程{Z(t)}t≥0的任意跳的時刻,那么方程(1) 等價于

推論 2假設條件(H1)和(H2) 成立.若存在函數(shù)V∈C2,1(Br×R+;R≥0),w1∈C(R{0};R≥0),使得

則隨機時滯微分方程(1) 的零解全局依概率漸近穩(wěn)定.

證 明令γ(·):≡0,w2(·):≡0 .由假設(H1)知,LV(0,·,t)=0 .故由定理1 知本結論成立.注意到,由本論文假設可以看出,從任意初始值出發(fā),過程軌道都是朝原點吸引.有這全局耗散的假設,也可以直接仿經典穩(wěn)定性結論證明[10].對于任意初始片段過程ξ假定在0 點附近的“管道”區(qū)域,且離原點還有點距離,即存在充分小的正數(shù)h,ε,假定h>ε,|ξ|∈Bh-Bε.定義停時由假設(H3),易證由推廣的鄧肯(Dynkin)公式[1,9],有

3 舉例說明

為了找到由穩(wěn)定過程驅動方程解過程的穩(wěn)定性充分條件,關鍵構造一個合適V函數(shù).并給出在此V函數(shù)下,解過程局部鞅矩估計與其對應的LV的估計.本章將利用上述結論,舉例闡述以下一維隨機時滯微分方程解的漸進穩(wěn)定性.

式(27)中:μ>0,σ >0 ;{Z(t)}t≥0是對稱α-穩(wěn)定過程.為了得出方程(27)的穩(wěn)定性條件,先做出以下假設.

(H4) 對任意的α∈(1,2),使得以下不等式成立,

命題 2若假設(H4) 成立,則方程(27) 的零解全局依概率漸進穩(wěn)定,即

證 明若初始片段過程序列P(ξ ≡0,x(0)=0)=1 ,則P(x(t)≡0,?t≥0)=1 .顯然本結論成立.因此假定初始片段隨機變量不恒等于0.由于方程(27) 的漂移項系數(shù)與擴散項系數(shù)均為線性且為本質上一類幾何穩(wěn)定運動型方程,故方程(27) 滿足假設(H1)和(H2).為了給出方程解的穩(wěn)定性充分條件,嘗試V函數(shù):V(x,t)=|x|p,其中p∈(0,1) .由隨機分析理論知,方程(27) 的解過程所對應的無窮小算子為

定義函數(shù)F1(u)=(1+u)p+(1-u)p-2,u∈(0,1) .根據(jù)泰勒公式,有

其中o(p)為關于p的高階無窮小.由假設(H4)可知

故根據(jù)定理1 或推論2,方程(27) 的零解依概率漸進穩(wěn)定.

因假定μ>0 ,上述條件顯然成立.換句話說,若α=2 時,即則延遲方程(27)的零解依概率漸進穩(wěn)定.當α=2 時,從假設(H4)來看,這個充分條件可以改進.