{A,W}加權(quán)核-EP 分解下的矩陣加權(quán)Drazin 逆的刻畫與表示

胡春梅

（麗江師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,云南 麗江 674199）

0 引言

目前,Drazin 逆理論已應(yīng)用于馬爾可夫鏈[1]、線性微分和差分方程組等方面.文獻[2]提出了長方矩陣加W-權(quán)Drazin 的概念,并對其性質(zhì)進行了討論.

對Drazin 逆的表示問題也引起了廣大學(xué)者廣泛的興趣,這方面的研究主要有: Drazin 逆的表征及刻畫,Drazin 逆的迭代表示[3],Drazin 逆的極限表示,Drazin 逆的積分表式等[4].

在Drazin 逆的表示問題中,矩陣的分解成為了一個討論熱點.文獻[5]討論了矩陣的核-EP 分解及它的應(yīng)用;Ferreyra 等[6]將核-EP 分解推廣到長方矩陣中,得到了一種新的分解式,稱作加W-權(quán)核-EP 分解;文獻[7]將此結(jié)果應(yīng)用到矩陣對{A,W}中,給出了矩陣對{A,W}的加權(quán)核-EP 分解下的加權(quán)Drazin 逆Ad,W的新的表示.

令 Cm×n表示所有m×n階復(fù)矩陣組成的集合.若m=n,則記 Cm×m=Cm.I(m) 表示所有m階可逆矩陣組成的集合.In表示n階單位矩陣,一般簡記為I.用A?,σ(A) ,Reσ(A) 和ind(A) 分別表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置,特征值,特征值的實部和指標(biāo).

定義1[8]設(shè)A∈Cn且ind(A)=k,稱滿足

的矩陣X∈Cn為A的Drazin 逆,通常記為Ad.

定義2[8]設(shè)A∈Cm×n,W∈Cn×m,稱滿足下列方程的矩陣X∈Cm×n為A的加W-權(quán)Drazin 逆:

其中k=max{ind(AW) ,ind(WA) }.記X=Ad,W.若Ad,W存在,則必唯一.

1 引 理

引 理3[7]設(shè)A∈Cm×n,W ∈Cn×m且k=max{ind(AW) ,ind(WA) } ≥ 1 .且A和W如 式(1)所示,則

2 {A,W} 加權(quán)核-EP 分解下的 Ad,W 的刻畫與表示

定理 1令A(yù)∈Cm×n,W ∈Cn×m且k=max{ind(AW) ,ind(WA) }.則存在唯一的矩陣X ∈Cm使得

也存在唯一的矩陣Y∈Cn使得

由引理1 可得,式(6)中第一個等號后的式子成立,第二個等號后的式子同理可得.

同理可得

由引理1 可得,式(7)中第一個等號后的式子成立,第二個等號后的式子同理可得.

結(jié)合定理1 和定理2,可得推論1.

推論 1令A(yù)∈Cm×n,W∈Cn×m且k=max{ind(AW) ,ind(WA) },則下列等式成立:

3 {A,W} 加權(quán)核-EP 分解下的 Ad,W 的極限表示

本章討論{A,W}加權(quán)核-EP 分解下的加權(quán)Drazin 逆Ad,W的極限表示.

定理 3令A(yù)∈Cm×n,W ∈Cn×m且k=max{ind(AW) ,ind(WA) }.則

其中λ→0 表示λ在復(fù)平面上0 的不含-(A1W1)k+1或-(W1A1)k+1的特征值的任一領(lǐng)域中趨于0.

證 明由定理2 可得

因此式(8)成立.同理可證明式(9)成立.

下面,針對定理3 給出一個算例.

例 1令

容易計算得k=max{ind(AW) ,ind(WA) }=3.由引理2 知

4 {A,W} 加權(quán)核-EP 分解下的 Ad,W 的積分表示

本章將給出{A,W}加權(quán)核-EP 分解下的加權(quán)Drazin 逆Ad,W的積分表示.

引理 4[9]令A(yù)∈Cn為非奇異矩陣且Reσ(A)>0,則

定理 4令A(yù)∈Cm×n,W ∈Cn×m,k=max{ind(AW) ,ind(WA) }并且Reσ((AW)k+1)>0,Reσ((WA)k+1)>0 .則

從而式(10)成立.同理可證明式(11)成立.