Faddeev 方程與三玻色子系統低能短程有效場論研究

王 凱,楊繼鋒

（華東師范大學 物理與電子科學學院,上海 200241）

0 引言

對于核子相互作用,最嚴格的方法當然是采用量子色動力學(quantum chromodynamics,QCD)進行計算.但由于QCD 的非微擾性,難以精確求解.為此人們發展出了很多替代方案,其中手征微擾論(chiral perturbation theory) 是極為重要的理論手段之一—QCD 的低能有效場論[1-2].但由于核子系統強烈的非微擾特征,手征微擾論難以直接使用[3].為此,Weinberg[4]建議,可以先利用手征有效理論逐階地構造核子相互作用勢能,之后求解薛定諤方程或者Lippmann-Schwinger 方程,進而得到核子系統的躍遷矩陣— t 矩陣(transition matrix).很快人們發現這一建議實際上是有缺陷的[5],因而引發了有關核力有效場論的熱烈討論[5-7].

近年來,本課題小組利用接觸型相互作用有效理論求得了低能核子–核子散射矩陣的精確解[8],并在此基礎上深入分析了非微擾框架下重整化的新內涵[9-11],發現在不需要引入復雜的有效場論冪次規則的前提下,就可以描述核子–核子散射大散射長度等核子系統的非微擾特征[8,10].這一結論已成功應用到對稱核物質及中子物質中[12],為低能有效場論研究具有非微擾特征的物理系統提供了與以往文獻不同的且更為自然的理論圖景和可能性.

實際上,對低能核子、冷原子、冷分子等系統來說,短程或接觸型相互作用是其典型特征,都可以使用有效場論方法對其相互作用進行低能展開并進行系統的分析計算[13].在動量表示下,這樣的相互作用勢能展開到一定階數就是核子或原子、分子的外動量多項式.對于二體系統而言,t 矩陣滿足的就是以動量多項式的勢能為基礎的Lippmann-Schwinger 方程.而本課題組的前期工作充分表明了,基于因子化[13]和圈積分的一般參數化[8-11],短程相互作用的二體系統 t 矩陣就可以表達成閉合形式的非微擾解析解,從而可以方便地探索其非微擾重整化處理.最突出的特征是,在這樣的框架下,一些圈積分參數被約束為確定的物理參數或所謂的“重整化群不變量”,不再是跑動的重整化參數[10-12].

自然地,對更多粒子的系統而言,以上二體系統 t 矩陣非微擾解的特點及非微擾重整化新內涵是否還有意義或者是否可以適用.為此,本文考慮二體接觸型相互作用下三體系統的 T 矩陣(為與二體躍遷(transitio)矩陣(t 矩陣)區別,這里取transition 首字母大寫)的非微擾或閉合形式的解析解,及其非微擾重整化問題.

以往的三體問題研究,無論何種勢能類型,很少在有效場論的概念框架下解析地討論三體系統的重整化問題,原因是很難獲得解析解,人們普遍采用有限的截斷和數值求解來處理問題[14-18].本文嘗試把在接觸型相互作用有效理論二體系統 t 矩陣研究中獲得的成功經驗應用于三體系統,采用Faddeev方程來計算三體 T 矩陣的非微擾解析解[19-21],該方程需要首先獲得二體 t 矩陣的閉合形式解析解.為此,下面先介紹在接觸型二體相互作用勢能下二體 t 矩陣的求解.為簡化問題,本文僅考慮標量粒子情形,且勢能最高將只展開到外動量的二次冪.

1 二體系統的非微擾嚴格解

設二體系統的質心能量為,粒子質量為M,二體初態、末態相對動量分別為p和p＇,動量空間中的二體勢能是V(p,p＇) ,則質心系中二體 t 矩陣的Lippmann-Schwinger 方程為

其中p＇＇是動量p＇＇的大小.

展開到領頭階的接觸型勢能為

展開到次領頭階的接觸型勢能為

式(2)-(3)中:Δ是手征階數;C0、C2、CP,2均為耦合常數.

不難看出,上述展開實際上自然地分解為S 波和P 波的勢能函數: 對S 波,其勢能為

對P 波,其勢能在次領頭階才出現,為

式(4)—(5)中,p和p＇分別是動量p和p＇的大小.因此,可分別求解其 t 矩陣.為此,本文采用文獻[13]的因子化方法,用矩陣符號,將勢能記為

將式(6)、式(9)代入式(1),可得矩陣τ滿足的代數方程

再由t與τ的因子化關系,可得二體 t 矩陣解.對S 波,其解為

這里,領頭階的S波和P波的解極為簡單,外動量多項式的系數顯然是耦合常數以及重整化參數和在殼動量的有理函數;而次領頭階的S波的解中,外動量的系數t0、t01、t10、t11為更多耦合常數和重整化參數以及在殼動量構成的更為復雜的有理函數,具體表達式可參見文獻[8,11].顯然,除了領頭階的S 波,在P 波和次領頭階的S 波的解的情形中,方程(17)的右邊的耦合常數與參數化的積分參數之間不再是一一對應的,即文獻[9]中所說的失配(mismatch),從而導致有些重整化參數不能被耦合常數吸收.因而必須是確定的“物理”參數(或曰重整化群不變量),需要尋求合適的“邊界條件”,如散射相移的有效程展開(effective range expansion) 系數來確定之.因為在有效場論勢能的給定展開階內,這樣的“物理”參數或重整化群不變量總是有限的,可以找到足夠多的“邊界條件”來確定之.文獻[8,10-11]充分揭示了在這樣的理論景觀下,諸如大散射長度以及淺束縛態等非微擾的物理性質在簡單的有效場論冪次規則下就可以自然地得出,而不必去費力構建更為復雜的、難以保證收斂性的有效場論冪次規則.

可以看到,得到上述低能短程相互作用(接觸性勢能) 的二體散射閉合形式解析解的關鍵在于勢能和散射矩陣對外動量依賴的因子化,并且圈積分采用一般參數化方法.而二體t 矩陣閉合解中隱含的耦合常數與重整化參數之間的失配導致的非微擾重整化新內涵在接觸型勢能的有效場論中應該具有普遍性,比如三體系統的T 矩陣在接觸型勢能的前提下應該也面臨這樣的局面.本文欲嘗試將前述經驗或觀察應用于三體系統.為了簡便,下面的討論針對無自旋的玻色子系統.

2 三玻色子系統

2.1 三體運動學及Faddeev 方程

雅可比動量是一種方便的描述三體運動學的方法(以下考慮的是質量相同的標量粒子),它由3 個動量組成: 第一個是系統總動量K;第二個是“粒子對”α的相對運動動量pα,pα=1/2(kβ -kγ),其中,(αβγ) 取(123) 的任意一種輪換;第三個是“旁觀者”粒子α在質心系中的動量qα,qα=kα-1/3(kα+kβ+kγ) .在質心系中,總動量K恒為0.因此可以用pα,qα(“粒子對”α及其“旁觀者”粒子α)來描述三體系統的運動狀態,相應的量子態為|pαqα〉.

在計算中還會用到3 組雅可比動量之間的轉換關系,根據定義可以得出

對于三體系統,相應的Lippmann-Schwinger 方程存在一定的問題,即不存在唯一解,必須代之以Faddeev 方程[20],詳細的理由闡述見文獻[19].目前文獻中有兩種版本的三體T 矩陣滿足的方程,這里分別稱為Joachain 版方程[20]和Newton 版方程[20].下面采用動量空間進行闡述.

Joachain 版方程為

2.2 三體T 矩陣外動量“分流”

通過考察二體問題的解決過程可知,二體t 矩陣的解是外動量(這里是“粒子對”動量) 的多項式,多項式的系數是圈積分后的重整化參數和在殼動量的有理函數(多項式構成的分式),以此為經驗,考察二體接觸型相互作用下的三體問題: 三體T 矩陣是由t 矩陣的無窮迭代生成的,故而其嚴格解也是“粒子對”動量的多項式(無窮階),但是無窮階多項式是無法處理的,下面考慮尋找它的近似解析解.考慮到式(23)、式(24)的非齊次項和積分核都是t 矩陣,同時考慮到此處只包含二體相互作用,因而可以假定T 矩陣對“粒子對”動量的依賴仍是多項式,其最高冪次應至少與t 矩陣一樣,因而假定它展開到t 矩陣的相同冪次;而“旁觀者”動量將通過“粒子對”能量進入“粒子對”動量多項式的展開系數當中.于是問題轉化為將如此展開的三體T 矩陣代入式(23)、式(24)求解多項式的系數滿足的代數方程.但經過計算發現,“粒子對”動量積分中將會出現外動量的更高冪次,使得左右兩邊冪次不再對應相等,而這些高冪次項都來自“旁觀者”動量,因而可以采用分流法將其納入能量之中,從而得到閉合的關于多項式系數的代數方程組.在低能有效場論中高冪次項的貢獻相比于低冪次的項總是被壓低的(suppressed),因此這樣的“分流”處理是合理的近似處理.解這些方程組,就得到了本文要求的非微擾近似解.另外,通過下面的計算可以看到,T 矩陣多項式的系數是能量的分式,因而這樣的做法相當于Padé近似[22-24].

在“分流”處理中本文引入了新的與能量有關系的量.由式(23)、式(24)的一次迭代可知,計算中在分母上除了會出現初末態的“粒子對”能量,還會有 “能量差”

2.3 三體T 矩陣的非微擾解

下面根據2.2 節提供的思路計算Tα、Tαβ非微擾解.

2.3.1 領頭階勢能下Faddeev 方程非微擾近似解

1) 最簡假定

由2.2 節的討論可知,在領頭階勢能下二體躍遷矩陣的解形式上不依賴于“粒子對”外動量,只依賴于二體系統總能量.因此在領頭階勢能下,可以最簡單地假定三體躍遷矩陣為領頭階“粒子對”外動量多項式,即Tα、Tαβ為僅依賴于能量及“旁觀者”動量的未知函數aα,a、aαβ,a(右下標“ a ”表示最簡假定),關系式為

將式(26)—(27)代入式(22),得到

其中tα表示Eα對應的領頭階t 矩陣.

正如前面所指出的,式(28)的積分中,作為領頭階展開,系數函數aα,a、aαβ,a僅依賴于能量及“旁觀者”動量信息,因而與被積“粒子對”動量無關,可提到積分號外.對積分做一般參數化,并引入新符號Iα來表示積分式,即

從而將積分方程化為閉合的代數方程

這個方程組(式(30)) 的解容易求出,即

式(31)—(33) 中,α、β、γ滿足互不相等的要求.

2) 改進假定

顯然由上述最簡假定得到的解中,T 矩陣始終是某“旁觀者”粒子,不參與作用的效果(狄拉克(Dirac) δ 分布),不能合理地描述因多次不同“粒子對”間的相互作用迭代積累導致的3 個粒子間的動量混合分布(非Dirac δ 分布).因而作為改進,本文在前面最簡假定解的基礎上明顯地引入二體 t 矩陣項,來描述“旁觀者”粒子不參與作用的過程,并用下標“t+a”表示該假定,即

式(37)—(39) 中,α、β、γ同樣滿足互不相等的要求.顯然,這個改進使得在Dirac δ 分布項(第一項)之外成功地包括了更合理地描述3 粒子間動量混合過程的非Dirac δ 分布項！

實際上,仔細觀察二體接觸型勢能的Faddeev 方程迭代結果,可以啟發嘗試近似程度更好的解析解假定,此項工作的結果將在后續報告中給出.

2.3.2 次領頭階勢能下Faddeev 方程非微擾近似解

1) 最簡假定

在最簡假定情形下,將Tα和Tαβ取為與二體 t 矩陣相同階的“粒子對”外動量多項式,系數設為能量及“旁觀者”動量的未知函數aij,α,a和aij,αβ,a(i=0,1,2,3,j=0,1,2,3) .為了簡化問題,先考慮二體的S 波部分對應的Tα和Tαβ,此時該假定可寫成因子化形式,具體為

其中,Iα是由積分構成的 4×4 矩陣,Iα=(Iα,ij) .這些積分將產生高于方程左側的高冪次項,因而需要被分流.這里給出I1,11的表達式及一個分流計算的例子,即

α、ρ的取值范圍是從1 到3;D和N都是 t 矩陣、能量、“旁觀者”動量和重整化參數的函數,N同時還攜帶“旁觀者”動量的 δ 函數,其他冪次的系數都是由這兩組因子構成的,且具有式(46) 類似的形式.由于這些因子的表達式很復雜,因此這里不給出對上述參數的具體依賴關系,具體表達式詳見學位論文.與2.3.1 節領頭階勢能前提下的最簡假定一樣,這個解無法描述動量在3 粒子之間混合的過程,原因是都含“旁觀者”動量的 δ 函數.

2) 改進假定

與領頭階的改進假定相同,設T 矩陣形式為

3) 考慮P 波后的最簡假定

現在考慮計入P 波勢能的貢獻,此時Tα和Tαβ的最簡假定分別是

式(54)—(55) 中的a? 是P 波修正后的a,而aP,1,α,aP,2,α,···是純粹P 波的系數,它們都是 t 矩陣、I、能量和“旁觀者”動量的函數.與上面的最簡假定一樣,此含P 波貢獻的解同樣不能描述動量彌散的過程,需要用改進假定形式的解才能容納動量彌散過程的貢獻.因計算類似但是更為繁重,此處不再給出改進假定解的過程.

2.3.3 一致性檢驗

1) 兩種版本解的一致性

對于領頭階最簡假定解,通過對式(37)—(39) 的直接計算可以驗證它們滿足式(24),即

對于改進假定解,可以驗證式(24) 也成立,此處不再詳述.對于次領頭階,在最簡假定下根據計算結果,發現有關系

“粒子對”動量的其他冪次的項的系數(a01,1,a,a02,1,a,···,a02,11,a,a03,11,a,···)按照同樣的方式可以方便地得到驗證,此處不再贅述.而改進假定下的驗證過程也很直接,不再細表.

2) 領頭階和次領頭階的一致性

首先來看最簡假定解,令 t 矩陣的次領頭階部分的系數t01,α,t10,α,t11,α=0,所有“粒子對”動量的非零次冪項的系數都是0,因而只需驗證a00,α,a和a00,αβ,a退回領頭階即可.以a00,1,a、a00,11,a為例,根據D和N的具體表達式,此時N1,2=N1,4=0,D1,1=D1,7=0,因而由式(47)可知

驗證完畢.

對于剩下的10 個T 矩陣,計算過程與上述類似.對于改進假定解,本文同樣驗證了一致性,不再贅述.

2.4 三體T 矩陣的非微擾重整化

作為閉合形式的,因而也就是非微擾形式的解析解,前面獲得的三體T 矩陣在理論結構上與二體t 矩陣的主要特點一樣: 重整化參數及耦合常數都因閉合形式而受到更多的緊約束(tight constraints)[8,10-11],從而導致某些重整化參數及耦合常數成為需要適當“邊”條件或者物理輸入來確定的“物理”參數或者重整化群不變量,這是以往的微擾框架下的重整化無法處理的情景[8-11].

比如,對于領頭階接觸型勢能二體t 矩陣實際上僅有S 波貢獻.為了完成二體t 矩陣在此前提下的重整化,唯一的耦合常數C0必須吸收可“跑動”的重整化參數J0,從而變成“跑動”耦合常數,以保證二體t 矩陣是不“跑動”的物理參數的函數[5,8,11].將這樣的二體t 矩陣代入Faddeev 方程后,無論是在最簡假定下,還是在改進假定下,本文都得到了由已經重整化的二體t 矩陣以及內動量積分Iα構成的閉合的有理分式函數.這樣的閉合函數形式自然將帶來新的緊約束,進而導致積分Iα中出現的重整化參數被約束為不“跑動”的物理參數.類似地,次領頭階水平上的三體T 矩陣的閉合解也是由已經重整化的二體t 矩陣與新的內動量積分構成的閉合的有理分式,于是新的內動量積分中出現的重整化參數也將因更多的緊約束而變成不“跑動”的物理參數.

對于三體T 矩陣重整化的具體實施及其在具體物理問題中的應用將在后續的詳細報告中給出.與以往的含非微擾發散的數值計算分析相比,雖然本文得到的三體T 矩陣是近似解,但它是解析的閉合解(非微擾),可以很方便地討論非微擾重整化,這是本文所采取的方法和途徑的顯著優勢.

3 結論

本文在二體短程有效相互作用的前提下,將二體躍遷矩陣非微擾解計算中成功使用的因子化和內動量積分的一般參數化方法,結合外動量“分流”處理,推廣到描述二體相互作用下的三體T 矩陣所滿足的Faddeev 方程的求解中,在領頭階和次領頭階接觸型二體相互作用下得到了近似程度不同的三體T 矩陣的閉合形式近似解.通過兩種不同版本(Joachain 版和 Newton 版) 的Faddeev 方程計算結果的對比以及從次領頭階到領頭階的約化計算,驗證了所給出的非微擾解都是自洽的.正如二體問題一樣,三體T 矩陣的閉合解同樣面臨非微擾的緊約束,同樣需要在非微擾框架下進行重整化,其中的緊約束也將使得更多重整化參數被約束為不“跑動”的物理參數.雖然本文僅對最簡單的三體系統(標量玻色子) 進行了在較為簡單的二體相互作用下的躍遷矩陣的非微擾重整化問題的初步分析,相信本文的基本策略和關于三體T 矩陣的非微擾重整化基本結論對于其他更為復雜的系統(如費米子或者矢量玻色子) 而言同樣可以適用.接下來將對三體T 矩陣閉合解的理論性質及其在更多具體問題中的應用做進一步的研究.