從科普圖書中領略幾何學之美

[摘 要]幾何學是數學的一個分支，研究的是單個物體的形狀，還有各種物體之間的空間關系，以及周圍空間的屬性。從人類文明誕生之初，人類的祖先便開始了對幾何學的探索，它是數學已知最古老的分支之一。在幾何學的發展歷史上，許多知名人物都做出了卓越的貢獻，例如，歐幾里得、斐波那契、黎曼到牛頓、愛因斯坦。幾何學不僅具備數理邏輯的智性之美、黃金分割的視覺之美，更具備貼近日常生活的鮮活之美。疫情傳播、混亂的美國政治進程、國際跳棋錦標賽、人工智能、英語、金融乃至詩歌，都與幾何學有著不可分割的密切聯系，并衍生出幾何學的新分支。總之，幾何學不是一件帶著教室氣味的文物，而是一門鮮活的學科，正在以前所未有的速度向前發展著。

[關鍵詞]幾何學；黃金分割；歐幾里得幾何；黎曼幾何；斐波那契數列

第95屆奧斯卡金像獎頒獎典禮上，影片《瞬息全宇宙》斬獲包括最佳影片獎在內的七項大獎，主演楊紫瓊成為奧斯卡史上第一位亞裔最佳女演員得主，創造了好萊塢亞裔電影的歷史。

影片講述了在每一個選擇都會分裂出一個平行宇宙的世界里，楊紫瓊扮演的洗衣店老板如何在不同的平行宇宙中穿梭，嘗試挽救自己家庭的故事。

整個宇宙有數百萬個不同可能分裂出的平行時空，洗衣店老板在別的宇宙中或是影星，或是科學家，或長著奇怪的手指，甚至成為別的物種，好像在這幾百萬個選項中有一個最優解。

這拋出了一個永恒的話題：如果再來一次，你還會做出相同的選擇嗎？我們真的能夠為自己選一條十全十美的路嗎？事實上，在我們生存繁衍的這個宇宙中，的確有一個接近完美的近似解——幾何學。

一、幾何學的定義

什么是幾何學？字典會告訴你，幾何學是數學的一個分支，它研究的是單個物體的形狀，還有各種物體之間的空間關系，以及周圍空間的屬性。

拋開這些定義，幾何學實際上可以理解成我們對這個世界最原始的認識：自出生之日起，我們就開始思考兩個問題：事物在哪里？它們長什么樣子？有意思的是，幾何學也很有可能是“人之所以為人”的關鍵標志之一。

神經科學家正在探索形狀及我們認知形狀的能力，有可能是讓我們這個物種獨一無二的標志之一。研究人員曾經比較過人類和狒狒感知幾何形狀的能力。相比于狒狒，人似乎明顯對規則的幾何圖形更敏感。或許對幾何圖形的識別，正是人類和其他靈長類近親直接的認知“奇點”。

從人類文明誕生之初，人類的祖先便開始了對幾何學的探索。它是數學最古老的分支之一。目前已知的古老的應用幾何學實例是一塊具有3700年左右歷史的古巴比倫泥板，它被認為是用來劃定精確的土地邊界的一張“平面圖”。

早在公元前3100年前后，已經有明確的書面記錄表明，古代人已經開始發展數學規則和技巧來丈量土地、建造樓宇和測量儲存容器。就連“geometry”（幾何學）這個詞，都是希臘語“geo”（地球）和“metron”（測量）的組合，代表了我們對世界最初的認識。

幾何學（Geometry）在希臘語中的意思是測量土地，用來為一塊地、一群人或一群馬賦予幾何圖形，說到底就是測量兩點之間的距離，再將它們呈現出來。

而現代幾何學認為幾何圖形并不是固定的，它可以隨著我們的意志而改變。比如左右手分別握住繩子兩端，讓一只螞蟻沿著一條繩子前進，如果我們將雙手靠近，這個距離就會塌縮至幾近為零。這條彎曲的繩子可以是時空中的捷徑，也可以是 現實生活中的公路、高鐵或者航線。

二、從歐幾里得幾何到黎曼幾何

在幾何學的發展歷史上，許多知名人物都做出了卓越的貢獻。但或許幾乎很少有人能與歐幾里得（Euclid）和他的《幾何原本》相提并論。

公正地說，我們對歷史上的歐幾里得知之甚少。公元前300年左右，他在埃及亞歷山大城生活，這大概就是我們所知的有關歐幾里得的一切了。但他的《幾何原本》收集了當時希臘數學界掌握的幾何學知識。

嚴格說來，這本書的大部分內容早在歐幾里得時代之前就已經為人所知了，但它以極其新穎的方式將大量知識組織在一起，從為數不多的幾乎不可能被懷疑的公理，一步一步地推導出關于三角形、線、角和圓的一整套定理。在歐幾里得幾何出現之前，這樣的結構是不可想象的。在此之后，它成為與知識和想法有關的一切令人贊賞之物的典范。

《幾何原本》[1]中包含了5條幾何公設：

1.任意兩點都可以通過一條直線相連；

2.任意線段都能延伸成一條直線；

3.任意線段都可以一個端點為圓心、以這條線段為半徑作圓；

4.所有直角全都相等；

5.若一條直線與兩條直線相交，使同側的兩角之和小于兩個直角，那么這兩條直線無限延伸必定相交。

或許不用特別說你也能感覺到，第5條公設似乎隱隱約約和其他公設有所不同，最直觀的一點就是它沒有其他的那般簡潔優美。事實上，歐幾里得本人和其他許多人都意識到了這一點。在2000多年的時間里，許多人都企圖提出一則替代方案，或者利用其他公設證明它。

最終人們發現，第5公設之所以奇怪，是因為在某些情況下它有可能不成立。換句話說，幾何學并不等于歐幾里得幾何，這種體系實際上是不完備的。

最終做到了這一點的是一位名叫黎曼（Bernhard Riemann）的數學家。19世紀中葉，黎曼公開探討了球面幾何，這幾乎重新定義了幾何學的概念，開啟了超越歐幾里得的非歐幾何探索。非歐幾何的發展甚至對其他各個研究領域都帶來了深遠的影響。

三、從低維時空走向高維時空

20世紀初，一位名叫愛因斯坦的年輕人正在醞釀著一場即將顛覆物理學界的理論風暴。但他在發展理論的過程中卻遇到了困難，作為一名物理學家，他需要某種“順手的工具”，也就是一些必要的數學方法和技巧的幫助。

最終成就愛因斯坦的正是當時相當新穎的黎曼幾何。它作為一種強大的數學基礎，幫助愛因斯坦構建出了一個全新的引力理論，也就是我們現在耳熟能詳的廣義相對論。用理論物理學家沃特（PeterWoit）的話說，“如果沒有數學家的幫助，難以想象愛因斯坦怎樣才能完成相對論的研究”。

而這不過是幾何學幫助其他學科認識世界的例證之一，幾何學與其他學科，尤其是近代物理學的互相影響遠比這要更復雜。

在現代最具潛力的“萬有理論候選”之一——超弦理論中，宇宙被想象成了由振動的極微小的弦構成的。如果這是真的，數學要求這些“弦”必須在由9個空間維度加上一個時間維度的十維宇宙中振動和移動。

但顯然，我們僅僅生活在一個三維空間加一個時間維度的四維宇宙中。還有其他維度在哪里？讓超弦理論學家興奮的是，他們再次從幾何中找出了答案。

數學家卡拉比（Eugenio Calabi）和丘成桐已經描述出了一種六維幾何圖形，名叫卡拉比-丘流形[2]。它符合弦理論學家要求的結構，額外維度可以以這種復雜的方式在非常小的尺度上“揉成一團”，隱藏在我們的視野范圍之外。

四、從數理的邏輯之美回歸現實的鮮活之美

可以這么說，經過如此漫長的探索，幾何學早已包羅萬象，從最初出現在泥板上巴比倫人發明的“原三角學”，到如今超越十維的世界，毫不夸張地說，它甚至可以解釋世間萬物的運行

機制。

除了線段、地球儀，和我們在課本上學到的三角形、矩形和圓形之外，“黃金分割”可能是我們聽過最多的幾何名詞。它和美學有著密不可分的聯系，斷臂的維納斯是它的“作品”之一。達·芬奇[3]似乎也是這個奇妙數字的代言人，而它最初的名字叫“斐波那契數列”。

斐波納契數列是指數列中從第三項起的每一個數字都等于前兩項之和，且它與前一項之比逐漸趨近于1.618，即黃金分割，也稱作φ。

1，1，2，3，5，8，13，…

黃金分割自帶一種神秘感和內在的美感，所以經常會被用在各種設計方案中。比如2008年百事可樂換成了“地球儀”標識。“黃金分割”的魅力也逐漸超出了數學和美學范疇，有一種觀點認為，黃金比例和股市的周期波動存在著一定關系。

在1998年的電影《圓周率》中，主角意外發現1.618這個數似乎是預測股價的關鍵因素。其實早在20世紀初，一個叫拉爾夫·尼爾森·艾略特的美國會計師在仔細研究了75年的股票行情之后，建立了艾略特波浪理論。該理論認為股市的波動是由可預測的漲跌趨勢模型控制的，當前趨勢與上一個趨勢的長度之比是黃金比例即1.618，投資者可以根據這一原則預測股市。

盡管成功率變幻莫測，但時至今日，波浪理論依然沒有被拋棄。美林證券公司的技術分析指南中有一整章都是關于該理論的，彭博終端會在股價圖上畫出短短的斐波納契線，幫助預測最近一次趨勢以φ的尺度重復出現之前，股價可以上升到什么水平。或許一種方法能否真正有效并不重要，重要的是如果有足夠多的人認為它有效，就會在市場與艾略特波浪理論的預測之間建立些許關聯吧。

回到《瞬息全宇宙》的敘事中，選擇為何如此重要？幾何能否幫我們在眾多的選擇組合中挑選出通向成功的那一條路徑？首先我們要引入一個新的概念：尼姆游戲[4]。

尼姆游戲的玩法很簡單，兩個玩家坐在幾堆石頭面前，輪流拿走石頭。每次只能從其中一堆石頭里拿，且每次至少拿走一塊，不設上限，拿走最后一塊石頭者勝。

讓我們先從兩堆石頭、每堆兩塊的簡單情境開始構建樹狀圖：表示游戲起點的最底部是樹根，向上的路徑被稱為樹枝，樹枝末端沒有進一步分叉的點是樹葉。

樹狀圖敘事的要義是：在人生的尼姆游戲中，一旦做出選擇，我們就會永遠待在那根樹枝及其分支上，再也無法回頭。我們唯一的任務就是做出一個又一個選擇，沿著越來越細的樹枝不斷往上爬，當最后無路可選時，游戲就結束了。可以說，人生就是一棵樹。我們為電影賦予浪漫，因為我們所在的宇宙無法穿梭，幾何把它們串聯在不同的次元，選擇的腳步落下，其他的選項便坍塌了。

五、用幾何丈量世界和我們自己

對大多數人來說，幾何學是一門充斥著枯燥刻板習題的課程，高中一畢業，它就和你的牙套、你曾經追過的流行歌曲一起，被扔進了“故紙堆”。當提起幾何學時，如果你首先想到的是如何通過一系列步驟證明關于三角形的某個顯而易見的性質，那么這并不是幾何學，而只是幾何學的很小一部分。打個比方，三角形之于幾何學，就好比一個動詞之于一部精彩的小說。

一根吸管有幾個洞？尼姆游戲的必勝玩法是什么？數字貨幣交易中的公鑰和私鑰是怎么生成的？我們如何做才能阻止一場流行病肆虐世界？人工智能在學下國際象棋方面得心應手，而在學習朗讀句子方面卻力不從心，這是為什么？古希臘的黃金分割比能用來預測股票市場的走勢嗎？如果你的孩子真想學會思考的方法，他們應該在學校學些什么？所有這些問題都跟幾何學有關，千真萬確。在《幾何學的力量》[5]中，喬丹·艾倫伯格帶領我們展開了一場幾何學的探索之旅：

1.你將在歐幾里得、畢達哥拉斯、龐加萊、費馬、康威、牛頓等一眾大咖“導師”的指引下，縱橫于經濟、政治、金融、大數據、宇宙等多個重要領域。

2.你將在“畫得很爛”的手繪插圖的幫助下，習得出色的問題推理能力。

3.你將會讀到“諾特的褲子”“笨蛋的難關”“醉漢下圍棋”“無處不在的車鑰匙”“香農圖書館”等諸多有趣的幾何故事。

從這個意義上來說，幾何學并未超越時空，它就在我們身邊，與日常生活中的各種推理交織在一起。當我們真正深入地思考幾何問題時——無論是嘗試繪制流行病的傳播過程，還是在游戲的策略樹上隨機游走，無論是為民主代議制擬定可行性草案，還是理解哪些事物會給人一種相似的感覺，無論是在房子內部想象房子外部的情景，還是像林肯那樣嚴厲地批評我們的信念和假設——我們每個人對幾何學的理解或許都不一樣，但每個人也都離不開幾何學。

顧名思義，幾何學是我們衡量世界的方式，也是我們衡量自己的方式。

結束語

我證明了一個定理，然后房子開始膨脹：

窗戶猛然飛起，貼著天花板盤旋，

伴隨一聲嘆息，天花板飄然離去。

……

頭頂上窗戶的合頁好似蝴蝶，

在陽光的照射下閃閃發亮，

它們正飛向某個真實但尚未證明的點。

——《幾何學》，美國桂冠詩人麗塔·達夫

幾何之美在于，它會讓人詩興大發。相交的平面會變成翩翩起舞的蝴蝶，盡管它不如標本栩栩如生，但可以毫不費力地從我們的腦中飛出來。

幾何之美還在于它是一種權威的來源——勾股定理之所以是正確的，并不是因為創造它的人如是說，而是我們可以證明它是正確的。在學校的其他課程中，我們往往必須遵從老師或者教科書的權威。而在幾何課上，你可以構建自己的知識，將主動權握在自己手中。

更重要的是，幾何學作為一個蓬勃發展的領域，它不是一件帶著教室氣味的文物，而是一門鮮活的學科，正在以前所未有的速度向前發展著。

如果你在此時選擇擁抱幾何學，它也會為你拋出一條新的可能性樹枝。

參考文獻

[1]歐幾里得.幾何原本[M].張卜天，譯.南昌：江西人民出版社，2019：15-17.

[2]芒德布羅.大自然的分形幾何學[M].凌復華，陳守吉，譯.北京：科學出版社，2022：39-41.

[3]艾倫伯格.魔鬼數學[M].胡小銳，譯.北京：中信出版社，2015：73-76.

[4]艾薩克森.列奧納多·達芬奇傳[M].汪冰，譯.北京：中信出版社，2018：121-124.

[5]艾倫伯格.幾何學的力量[M].胡小銳，鐘毅，譯.北京：中信出版社，2023：67-71.

作者簡介：蘇揚（1980— ），女，漢族，山東榮成人，中信出版集團股份有限公司，副編審，碩士。

研究方向：圖書編輯與出版。