關注類比轉化 引領思維發展

［摘? 要］ 類比是“發現”知識的推理方法，在數學教育教學中具有十分重要的作用，無論是從時間上還是從內容上，都應當給予足夠的重視． 文章通過探究棱柱、棱錐、棱臺體積公式的推導過程，促使學生自覺地、科學地用類比方法獲取新的知識，培養學生的創造性思維能力．

［關鍵詞］ 類比推理；數學發現；課堂教學；思維能力

基金項目：蘇州市教育科學“十四五”規劃2021年度重點課題“指向復雜情境問題解決的高中生數學建模素養培育路徑研究”（2021/LX/01/049/09）.

作者簡介：梅滋亞（1988—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數學教學與研究工作，2021年獲得蘇州市高中數學青年教師優秀課評比活動二等獎，2019年和2021年獲得蘇州市中小學教師專業素養競賽三等獎，2021年獲得蘇州工業園區“教壇新秀”榮譽稱號．

問題的提出

根據兩個（或兩類）對象在某些方面相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理． 開普勒曾說，“我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最信賴的老師，它能揭示自然界的秘密”． 拉普拉斯說，“甚至在數學里發現真理的主要工具是歸納和類比”． 波利亞說得更為形象，“類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題”． 由此可見，類比在數學教育教學中具有十分重要的作用，應該讓學生學會自覺地、科學地用類比方法獲取新的知識． 本文嘗試以此為指導，以棱柱、棱錐、棱臺體積公式的推導為例進行設計和分析，現將其中的一些想法整理成文，與同行交流．

教學分析

1. 教材分析

本節課所授內容源于人教A版第八章“立體幾何初步”的第三節．受學生所學知識基礎的限制，教科書上大部分體積公式都沒有給出推導過程，而是直接給出的． 教科書在本節后面的“探究與發現”欄目中介紹了祖暅原理與柱體、錐體的體積，在“空間直線、平面的垂直”的例6中介紹了棱臺體積公式的推導． 教科書編寫者給本節教學的建議為：本節內容可以培養學生的邏輯推理素養和論證能力，教學時可以根據學生的知識基礎安排教學． 筆者通過整合這些內容，以平行四邊形、三角形、梯形面積公式的推導過程為類比線索，探究棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，滲透化歸與轉化、特殊與一般等數學思想方法． 當學生學習直線與平面垂直的位置關系后，就可以完整推導本節課的公式，這是提升學生邏輯推理、直觀想象素養和空間想象能力的良好契機．

基于以上分析，筆者把本節課的教學目標定為：①利用祖暅原理和長方體體積公式推導棱柱、棱錐、棱臺的體積公式；②類比平面圖形面積公式的推導過程，探究棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，提升學生的知識遷移能力，并在這個過程中培養學生化歸與轉化、特殊與一般等數學思想方法；③通過對棱柱、棱錐、棱臺體積公式的探究，提升學生邏輯推理、直觀想象等素養．

教學重點：棱柱、棱錐、棱臺體積公式的推導．

教學難點：三棱錐和棱臺體積公式的推導．

2. 學情分析

學生對基本立體圖形的結構特征以及空間點、直線、平面之間的位置關系已經有了初步認識，這為研究棱柱、棱錐、棱臺的體積奠定了基礎． 另外，在小學和初中階段，學生經歷了平面圖形面積的測量過程，并逐步研究了長方形、平行四邊形、三角形以及梯形的面積，這為本節課的學習提供了思維范式，可以引導學生類比平面圖形面積的探究歷程來探究空間幾何體的體積． 但本節課內容對學生邏輯推理能力、空間想象能力的要求較高，教學中可以采用啟發引導、合作探究等多元教學法去完成．

教學過程設計

1. 回顧定義，追溯問題本源

回顧：我們在小學是如何測量平面圖形面積以及空間幾何體體積的？

若長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則它的體積為V=abc或V=Sh，其中S，h分別為長方體的底面面積和高．

設計意圖 回顧小學課本（如圖1所示），追溯知識本源，進一步明確體積的測量方法，提升學生的學習興趣． 復習長方體的體積公式，為推導棱柱、棱錐和棱臺的體積公式奠定基礎．

2. 尋找策略，實踐探究過程

探究1：長方體的體積是其底面面積與高的乘積，那么一般的直棱柱的體積如何計算呢？一般的斜棱柱呢？

師生活動：通過討論發現，一般的直棱柱可以通過“分割拼補”，變成直四棱柱（長方體），所以一般的直棱柱的體積也是其底面面積與高的乘積．

追問1：小學時我們已經知道，通過“分割拼補”，由長方形的面積公式可以推導出平行四邊形的面積公式（如圖2所示）． 類比猜想，斜棱柱的體積公式是否也可以通過“分割拼補”的方法得到？

師生活動：類比上述過程，實物模型觀察后小組討論，運用幾何畫板演示（如圖3所示）發現，通過“分割拼補”可以將斜棱柱轉化為直棱柱，求得斜棱柱的體積為縱截面（垂直于側棱的面）面積與側棱長的乘積． 但是在具體應用中，這樣計算斜棱柱的體積不方便，教師繼續追問是否還有別的計算方法．

設計意圖 通過類比平行四邊形面積公式的推導過程，得到斜棱柱體積公式，雖然這個公式不是課本上呈現的公式，但這種思考問題的角度值得學生去體會． 因為類比推理既是一種創造性的思維模式，也是提出新問題和獲得新發現的研究過程，這對學生以后的學習和生活都大有裨益．

追問2：取一摞書或一摞紙整齊地堆放在桌面上，將它如圖4那樣改變一下形狀，請問體積是否會發生變化？

師生活動：觀察討論后發現，這摞書或紙的形狀變化前后高度沒有改變，每頁紙的面積也沒有改變，說明變形后這摞書或紙的體積與變形前相等，于是引出祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”． 同時，適當介紹相關的數學史，增強學生的民族自豪感．

追問3：如果一個棱柱與一個長方體的高和底面面積都相等，那么它們的體積有何關系？能否借助祖暅原理解釋？

師生活動：討論后發現，將它們置于同一平面上（如圖5所示），用一個與底面平行的平面去截它們，可以證明截面（陰影部分）面積都等于各自底面的面積，由祖暅原理可知，它們的體積相等．

由此，得到棱柱的體積公式為V=Sh，其中S，h分別為棱柱的底面面積和高．

設計意圖 利用祖暅原理和長方體體積公式，推導棱柱的體積公式，讓學生了解數學文化，體會轉化思想方法．

探究2：小學時我們已經知道，通過“分割”，由平行四邊形的面積公式可以推導出三角形的面積公式（如圖6所示）． 類比猜想，棱錐（可以先研究三棱錐）的體積公式是否也可以通過“分割”的方法得到？

師生活動：教師引導學生分析三角形和三棱錐的“相似性”——三角形有一個底邊，其他的邊交于一點；三棱錐有一個底面，其他的面交于一點.為類比猜想奠定思維基礎．

設計意圖 由于三棱錐和三角形有一定的“相似性”，因此可以引導學生猜想：既然能用上面的方法（圖6所示的方法）求三角形的面積，就可以用類似的方法求三棱錐的體積．

追問1：三角形的面積與底邊邊長和底邊上的高有關，猜想三棱錐的體積與哪些量有關.

師生活動：猜想三棱錐的體積與三棱錐的底面面積和高有關．

追問2：能否利用祖暅原理證明等底等高的兩個三棱錐的體積相等？

師生活動：設平行于底面的任一平面截三棱錐O-ABC所得的截面為△ABC，截三棱錐P-DEF所得的截面為△DEF（如圖7所示）． 根據相似原理，可以證明S△ABC=S△DEF．由祖暅原理可知，三棱錐O-ABC的體積與三棱錐P-DEF的體積相等，即等底等高的兩個三棱錐的體積相等．

追問3：若三棱柱ABC-ABC的底面面積為S，高為h，類比三角形面積公式的推導過程，能否推導出三棱錐A-ABC的體積？

師生活動：分小組合作探究． 三棱柱ABC-ABC的底面面積為S，高為h，則它的體積為Sh．類比平行四邊形分割成兩個面積相等的三角形，把三棱柱分割成三個體積相等的三棱錐（如圖8所示），每個三棱錐的體積是Sh． 如果三棱錐A-ABC以△ABC為底，那么它的底面面積是S，高是h，而它的體積是Sh． 這說明三棱錐的體積等于它的底面面積與高的乘積的三分之一．

追問4：一般地，一個底面面積和高分別為S和h的n棱錐的體積公式是什么？能否借助三棱錐體積公式的推導過程得到？

師生活動：通過模型演示和交流討論，學生不難發現，任意一個n棱錐都可以分割成n-2個高相等的三棱錐，顯然這n-2個三棱錐的體積之和為Sh．

由此，得到棱錐的體積公式為V=Sh，其中S，h分別為棱錐的底面面積和高．

探究3：若一個梯形的上底、下底和高分別為a，b和h，我們可以用“補形”的方法推導梯形的面積公式． 類比猜想，棱臺的體積公式是否也可以通過“補形”的方法得到？

如圖9所示，延長梯形兩腰交于點E，則S=S-S． 過點E作梯形下底的垂線，分別與梯形的上底、下底相交于點M，N. 設△ECD的高為h，則EM=h，于是S=b（h+h），S=ah，所以梯形的面積S=S-S=b（h+h）－ah=bh+（b－a）h ①.

由梯形上底、下底平行可得=，所以h=，將其代入①式，得S=bh+（b－a）=（a+b）h．

師生活動：教師引導學生分析梯形和棱臺的“相似性”——梯形上底、下底平行，兩腰延長后相交于一點；棱臺上底面、下底面平行，側面延展后相交于一點；梯形可以認為是用平行于三角形一邊的直線截去一個小三角形得到的，棱臺可以認為是用平行于棱錐底面的平面截去一個小棱錐得到的，為類比猜想奠定思維基礎．

設計意圖 由于棱臺和梯形有一定的“相似性”，讓學生猜想求棱臺體積的方法與求梯形面積的方法是類似的，引導學生逐步探究這種方法是否可行．

追問1：梯形面積與其上底、下底和高有關，猜想棱臺的體積與哪些量有關.

師生活動：猜想棱臺的體積與棱臺的上底面、下底面面積和高有關．

追問2：已知一個棱臺的上底面、下底面面積分別為S′，S，高為h．類比上述梯形面積公式的推導過程，能否推導出棱臺的體積公式？

師生活動：給出一個四棱臺示意圖，讓學生先自主探究推導，然后合作交流，最后投影學生的探究成果，請學生代表上臺講解． （限于篇幅，此處不再贅述）

3. 反思小結，突出數學思想

（1）回顧本節課的研究歷程，我們都學到了哪些知識？

（2）推導棱柱、棱錐、棱臺體積公式的過程中蘊含了哪些數學思想和方法？

師生活動：回顧本節課的研究歷程，體會公式推導過程中蘊含的數學思想和方法：①轉化思想. 通過祖暅原理，把棱柱的體積轉化為長方體的體積；通過“分割”方法，把三棱錐的體積轉化為三棱柱的體積；通過“補形”方法，把棱臺的體積轉化為棱錐的體積． ②類比思想. 類比三角形面積公式的推導過程得到三棱錐的體積公式；類比梯形面積公式的推導過程得到棱臺的體積公式． ③由三棱錐的體積公式推導n棱錐的體積公式，用到的是從特殊到一般的思想．

設計意圖 通過反思小結，進一步體會棱柱、棱錐、棱臺體積公式推導過程中所蘊含的類比、化歸與轉化、特殊與一般等數學思想方法，提升學生邏輯推理、直觀想象等素養．

結語

史寧中教授編寫的《數學基本思想18講》中指出，類比推理是基于兩個或兩類事物的歸納推理，是通過經驗過的東西推斷未曾經驗的東西，是從事物的過去和現在推斷事物的未來，是“發現”知識的推理，這是一種創造性思維模式． 在數學教育教學的過程中，無論是從時間上還是從內容上，都應當給予足夠的重視，應當在學習的過程中，讓學生感悟這種推理模式的“自然性”，讓學生逐漸積累“正常”思維的經驗，不僅要學會“分析和解決”問題，也要學會“發現和提出”問題［1］．

類比方法本身有其獨特的魅力，因為在推理的過程中，可以借助類比使得思維在兩個或兩類事物中跳躍，這樣就極大地豐富了數學推理過程的想象力． 平面幾何和立體幾何在研究對象和方法、構成圖形的基本元素等方面是相同或相似的，因此兩者類比是研究它們性質的一種非常有效的方法．勤于運用類比推理去探索和研究問題，有利于學生創造性思維能力的培養． 當然，在類比的過程中會涉及化歸與轉化、特殊與一般等重要的數學思想方法，學生的邏輯推理、直觀想象等素養也會自然得到培養．

參考文獻：

［1］ 史寧中． 數學基本思想18講［M］． 北京：北京師范大學出版社，2017．