探究學生“錯誤”，優化教學策略

張麗娟

［摘? 要］ 對于錯誤，部分教師常借助大量相似的練習題來幫助學生完成認知體系的完善和解法的強化，以此提升解題準確率. 但學生考試時錯誤依然會重現，可見借助練習題進行知識的強化并不是最優策略. 文章以“錯解”為出發點，重點剖析了錯因，并提出了一些行之有效的解決策略，以期通過教學方法的優化幫助學生走出思維誤區，以此促進學生思維品質的優化和解題能力的提升.

［關鍵詞］ 錯誤；錯因；解決策略

問題提出

高二上學期學習了“計數原理”，為了檢測學生對該知識點的掌握情況，在期中考試時筆者給出了這樣兩道題：

題1：把5個不同的掛墜分給5人，恰有1人沒有分到掛墜的不同方法有多少種？

題2：A，B，C，D，E站成一排，A不在排頭，B不在中間的不同排法有多少種？

這兩道題以學生熟悉的生活為背景，主要考查學生對排列組合和計算原理相關知識點的掌握情況，難度適中. 該類問題在新知教學時筆者重點講解過，也做過相當多的練習，因此對于學生來說并不陌生.但是從試卷反饋來看，這兩道題的得分率并不高，學生解題時暴露出了多種典型錯誤.

對于題1，典型錯誤有以下幾種：

（1）先從5個掛墜中任選4個，分給5人中的4人，有C×A=600種分法；剩下的一個分給剛拿到掛墜的同學，所以有4種分法，故共有4×600=2400種分法.

（2）先從5個掛墜中任選2個，分給5人中的1人，有C×C=50種分法，再將余下的3個掛墜分給3人，有A=6種分法，故共有50×6=300種分法.

（3）恰有1人沒有拿到掛墜相當于將5個掛墜分給4人，這樣先從5人中任選4人，有C種分法，而每個人又有5種分法，所以有54種分法，因此總共有C×54=3125種分法.

對于題2，典型錯誤有以下幾種：

（1）若A不在排頭，則A有4個位置；B不在中間，A站在4個位置中的1個，則B有3個位置，余下的可以站在其他任何位置，有A種排法，故共有4×3×A=72種排法.

（2）先不考慮特殊位置，共有A種排法，其中A在排頭有A種排法，B在中間有A種排法，于是共有A－2A=72種排法.

（3）若B在排頭，有A種排法；若B不在排頭，有A·C·A=72種排法，于是共有A+72=96種排法.

為了便于錯因梳理，筆者通過交流整理了一些典型錯誤，以期通過思維重現幫助學生找到錯因，這樣既可以豐富學生的數學思維，又能提升學生的解題能力.

錯因分析

從學生的實際反饋來看，解題時之所以錯誤率較高，主要有以下幾個原因：

1. 對計數原理的掌握不到位

在一些概念、公式和定理的教學中，部分教師急于求成，簡單地給出概念后就想借助“題海”強化訓練，這樣學生對概念、定理等基礎知識的掌握往往不夠牢固，因此應用這些基礎知識解決問題時容易“張冠李戴”. 對于計數原理，它是學生解決計數問題最基本、最重要的依據，關鍵是讓學生理解“完成一件事”具體指什么，以何種方式來完成.

首先，解題時先讓學生設計好如何來“完成一件事”，而不是在沒有搞清楚這件事該如何完成的情況下就盲目套用，這樣容易因對問題理解不清而使學生解題時出現模棱兩可、含糊不清的情況. 例如對于題1，研究的對象為掛墜，即將掛墜全部分掉，且滿足其中4人都能分到掛墜，而在實際解題時，部分學生將研究的對象定為人，這樣就會出現幾個人分一個掛墜的情況，顯然與實際不符，即因為研究對象定位錯誤而造成了錯解，如錯解（3）.

其次，在“完成一件事”時要搞清楚是分類完成的，還是分步完成的.如果是分類完成的，就要做到不重復、不遺漏；如果是分步完成的，每步缺一不可，而且每步環環相扣，保證其完整性、統一性. 解題時，學生容易將以上兩種方法搞混淆，從而造成錯誤. 例如題1的錯解（2），將余下的3個掛墜分給3人，到底是哪3人呢？關鍵步驟的缺失，勢必造成錯解.

再次，部分學生不能從整體視角去分析問題，運用分步原理解決問題時，因對步與步之間的關系理解不清而出現重復和遺漏的情況. 例題2的錯解（1），先確定A有4種位置可站，若A站在中間，則B可以站在任意位置，所以B有4種位置可站，可見解題時出現了遺漏，而且第一步執行對第二步造成了影響，因此這樣分步并不滿足分步原理中的每步都要做到相互獨立、互不影響的原則. 又如題1的錯解（1），若將前面兩步聯系在一起進行分析，容易發現兩步中存在相同的方法數，如“將A，B，C，D，E中的A，B，C，D四個掛墜分別分給甲、乙、丙、丁4人，還有一個掛墜E分給甲”與“將B，C，D，E四個掛墜分別分給甲、乙、丙、丁4人，還有一個掛墜A分給甲”是同一種方法，顯然各步相互影響，這樣看似“有序”的結果出現了重復.

可見，若對兩種計數原理掌握得不夠充分，極易產生重復和遺漏，使得看似有序的問題變得雜亂無章. 在教學中，教師應重視學生整體意識和全局意識的培養，讓學生掌握原理的真正內涵.

2. 缺乏必要的認知基礎

數學知識間存在著一定的聯系，新知教授大多是學生原有認知體系上的一種建構和發展. 但排列組合問題較為特殊，它所研究的內容與之前所學知識并無太多關系，加上排列組合問題較為抽象，解法靈活，對學生的邏輯思維能力要求較高，同時學生又缺乏一定的解題經驗，使得學生因缺乏必要的認知基礎而找不到解題的突破口.

另外，排列組合問題大多以生活實際問題為背景，要求學生具有知識和解題經驗的同時還要具有一定的生活經驗. 但部分高中生的生活經驗較為匱乏，使得他們因不能準確理解題意而造成解題時生搬硬套，有時候還會出現定式思維. 例如題1，有部分學生認為，只要確保5人中的4人有掛墜，然后將剩余的1個掛墜分給4人中的任意一人就能順利完成這件事. 可見，由于學生的定式思維使得解題出現了負遷移，最終影響了解題效果.

3. 轉化能力不強

轉化能力是學生順利解題所具備的基本能力和基本素養，由于同一問題往往有多種等價表征的方式，若學生解決問題時能夠有效地將問題向自己熟悉的內容轉化，則可以化解問題的難度，同時通過類比相關或相似的問題找到合理的解決方案. 但實際解題時，部分學生的轉化意識不強，很難等價轉化問題，不能有效地將已有的解題經驗轉化成解題能力，無法完成知識網絡的建構以及解題方法的正遷移，最終影響解題準確率，這應引起教師重視. 排列組合問題較為靈活，往往可以將同一命題等價轉化成多種形式，使得解法多樣化. 例如題1，“把5個不同的掛墜分給5人，恰有1人沒有分到”等價于“把5個不同的掛墜分給4人，其中1人有2個，其他每人1個”，還等價于“把5個不同的掛墜分給4人，每人至少有1個”. 做這樣的等價轉化后，學生自然知曉應先分掛墜，有C種分法，再分人，有A種分法，從而借助等價轉化有效規避因研究對象不清而造成錯解.

教學策略的優化

分析以上錯解不難發現，之所以學生解題會出現錯誤，與教師的“教”息息相關. 該部分內容具有一定的獨立性，其在高考中的占分比不高，因此并未引起師生的重視. 若想有效提升學生求解該部分試題的準確率，教師應重視兩個計數原理的教學，注重學生思維過程的展示和剖析，進而通過思維的碰撞和交流，幫助學生夯實基礎，同時通過思想方法的提煉，幫助學生掌握數學研究方法，讓學生能夠用發展的、全局的眼光去思考問題、分析問題，有效實施解題策略.

1. 抓好兩個計數原理的教學

縱觀排列組合整章內容，兩個計數原理不單肩負著理論上的奠基作用，還體現著解題的重要思想方法，其是本章教學內容的核心和靈魂，貫穿整個章節的始終，因此理應引起師生重視. 但在實際教學中，有關兩個計數原理的教學不多，課時安排較少，部分教師并未帶領學生深入剖析計數原理，而是將太多精力放在解題方法和解題技巧的歸納總結上，這使得學生對計數原理的理解不夠深入，當學生面對一些新的、復雜的問題時往往束手無策. 其實在教學中，若想讓學生真的學懂學會，應淡化“題型技巧”的運用，注重兩個計數原理的教學，幫助學生厘清“分步”和“分類”的區別，深刻揭示兩個計數原理的本質，引導學生從問題的本質上去思考和解決問題，這樣一定可以達到事半功倍的教學效果.

2. 注重學生思維過程的展示

排列組合與其他章節的內容略有不同，其更具生活味、靈活性，題目稍加變化就能成為一道全新的問題，因此解題時基本沒有題型可以模仿；加上學生思維方式的差異，因此“完成一件事”的過程存在多樣性，解法多樣，就連錯解也是五花八門. 為了更好地理解學生，幫助學生分析具體存在的問題，教學中教師要給學生營造一個平等和諧的空間來展示思維過程，通過學生思維過程的剖析，幫助學生進一步理解知識，順利完成知識的內化. 不過，在實際教學中，部分教師感覺高中課堂時間寶貴，學生的解題方法多種多樣，若讓學生一一展示則會消耗較多的時間，這樣難以保證教學計劃的有效實施，因此他們更愿意將一些典型試題和方法灌輸給學生，讓學生模仿，以此促使學生掌握相關的解題技能. 但從實際反饋可以看到，靠“灌輸”和“題海”并不能讓學生很好地掌握解題方法，解題時他們依然漏洞百出. 同時，由于學生的思維過程沒有呈現出來，因此教師未能很好地理解學生，學生對教師的解法也似懂非懂，久而久之就出現了“懂而錯”的現象. 為了改變這一現象，教師要為學生提供一定的空間和時間使其充分表達，通過互動交流讓學生更好地理解“如何分類”“如何分步”“分步是否完整”“分類是否缺漏”……通過多角度剖析原理，培養學生思維的深刻性和嚴謹性. 錯解往往蘊含著豐富的信息，若能讓學生充分展示出來，有助于學生找到真正的錯因，有助于學生跳出思維誤區，提升學生解決問題的能力.

在教學中，教師要多為學生提供一些互動交流的機會，讓學生從不同的角度去思考問題，將有助于學生豐富解題經驗，深化對問題的理解，同時通過交流可以有效拉近師生的距離，使課堂更具凝聚力.

3. 加強學生思維策略的指導

由于排列組合知識較為獨立，與其他高中數學知識沒有太多聯系，解法也別具一格，很難將已有知識和經驗遷移至本章問題的探究中，因此學生的解題經驗比較匱乏，這要求教師加強思維策略的指導，以此促進學生分析問題和解決問題能力的提升. 不過，在實際教學中，部分教師過多強調解題技巧，過多關注特殊的解法，忽視對一些通性通法的探究，造成學生缺失普適性思維而使解題方法出現了局限性.

對于計數問題，應關注以下思維策略的指導.

（1）整體思考的策略

對于排列組合問題，教師首先要引導學生站在整體的高度去思考，真正弄清楚要完成什么事情，如何完成，怎樣才算真正完成. 只有真正搞清楚問題的來龍去脈，學生才能設計出完整的、合理的解決問題的程序與步驟，進而順利解決問題.

（2）正反結合的策略

同一問題往往具有不同的兩面，計數問題在這方面更為突出. 有時候，若從正面“選純法”無法找到解決問題的突破口，不妨換個角度，利用“去雜法”來求解，通過正反轉化來提升學生的解題效率，優化學生的思維品質.

（3）化抽象為具體的策略

計數問題普遍較為抽象，學生理解起來較為困難，解題時思路容易混亂，從而出現遺漏和重復. 在教學中，教師可以引導學生通過表格、樹狀圖等方式將思維過程更加直觀地展示出來，使問題向直觀化、具體化轉變，有利于問題的解決.

總之，教師不要過多地關注解題技巧，應帶領學生深入領悟問題的本質，掌握解決問題的通法，這樣學生才能在普適性思維策略的指導下找到合理的解決問題的方法，以此提升思維品質.