挖掘教材，建構體系，理解高中數學核心概念

［摘? 要］ 數學專題復習是提升學生數學關鍵能力，提升學生高考成績的重要途徑. 高三專題復習的關鍵是建構知識體系，提升知識運用能力. 教師可以充分挖掘教材，利用教材中的試題進行改編，串點成線，構建主題，提升復習效率.

［關鍵詞］ 主題復習；核心概念；知識體系

作者簡介：周穎嫻（1984—），碩士研究生，中學高級教師，常熟市學科帶頭人，曾獲蘇州市評優課一等獎，從事高中數學教學研究工作.

高三數學專題復習是提升學生知識運用能力的重要手段，但是如何選擇合適的例題卻常常讓教師非常苦惱. 由于一線教師精力有限，工作眾多，不可能原創每一道試題，有時會從其他資料中選取試題，但存在選取的試題與主題不夠相符的情況；或者教師有時間命制試題，但存在命制的試題缺乏科學性、脫離學生實際的情況. 不管是上述哪種情況，最終都會導致復習效果不理想. 事實上，作為教學內容主要素材來源的教材就有很多典型試題，這些試題是經過許多專家精心打磨所編制的，質量高，符合學生的認知特點. 因此教師在高三開展數學專題復習時要充分利用這些試題，并對其進行改編，以主題為線索將它們串點成線，打造學生的知識體系. 筆者以高三基本不等式的應用專題復習為例，談一談在教學中的實踐和體會，與各位同行交流，敬請批評指正.

教學反思

1. 創設科學有效的問題情境，提高教學效率

問題情境承載著教學內容，只有創設科學有效的問題情境才能為教學助力. 在高三專題復習課中，教師要以教材內容為創設情境的素材，使學生能夠在實際情境中應用數學知識，提升應用數學知識解決實際問題的能力. 教師創設情境時要立足學生的生活，調動學生的學習積極性，倘若情境創設脫離了實際生活或者問題不夠簡潔、信息過于繁復，效果反而不夠理想，甚至會讓學生與數學知識產生距離，喪失學習數學的動力. 因此科學有效的情境創設對吸引學生的注意力，培養學生的探究意識具有重要作用.

如在蘇教版教材中關于基本不等式的應用有如下四道例題：

例1：一根長為4a的鐵絲用來圍成一個矩形，請問要使圍成的矩形面積最大，應該怎樣設計？

例2：某處要建造一個儲水池，這個儲水池為長方體，容積為4800立方米，深為3米，無蓋，如果儲水池的池底每平方米造價為150元，池壁的造價為每平方米120元，請問要使總造價最低，應該如何設計？最低總造價為多少？

例3：直線l過點（1，2）與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，當△AOB的面積最小時，請問直線l的方程是什么？

例4：某雜志的版面面積為A，根據要求，左右兩邊和上下兩邊的頁邊距分別為a和b，請問要使所用的紙張最少，應該如何設計印刷品的尺寸？

由于情境是推動學生學習的主要心理因素，因此教學中教師以市政建設中的項目規劃為主線，讓學生參與設計，激發學生應用基本不等式解決實際問題的興趣，從而取得較好的教學效果.

2. 突出專題核心概念的復習，理解數學本質

專題復習不能停留在試題教學上，還要關注核心概念的復習. 概念新授階段的教學任務是促使學生形成完整的概念知識體系，概念復習階段的教學任務是促使學生遷移并運用數學概念解決相關問題. 當下，部分概念復習課充斥著大量的習題訓練，弱化了對數學概念本質的溫故，因此部分學生對于概念的掌握是不牢固的，當然更加談不上遷移和運用，最終影響到高三學生數學成績的提升.

基本不等式是高中數學的重要概念之一，也是高考中的高頻考點. 師生復習基本不等式時，容易將精力集中于變式訓練，而忽略其“一正二定三相等”的本質認識. 究其原因，在于復習過程中教師對基本不等式概念的重視不夠，沒有引導學生認清基本不等式的結構特征. 為了改變這種情況，教師在教學中通過數學賞析環節，讓學生感悟基本不等式的簡潔、奇異之美. 同時將基本不等式概念通過不同的語言，如符號、幾何、文字等進行串聯，體現了概念的教育價值.

許多學生對于問題1的認識仍然停留在二次函數的層面上，不能自覺運用基本不等式解決問題，習慣只設一個元. 特別是部分學生對基本不等式的結構特征缺乏清晰的認識和理解，這在問題3的解答中就充分暴露了出來. 課后學生的反饋中也說明了，當他們看到二元變量問題時只想到了消元法，只有當兩個變量的系數都為1時，他們才會想到基本不等式解決問題.

求最值問題時，學生也會常常忽略基本不等式中等號能否成立的條件，究其原因是復習數學概念時沒有揭示其本質，當兩個正數a與b的和是定值m時，a與b的積一定小于或等于嗎？這里應該充分引導學生進行思考，讓學生在親身體驗中獲得感悟，這樣才能產生最深刻的認識.

3. 以學生發展為目標，尊重學生思維

教育以學生為本，以促進學生長期發展，提升學生思維品質為目標. 在教學過程中，有些教師為了在有限的時間里講授完大容量知識，多采用“灌輸式”教學法. 筆者曾經聽過一位教師復習直線與平面位置關系的課，其容量不僅比其他教師大，而且還拓展了不少內容，除了講授直線與平面的位置關系（平行與垂直）外，還穿插了多種證明方法，并重點講解了空間向量法說明直線與平面位置關系的便利性，同時輔以大量的練習. 從教師素養來說，其教學基本功非常扎實，但是從教學效果來看，學生是否真的理解了直線與平面平行、垂直的本質呢？僅僅從實驗觀察到的結果一定是準確的嗎？是不是需要進一步說明？應該如何說明？定理判定的過程為什么要使用空間向量的知識來說明？是如何聯想到采用空間向量法進行證明的？這節課設計的過程是否尊重了學生的主體地位？對于學生理解數學本質，促進學生掌握數學思想方法有價值嗎？換言之，課堂學習活動真正發生了嗎？

數學專題復習課的目標不是將數學概念重新解讀，主要任務是幫助學生在理解數學概念的基礎上建構知識體系，理解數學概念的本質. 在學習過程中，學生如果不能理解上位概念，數學語言的轉化能力不足，難以用自己的語言進行提煉和總結，沒有厘清相關概念間的內在聯系，就會導致其無法形成概念的結構體系. 因此，在復習數學概念時，教師要重點強調概念中的數量關系和空間形式的本質特征，以使學生掌握數學概念，實現真正意義上的熟練運用.