問題視角下數(shù)學(xué)例題的變式設(shè)計及思考

吳靜

［摘? 要］ 要想發(fā)揮例題教學(xué)的功能，除了精選典型例題，還要進行例題變式的設(shè)計. 可從問題的視角看例題，把例題看作源問題，通過水平變式和垂直變式這兩類問題的變式結(jié)構(gòu)分析并設(shè)計變式題，讓學(xué)生在不斷變式的過程中看清問題的本質(zhì)，達到對問題結(jié)構(gòu)的透徹理解，同時給出對水平變式和垂直變式的教學(xué)思考.

［關(guān)鍵詞］ 例題；問題；變式；教學(xué)思考

例題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分. 在學(xué)生習(xí)得例題的基本方法后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘例題的潛在因素，挖掘例題的教育功能. 在例題教學(xué)中，教師應(yīng)通過變式將例題的條件、結(jié)論、情境、問題結(jié)構(gòu)等進行延展變通，使學(xué)生進一步理解和掌握例題所闡述的概念、原理、規(guī)律，積累解決問題的經(jīng)驗. 教師應(yīng)讓學(xué)生洞察問題的深層結(jié)構(gòu)，真正把例題研究透徹，進而通過遷移解決其他的問題，只有這樣，才能幫助學(xué)生走出“題海”，實現(xiàn)由知識立意向能力立意的轉(zhuǎn)換，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

變式教學(xué)是一種傳統(tǒng)且經(jīng)典的中國教學(xué)方式，中國數(shù)學(xué)教師關(guān)于變式教學(xué)的研究主要是立足教材談變式，從教材的例題出發(fā)編制變式題［1］. 顧泠沅教授認為，變式教學(xué)是促進有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國方式. 所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉(zhuǎn)化.即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征；變換問題中的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式；配置實際應(yīng)用的各種環(huán)境，但保留對象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性.

在例題教學(xué)中，由于教學(xué)內(nèi)容多、教學(xué)任務(wù)緊，部分教師只是簡單講講例題或者與學(xué)生一起做題. 這樣的教學(xué)，使得學(xué)生傾向于記憶某種方法和發(fā)展某項具體技能，不利于學(xué)生形成高層次的數(shù)學(xué)思維，而學(xué)生的學(xué)習(xí)也只是停留在淺層次，不能實現(xiàn)深度學(xué)習(xí). 為實現(xiàn)由知識立意向能力立意的轉(zhuǎn)換，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，有必要對當(dāng)前的例題教學(xué)加以研究. 下面筆者從問題的視角把例題作為源問題進行變式設(shè)計并加以研究.

從問題的視角看例題

在例題教學(xué)中，“例題”既可以選擇教材中的例題或習(xí)題，又可以選擇其他資料或出版物中的題目. 但到底應(yīng)該怎樣選擇合適的題目作為例題呢？潘小梅老師認為應(yīng)該選擇內(nèi)容常出現(xiàn)、方法能遷移、思路可借鑒、具有生長性的題目. 從問題的視角看，每個例題都應(yīng)該是一個好問題，每個問題都具有“表面內(nèi)容”和“內(nèi)在結(jié)構(gòu)”兩重屬性. “表面內(nèi)容”指問題呈現(xiàn)涉及的事件、背景、對象等的淺層特征；“內(nèi)在結(jié)構(gòu)”指涉及問題本質(zhì)的概念、關(guān)系與原理等的深層特征. 如果把例題看作源問題，那么變式題就是由源問題變換而得的新問題. 源問題與新問題之間存在四種關(guān)系：①表面內(nèi)容相同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同；②表面內(nèi)容不同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同；③表面內(nèi)容相同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同；④表面內(nèi)容不同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同［2］. 像①②改變源問題的表面內(nèi)容，不改變問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變式稱為水平變式，像③④改變了源問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變式稱為垂直變式. 在例題教學(xué)中，教師常常通過水平變式幫助學(xué)生認識問題的本質(zhì)屬性；通過垂直變式發(fā)展原來的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，建立新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，促進學(xué)生對問題結(jié)構(gòu)的理解，深入探究問題生長的思維過程.

例題的變式設(shè)計分析

在蘇教版教材七年級下冊“10.3? 解二元一次方程組”的例題教學(xué)中，教師從問題的視角，將如下例題看作源問題，并通過水平變式和垂直變式設(shè)計變式題.

例題 籃球比賽規(guī)則規(guī)定：贏一場得2分，輸一場得1分.在中學(xué)生籃球聯(lián)賽中，某球隊賽了12場，共得20分.該球隊贏了幾場？輸了幾場？

解 設(shè)該球隊贏了x場，輸了y場.

分析 本例題是根據(jù)中學(xué)生籃球比賽這一生活實際，以應(yīng)用題的形式展現(xiàn)出來的，通過設(shè)兩個未知數(shù)，求解二元一次方程組可以得出結(jié)論.例題作為源問題，它的表面內(nèi)容是籃球比賽，輸贏的得分，比賽幾場，總得分，這些內(nèi)容中的數(shù)字可以改變，對問題的本質(zhì)影響不大. 內(nèi)在結(jié)構(gòu)的特征是贏一場的得分，輸一場的得分，比賽場次與輸贏幾場之間的關(guān)系，總得分與輸贏比賽的關(guān)系等.

變式1 某校積極推進“陽光體育”工程，本學(xué)期在九年級11個班級中開展籃球單循環(huán)比賽（每個班級與其他班級分別進行一場比賽，每個班級需進行10場比賽）． 比賽規(guī)則規(guī)定：每場比賽都要分出勝負，勝一場得3分，負一場得1分． 如果某班級在所有的比賽中只得24分，那么該班級勝負場數(shù)分別是多少？

分析 變式1與源問題相比，只改變了比賽場次和得分，屬于水平變式①，即表面內(nèi)容相同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同.從遷移的角度來看，屬于源問題的近遷移題.

變式2 若x+y－12+（2x+y－20）2=0，求x，y的值.

變式3 若單項式2ax+yb20與－2a12b2x+y是同類項，求x，y的值.

分析 變式2、變式3與源問題相比，改變了問題的表面內(nèi)容特征，但內(nèi)在結(jié)構(gòu)幾個變量之間的關(guān)系仍未改變，屬于水平變式②，即表面內(nèi)容不同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同. 從遷移的角度來看，屬于源問題的中遷移題.

（1）甲隊聯(lián)賽積分為______；

（2）甲隊共打贏______場比賽.

變式5 寶應(yīng)縣是江蘇省青少年足球訓(xùn)練基地，每年都舉行全縣中小學(xué)生足球聯(lián)賽．比賽規(guī)則規(guī)定：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分． 2022年的足球聯(lián)賽中某校足球隊參加了16場比賽，共得30分． 已知該足球隊只輸了2場，那么這個足球隊勝了幾場，平了幾場？

分析 變式4、變式5與源問題相比，沒改變問題的表面內(nèi)容特征. 變式4給出了贏一場和輸一場的得分，給出了幾個變量之間的關(guān)系，去求比賽的場次和得分；變式5除了勝場次和負場次，還多了平場次，給出了幾個變量之間的關(guān)系，去求比賽勝和平的場次. 變式4、變式5的內(nèi)在結(jié)構(gòu)已經(jīng)發(fā)生了變化，屬于垂直變式③，即表面內(nèi)容相同，內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同.從遷移的角度來看，屬于源問題的中遷移題.

變式6 某家居專營店用2730元購進A，B兩種新型玻璃保溫杯共60個，這兩種玻璃保溫杯的進價、標(biāo)價如表1所示.

這兩種玻璃保溫杯各購進多少個？

變式7? 若關(guān)于x的一元一次方程（a+b-12）x=2a+b-20有無數(shù)多個解，試求a，b的值.

例題的變式設(shè)計思考

1. 對水平變式的教學(xué)思考

水平變式只改變問題的表面內(nèi)容，不改變問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu).而問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征才是問題的核心. 水平變式雖然只是內(nèi)在結(jié)構(gòu)的不斷重復(fù)，但形式各異的水平變式仍有重要的教學(xué)價值. 在學(xué)生眼里，通過水平變式對源問題的重復(fù)，是源問題的再認識，是不斷鞏固和掌握源問題的過程. 在教學(xué)中通過水平變式問題的解決，可以幫助學(xué)生認識問題的本質(zhì)屬性，突出問題的主要因素，發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu). 因此，水平變式的意義在于讓學(xué)生強化對問題的理解，形成問題解決的策略，發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，看清問題的本質(zhì)，并為過渡到垂直變式做好鋪墊.

水平變式雖然只是解題技能的簡單重復(fù)，但Marton變式學(xué)習(xí)理論認為：經(jīng)驗不斷重復(fù)才能形成認知，第一次關(guān)注理論描述效度；當(dāng)?shù)诙谓?jīng)歷時，第一次所經(jīng)歷的方面會被放大；第二次的經(jīng)歷“豐富”并“加深”第一次經(jīng)歷的各個方面［3］. 通過水平變式可以幫助學(xué)生形成基本活動經(jīng)驗. 在反復(fù)的水平變式活動中，學(xué)生以往的經(jīng)驗會發(fā)生變化，不斷積累新的活動經(jīng)驗，再經(jīng)過學(xué)生自我摸索和反思領(lǐng)悟，思維也會隨之而發(fā)展.

2. 對垂直變式的教學(xué)思考

當(dāng)然，只有水平變式，而沒有垂直變式也不行，那樣數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只會停留在淺表層面. 只有垂直變式才能生成抽象化和深層次的數(shù)學(xué)理解.垂直變式改變了問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，增加了新的認知元素，加大了問題區(qū)分的認知負荷. 垂直變式是問題結(jié)構(gòu)的深層次加工，它不拘泥于問題的表面內(nèi)容，提取了內(nèi)在結(jié)構(gòu)，形成變式題的“結(jié)構(gòu)骨架”. 垂直變式的核心是數(shù)學(xué)深層結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)，它不斷增加認知負荷，逐漸驅(qū)動高階思維發(fā)展，由表層類比向結(jié)構(gòu)類比轉(zhuǎn)化，增加對問題本質(zhì)的深層理解，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由例題（起點）向垂直變式題（終點）過渡，由淺層學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí)，逐步發(fā)揮例題的深層教學(xué)價值.

3. 從遷移的角度來看變式題

從遷移的角度來看變式題，可以分為源問題的近遷移題、中遷移題和遠遷移題. 遷移量隨著近、中、遠遷移題而逐漸增加. 同時，變式題要根據(jù)學(xué)生的實際情況來設(shè)計，盡量讓變式的難度控制在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)之內(nèi). 若學(xué)生對于源問題的理解不夠，則需要設(shè)計近遷移題；若學(xué)生已經(jīng)掌握了源問題，則需要設(shè)計中、遠遷移題. 另外，變式的“度”和“量”至關(guān)重要，如果變的“度”太小，變的“量”太多，學(xué)生就會陷入“題海”深淵. 而變的“度”太大，跳過學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，使學(xué)生不能理解，就會讓學(xué)生產(chǎn)生挫敗感，同樣達不到促進高階思維發(fā)展的目的. 總之，在進行問題變式設(shè)計時，教師應(yīng)結(jié)合實際學(xué)情設(shè)計適度、適量的近、中、遠遷移題，促進學(xué)生掌握源問題、理解問題的深層結(jié)構(gòu)，從而達到對問題的理解和知識的遷移的目的，真正實現(xiàn)從知識立意向能力立意轉(zhuǎn)變.

參考文獻：

［1］ 章建躍，王嶸. 中國數(shù)學(xué)教科書使用變式素材的途徑和方法［J］. 數(shù)學(xué)通報，2015，54（10）：1-8，48.

［2］ 喻平. 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)與評價研究［M］. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.

［3］ 孫旭花，黃毅英，林智中，等. 問題變式：結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一［J］. 課程·教材·教法，2006（05）：38-42.