開展數字化探究活動深化數學概念理解

張景中

摘要： 高中數學是初等數學向高等數學的過渡。高中數學中不少知識內容涉及一些尚未嚴密界定的概念，或者尚未得到嚴謹推證的規律。在數字化教學探究活動中，教師如能選擇適當的主題，設計針對問題關鍵的動態圖象，將抽象的概念與具體生動的畫面密切掛鉤，講解學生熟知的事實背后的道理，能啟發引導學生興致勃勃地理解他們原來以為頗為神秘的符號、術語，為他們進入高等數學的新天地做些準備。從初中反比例函數到高中圓錐曲線與冪函數，教師可借助具有動態數學功能的軟件，設置真實問題情境，以形助數，讓學生直觀探究曲線下的面積大小關系，進而水到渠成地推理論證自然對數表征的是反比例函數曲線下的面積，簡明直觀理解常數e的極限意義。這樣教學才能抓住數學本質，將技術工具運用到位，促進學生思維能力不斷進階。

關鍵詞：數字化探究；數形結合；概念理解；反比例函數曲線；自然對數

高中生對反比例函數及其圖象并不陌生，在初中就學過。教師從這熟悉的圖象中提出一個新問題，即“直觀而具體的兩塊面積是否相等”，這自然會引起學生興趣。教師利用面積計算的結果，導出“化乘為加”的對數性質，解開了學生對“自然對數”的迷惑；進一步引出數學中最重要的常數之一，即自然對數的底e，并且用簡單的面積比較就得到了? ? ? ? ? ? 和e之差的估計。教師設計層層遞進的探究活動，步步深入，可引導學生思考、回味。數字化探究活動的明顯特點是生動直觀。教師將生動表象與相關的深入邏輯思考聯系起來，會獲得引人入勝的教學效果。

一、利用可調整的動態網格，為學生提供探究工具和支架

平凡現象背后，常常隱藏著重要的奧秘。這是數學的迷人之處。學生在初中階段已經學了反比例函數，熟悉了它的圖象，高中階段又進一步了解到它是負指數冪的冪函數，它的圖象是圓錐曲線的一種。如果進一步探究，還能挖掘出更有趣的情節。

圖1是學生熟悉的反比例函數的曲線，陰影部分表示區間[1，4]上曲線和x軸之間的面積。如果要將[1，4]分成兩部分，使得對應的兩塊面積相等，應該從哪里分呢？

教師指導學生使用具有動態數學功能的軟件作圖，在圖上做分割和動態測量。學生很快發現區間[1，2]和[2，4]上的兩塊面積幾乎相等。

但是，測量的數據總是近似的，準確的結論需要推理論證。

推理的基本思路常常來自直觀的啟示。如圖2所示，用邊長為1的正方形網格覆蓋區間[1，2]上的那塊面積，將這個正方形網格高度壓縮一半，寬度擴大一倍，成為一個矩形網格，覆蓋區間[2，4]上的那塊面積。

學生借助軟件進行這種“水平放大，垂直壓縮”的變換，保持每個小網格的面積不變，曲線上的點關于網格的相對位置不變，曲線下的面積應當不變！

是不是這兩塊面積一定要連在一起呢？不是的！

如圖3所示，左邊的長方形高為1，寬為a-1，右邊的長方形高為，寬為k （a-1），兩個長方形面積相等。曲線下面在區間[1，a]上的面積和在區間[k，ka]上的面積應當一樣大。這里a＞1，而k是任意正數。

這樣的直觀觀察不能代替嚴密的推理，但可以啟發學生進行嚴密的分析論證。

二、直觀呈現抽象問題，為學生邏輯推理指引方向

為了討論起來方便，將區間[1，x]上面反比例函數曲線下的面積記作L（x），則圖3中青色陰影部分的面積為L（a），紅色陰影部分的面積為L（ka）-L（k），我們需要證明等式L（a）=L（ka）-L（k），即L（ka）=L（k）+L（a）。

如圖4所示，教師讓學生將兩塊面積都分成寬度相等的10條，分別估計。

每條都可以分成兩部分，主要部分是矩形長條，附加部分是矩形上面的斜邊為一條曲線的直角三角形，簡稱曲邊三角形。

能夠看出來嗎？左邊的10條瘦高矩形和右邊的10條胖矮矩形面積順次對應相等。

下面，選取圖4中兩個區塊的各自第3條進行分析：

三、以形助數，助力學生理解數學概念本質

用對數簡化計算，離不開對數函數的反函數。自然對數ln（x）的反函數記作exp（x），對任意實數x有ln（exp（x））=x，并且對任意正數則有exp（ln（x））=x。用上面推出的基本等式ln（ab）=ln（a）+ln（b）可以推出這兩個函數的一系列性質。如：

那么，e有什么直觀的意義呢？從等式ln（e）=ln（exp（1））=1可知，在區間[1，e]上反比例函數曲線下的面積恰等于1（如圖5）。學生在中學階段接觸這個常數e，其實上面就是高等數學對e的最簡單明了的說明。眾多談論常數e的文獻，往往漏掉了這條最基本的簡明的性質。從這條基本性質出發，學生容易推出常數e是? ? ? ? ? ?當n趨于無窮時的極限。下面展示一下推導的邏輯途徑。

在很多數學教材中，都是先講指數，再講對數。講自然對數，就先講 的極限。對此，著名數學家和數學教育家克萊因在他的著作《高觀點下的初等數學》（舒湘芹等譯，復旦大學出版社1989年出版）第一卷中，提出了不同的看法。例如，該書165頁有如下論述：

“你們都知道，自然對數系統的底是數

e的這個定義，通常都放在大部頭的分析教科書的最開始處……而絲毫不講它的來由，這樣就丟掉了真正有價值的、能促進（學生）理解的部分，即不解釋為什么恰好用這樣特別的極限做底，為什么由此導出的對數稱為自然對數。”

克萊因在該書169頁，畫出了反比例函數曲線并說明：“如果用介于ξ =1與ξ =x之間的雙曲線下的面積……立即就得出自然對數……歷史的道路實際上就是如此。”“如果希望用自然對數的這個定義作為出發點，當然必須說明它具有將對數的乘法變為對數的加法這個基本性質……”

筆者前面借助信息技術進行淺顯有趣的操作正是為了表達上述觀點。

克萊因在該書175頁指出：“通過求雙曲線下面積而引出對數，其方法與其他任何數學方法一樣嚴格，但其簡單和清晰的程度則超過了其他方法。”“這個現代的發展在中學數學教學中幾乎沒有一點反映就被繞過去了，我經常提到這是一個罪過。”在176和177頁他做了如下總結：“我愿意把我在中學里如何簡單而自然地介紹對數的方案再概述一遍。第一個原則是求已知函數的積分而導出新的函數，這是適當的出發點。我已經說過，這不僅符合歷史情況，也與高等數學中……的處理相一致。遵循這個原則，可以從雙曲線? ? ? ? 出發，將x的對數定義為在此曲線下介于坐標ξ =1和ξ =x之間的面積。”

“我非常希望有人把這個方案拿到中學里去試一試。當然，如何具體實施，還得請有經驗的中學教師來決定。”

克萊因的這些看法值得教師關注、思考和嘗試。

筆者希望教師對這些問題發表意見，也希望教師在教學中合理設置問題，引導學生在信息技術的加持下，動手操作，經歷從直觀感受到理性推理論證的思考過程，提升學生的思維能力。期待廣大師生檢驗克萊因的觀點，得出自己的結論。信息技術賦能數學教學，可以使復雜的問題簡單化、枯燥的問題趣味化。教師要善用技術，引導學生從感性的直觀探究深入理性的推理論證，逐步深化對概念的理解，取得事半功倍的效果。

責任編輯：祝元志