淺談核心素養視角下數學運算教學中高階思維的培養

葉娟琴

一、 引言

立足國內數學教育場景分析，數學運算被定義為數學教學傳授的一項基本技能，各學段都強調運算“又快又好”的學習效果。誠然，數學運算是解決數學書面問題以及利用數學知識解決現實問題的重要途徑，但僅僅將其視為一種“技能”是狹隘的認識，因為數學意義上的“運算”不能完全等同于“計算”。對比而言，數學計算只需要結合已知數量大小、關系，按照數學法則得出答案即可，是一種層次較低的思維活動方式，而數學運算則蘊含著復雜的高階思維，它更重視數學探究過程，需要學生根據已知條件做出推導、歸納、分析、批判、反思等思維活動。在數學運算教學中培養學生的高階思維，是數學核心素養的明確要求，即《普通高中數學課程標準》中所強調的“通過運算促進數學思維的發展，形成規范化思考問題的品質”。同時，基于數學運算教學展開小學生高階思維的培養具有針對性，根據《義務教育數學課程標準》對課程內容的劃分，數學運算教學主要發生在“數與代數”的知識范疇內，包括數的認識、數的表示、數的估算、方程、不等式等，以培養小學生高階思維發展為目標的數學教學實踐，當然要提高對“數與代數”教材內容的重視程度和利用效度。

二、 核心素養視角下數學運算教學中高階思維概述

(一)概念內涵

數學核心素養是指數學學科育人價值的總和，在學生不同數學能力維度下，可以劃分為數學抽象素養、數學建模素養、數學運算素養、邏輯推理素養、直觀想象素養及數據分析素養六種。其中，數學運算素養即“明確運算對象、按照運算法則解決數學問題的素養”。高階思維是指建立在較高認知層次上的復雜心智活動，與“低階思維”(如線性思維、因果思維等)相對應，具體到數學活動領域，主要表現批判、質疑、歸納、發散等復雜思維形態。

從這一點出發，有助于區分“數學運算與數學計算”的差異，數學運算實質是一種邏輯推導，在實踐過程中涉及“從一般到特殊、由特殊到一般”的思維轉變，大部分情況下要考慮定理與逆定理是否相互成立，而數學計算只追求正確的結果，通常會直接給出計算對象、計算法則、計算思路等，不需要過于復雜的思考。因此，在核心素養的視角下，數學運算是形成高階思維的有效手段之一，而數學計算是數學運算的一個組成部分。

(二)關系分析

簡單地說，在數學運算教學中培養小學生的高階思維能力，本質上就是借助數學運算技能這一途徑，推動學生從低階思維狀態向高階思維發展的過程，這也是核心素養與高階思維關系的基礎。數學核心素養并不唯一，在分析它與高階思維的關系時，應該將六種核心素養視為一個整體，一方面，六種核心素養都具有數學的共性思維品質特征(如抽象性)；另一方面，每一種核心素養對標一種數學關鍵能力，而每一種關鍵能力發展到最高水平，就意味著學生接觸到了高階思維層次。從這個角度說，數學核心素養整體上如同“柴”，數學運算是其中的“一根”，而高階思維則是代表“水的沸點”，如果數學運算教學過程中只停留在低階思維狀態，那么“這根柴”就處于不完全燃燒的狀態，就容易影響“燒水的火力”。

(三)價值解讀

第一，提高小學生利用數學知識解決問題的靈活性。無論是書面問題還是現實問題，在具備高級思維能力的狀態下，可以讓小學生的解決方式不落窠臼、高度靈活，表現出較強的創新性。由此，在相同體量的數學知識傳授前提下，能夠提高數學知識點的復用性，實現數學運算能力的增值效應。

第二，引導小學生綜合、辯證地展開數學實踐活動。正如《義務教育數學課程標準》所述，數學在各行各業、生產生活中具有廣泛的應用價值，數學教育的目的絕不是培養僅會計算數量、判斷大小的人才。學生達成高階思維之后，一方面可以綜合地考量問題本質、全面整合影響要素、深入解析原因所在，確保問題解決得更加妥善。另一方面，能夠辯證地看待解決問題的方法、方式，從中擷取最優化的選擇，從而保障數學實踐活動的實效性。

第三，高階思維能夠引導小學生進入數學深度學習。淺層學習的狀態下，學生只能掌握“怎么做”，如遇到四則混合運算的題目，明白“先計算乘除、后計算加減”，而進入深度學習狀態，學生能夠理解“為什么這樣做”。從淺層學習到深入學習是一個質變的過程，高階思維則是催化“量變到質變”的關鍵，它能夠引導小學生主動反思結果、利用多種手段檢驗、積極總結運算規律等。

三、 小學數學運算教學過程中培養高階思維的策略

結合小學階段數學運算教學內容，高階思維的具體培養策略如下。

(一)歸納概括：在引導探索中培養學生的高階思維

歸納概括之所以被納入高階思維范疇，是因為歸納過程中需要面對多個特殊性概念，要求學生能夠獨立地探索、逐一驗證運算結論的可靠性，最后將所有結果合并，概括為一般性規律。在小學數學教學活動中，如果學生能夠做到這一點，就意味著達到了高階思維的水平。例如，人教版小學數學“長方形的面積”教學過程中，分別為學生設計如下題目。

題1：一個長方形的周長是80米，如果該長方形的長是寬的4倍，求該長方形的面積。

題2：一個長方形的周長是80米，如果該長方形的長、寬都是5的倍數，求長、寬分別是多少時，該長方形的面積最大？

通過對比題1和題2，雖然都是圍繞“長方形的面積”設計的運算題目，但要解答題2，明顯需要學生具備高階思維能力。這是因為，雖然題1中同樣沒有直接給出長、寬是多少，但建立起了長和寬的數量關系，基于正方形的周長公式，學生可以輕松地得到“長+寬=40”的結論，在此基礎上進一步求“5倍的寬是40米”，就不難推算出長和寬各是多少，再利用長方形面積公式求得最終答案，整個運算過程中思維波動較小、復雜度較低。而面對題2，不僅沒有給出長和寬的直接關系，并且所求的不是一個確切答案，而是“可能性最大的答案”，這就需要學生先把所有特殊可能性都篩選出來。

解題2：已知長方形的周長為80米，則長和寬的和為40米(篩選條件：1. 長、寬都是5的倍數；2. 長大于寬；3. 正方形是特殊的長方形)。

(1)當寬為5米時，長為35米，條件成立，長方形面積為175平方米。

(2)當寬為10米時，長為30米，條件成立，長方形面積為300平方米。

(3)當寬為15米時，長為25米，條件成立，長方形面積為375平方米。

(4)當寬為20米時，長為20米，條件成立，長方形(正方形)面積為400平方米。

由此，學生可以歸納出所有符合要求的答案，通過對比得出長和寬均為20米時，可以實現長方形的面積最大。這一運算結果的得出，并不代表思維活動的終結，教師還可以進一步引導學生概括規律，得出“長方形周長固定時，長和寬相等的時候，面積最大”，或者“相同周長的情況下，正方形的面積要大于長方形”的結論。

結合以上分析過程，不難看出在培養學生歸納概括高階思維的過程中，教師應注重對學生的引導、促使其主動探索，而不能強制要求學生按照教師思路“亦步亦趨、一步不落”，否則他們會高度依賴教師歸納概括出的結論，自身的思維能力仍然停留在低階水平。

(二)演繹推理：借助圖表輔助培養學生高階思維

演繹推理是與歸納概括截然相反的思維過程，即“從一般到特殊”的思維發展，在思維水平上同樣處在高階層次。在小學數學運算教學過程中培養演繹推理思維，一個很重要的前提，就是小學生非常熟練地掌握算理，而所謂“算理”可以直白地理解為“運算過程中的原理、道理”，其本身就是一種思維方式。然而，現實中的小學數學教學，教師大部分精力都會放在算法傳授上，這樣就導致一些小學生在運算過程中“知其然而不知其所以然”，難以建立起演繹推理的高階思維。

在培養小學生數學演繹推理高階思維的過程中，可以通過圖表輔助的方式展開，這種方式實際上也涉及了高階思維轉變，即從抽象思維轉變為具象思維。例如，在人教版小學數學四年級(上)“兩位數減兩位數”的知識傳授過程中，小學生會發現運算時存在兩種情況，一種是被減數的十位、個位都大于減數的十位、個位，這種情況下不涉及退位減法。另一種則是被減數個位小于減數的個位，這樣就需要從被減數十位上退位，可將其列為“特殊情況”。如果采取傳統教學方法，只傳授給學生“特殊情況”下的計算方法，學生并不了解算理，培養演繹推理高階思維也就無從談起。據此，可為學生設計如下的問題。

題3：小明的哥哥35歲，哥哥比小明大了十幾歲，那么小明可能是幾歲？

在以上問題中，“大了十幾歲”屬于一般性概念，但由此演繹出的所有答案(特殊性)，在條件范圍內都是成立的，在運算活動開始之前，教師要引導學生根據問題情境提出假設、依次判斷，而在這一過程中，小學生能夠實現從算法升級到算理的認知，完成高階思維的培養。在解題3的過程中，讓學生先列出圖形(如10個一組的圓圈代表10歲)和表格，把“大十幾歲”分解成“10”和“幾”，同樣將小明哥哥的年齡分解成3個10、1個5，利用圖表輔助“35歲減去十幾歲”的運算過程就非常直觀——小學生可以很輕松地發現，當減去的年齡“大于10歲、小于15歲”的時候，只需要從小明哥哥“5歲”的表格中減少相應的數字(1～4)，同時在“10歲”的表格中去掉一個即可，這種情況下不需要退位減，而當減去的年齡“大于15歲、小于19歲”的時候，除了要從小明哥哥“10歲”的表格中去掉一個外，還涉及退位減法。通過這種方式，可以讓小學生增強對算法、算理一致性的認識，并在潛移默化中提升學生的思維水平。

(三)發散思維：算法整合優化培養學生的高階思維

從核心素養視角出發，數學運算中的高階思維并不神秘，其基本功能是“進一步發展學生的運算能力”，換句話說，在學生運算具體題目時不能形成慣性思維，理所當然地認為只有一種解法。從現實維度出發，很多小學數學教師在傳授算法、解題技巧的過程中，也會主動地為學生提供多種思路和途徑，這本質就是“發散思維”。然而，傳統小學數學運算教學過程中，所采用的方法并不利于發散思維的培養，如大量的、同質性的習題訓練，讓小學生機械模仿某一種解題技巧，一旦小學生脫離了熟悉的運算環境，或者同樣類型的題目條件、要求發生變化，則前期積累的多種運算能力也難以發揮作用。因此，培養發散思維的過程中，應該注重算法整合與優化，讓學生在對比過程中找到最適合自己的一種思維范式。

以人教版小學數學四年級(上)“兩位數加兩位數”的知識點為例，在運算過程中存在兩種情況，其一是兩位數個位、十位相加后不用進位(該知識點屬于“百以內的加法和減法”范圍)，其二是兩位數個位相加大于10、需要進位，教師可以列舉兩種情況，然后分別把所有可用的運算方法列舉出來，詳細表述所有計算過程。

題4：25+28=。題5：25+23=。題4和題5的運算方法相同，各有三種：

解題4：

1. 豎式計算法

(1)8+5=13 (2)13=10+3

(3)20+20=40 (4)40+10+3=53

2. 先十后個法

(1)20+20=40 (2)8+5=13

(3)40+13=53

3. 整十加個法

(1)25+20=45(或20+28=48)

(2)45+8=53(或48+5=53)

解題5：

1. 豎式計算法

(1)5+3=8 (2)20+20=40

(3)40+8=48

2. 先十后個法

(1)20+20=40 (2)5+3=8

(3)40+8=48

3. 整十加個法

(1)25+20=45(或20+23=43)

(2)45+3=48(或43+5=48)

題4和題5雖然是小學數學運算題目中較為常見、簡單的類型，但通過發散思維提出多種類型的計算方法，再通過對比方式，就能夠清楚地發現哪一種算法更加優化。例如，題4代表了進位加法的算法，如果利用豎式計算法需要4個步驟才能得出答案，而利用整十加個法只需要2步，顯然是更加優秀的計算方法，能夠很好地提高計算速度。題5代表了不進位加法的算法，豎式計算法與先十后個法在流程上沒有差異，都需要3個步驟才能得到答案，而整十加個法只需要2步。當然，并不是說步驟越少算法就必然優秀，發散思維培養的目的是為小學生提供最適合自身的思維方式，進一步建立起屬于自己的規范算法思想。

(四)質疑批判：通過估算訓練培養學生高階思維

基于發散思維進一步分析，所謂“思維發散”的結果實際上包括兩種，一種體現在過程方面，如上文中題4和題5分別提出了三種算法，就是針對運算過程運用發散思維形成的。另一種體現在結果上，即小學生在數學運算實踐過程中沿著某一個方向持續分散，以至于出現偏離正確運算規則而不自知的情況，最終生成的答案不唯一、不正確。為了規避這種情況，數學運算核心素養視角下的高階思維培養還要重視質疑和批判，這也是考慮到小學生在數學運算時存在粗心大意、疏于檢查的情況。在具體策略建構方面，可通過估算訓練的方式展開，即讓學生對運算結果進行“大概估計”，進而做出肯定或否定的結論，具體手段包括運算前估算、運算后估算兩種，但無論采取哪一種估算方法進行訓練，得出正確答案都不是最終目的，而是要強調學生的質疑精神和批判意識。

例如，在人教版小學數學五年級(上)“小數除法”的教學過程中，日常習題的結果都是小數形式，運算過程變得更為復雜，一方面如果按照豎式計算，在作業、考試等環節需要重復列式，不僅操作煩瑣且在運算方法、思路固定的情況下，也難以判斷出正確與否。另一方面，如果直接借位計算，就要運用短除法，這樣一來估算訓練就形同虛設、完全沒有意義。同時，事先要讓學生明白，所謂估算并不是“瞎猜”，它是建立在運算規則、數量關系及邏輯合理的基礎上的，例如被除數、除數均大于1而除數大于被除數的情況下，可以估算出所得的結果必然為小數，比如“5÷21=”這道計算題，利用運算前估算的方法，先將除數21轉變成兩個容易計算的數字，即20和25，那么5÷20=0.25，5÷25=0.2，這樣學生可以估算出最終答案應該介于0.2和0.25之間，如果計算結果超過了這一區間，學生就有理由懷疑答案是錯誤的。運算后估算是逆向過程，同樣有助于學生質疑批判思維的形成。

(五)合作探究：立足運算課堂內突破最近發展區

根據著名兒童心理學家維果茨基提出的“最近發展區理論”分析，在小學數學運算課堂教學情境中，立足學生當前解決運算問題的水平，通過一定的知識傳授、引導，讓學生獲取更高運算能力以及開發更多運算能力。但數學教師應該明確的一點是，小學生獲得更高運算能力及開發更多的運算潛能，只是突破最近發展區的結果，它對培養小學生數學高階思維沒有意義，關鍵在于“如何突破最近發展區”，明確了具體的方法，也就抓住了由低階思維向高階思維躍遷的關鍵。

立足小學數學運算課堂情境，最有效的方法是組織學生圍繞數學運算問題、展開合作探究活動，并將其作為數學教學工作的一種常態機制。相應的，教師要打造這樣一種常態機制，就需要對運算課堂進行系統化建構，將原本松散、隨機的合作探究活動，改變為有組織、規范化的合作探究活動。在此基礎上，圍繞運算問題界定哪些是低階思維的表現、哪些是高階思維的表現——就合作探討行為來說，屬于低階思維的表現，主要是加深記憶、強化理解、側重應用。例如，教師在為學生講解“平均分問題”的過程中，所提出的問題無論如何變化(如植樹問題、分物問題等)，最終都可以將問題簡化為“除法問題”，類似這樣的問題，實際上根本不需要進行合作探究——因為學生通過記憶教師的解法、理解直觀問題內容，就能夠應用之前的經驗直接給出答案。因此，立足運算課堂教學情境下的高階思維培養，可以從分析、評價、創造等角度展開，讓學生真正意義上的通過合作、發動集體智慧，探究出問題的本質，而“發現問題”本身就是一種高階思維生成的表現。例如，在《圓的認識》教學過程中設置情境，傳統方法無非是利用多媒體資源、實物教具等，為學生展示大量生活中常見的圓形事物，這有助于增強小學生對“圓”這一抽象概念的理解，隨后再進行相關知識點的教學(圓心、半徑、直徑等)，由此所展示出的順序思維或線性思維，是難以引導學生突破最近發展區的；從創造性思維出發，教師先提出這樣一個問題“文學中有這樣的描寫：一個人漸行漸遠，慢慢地消失在地平線……從這句話當中，同學們可以得出怎樣的結論？”對小學生來說，這個問題直觀上看，完全可以納入語文教學的范疇，很容易產生疑惑感，但同時也能夠激起他們的好奇心，就此展開合作探討，才能真正實現對問題的分析、評價，從看似與數學課程毫無關聯的描述中，提煉出有用的線索——人、遠離、消失、地平線，這些要素綜合起來，教師可以制作微課視頻，幫助小學生形成代入感，通過畫圖和想象，學生能夠參透“地球是圓的”——通過這種方式，充分調動了小學生已有的“圓的認識”認知能力，進一步向陌生的領域探索，完全符合培養高階思維的需要。

四、 結語

概括地說，高階思維的構成非常復雜，不存在一個標準能將所有高階思維羅列出來，如學術界共識度較高的“教育目標分類理論”提出，高階思維包括“分析、評價、創造”三種認知能力，而著名認知心理學家羅伯特·斯滕伯格則提出“三元思維”體系，指出高階思維由分析性思維、創意性思維、實用性思維三種構成。具體到小學數學的高階思維培養，劃分方式更沒有統一要求，在具體的教學策略設計與實施方面，也不必局限于某一種，可以根據多元智能理論開發，在教學實踐過程中組合運用。同時，通過對比方式，可以建立起一個衡量高階思維的模板，即相對低階思維，學生的思考過程至少經歷一次轉折或躍遷，不能僅從靜止、表現的途徑去解決問題，必須考慮數學問題中各要素之間的聯系。