回歸數學本源,發展核心素養——2023 年高考新課標全國I 卷第7 題和20 題的啟示

廣東省梅州市五華縣教師發展中心(514400) 宋淮南

本文通過對2023 年高考新課標全國I 卷第7 題和20 題的分析,結合《中國高考評價體系》、《普通高中數學課程標準》的要求和教材、教師用書進行分析,旨在強調在教學中應回歸數學的本源,促進學生核心素養的發展.

1 試題的呈現與分析

1.1 2023 年高考新課標全國I 卷第7 題 記Sn為數列{an}的前n項和,設甲: {an}為等差數列;乙:為等差數列,則( )

A. 甲是乙的充分條件但不是必要條件

B. 甲是乙的必要條件但不是充分條件

C. 甲是乙的充要條件

D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

1.1.1 解答過程

解: 甲: {an} 為等差數列, 設其首項為a1, 公差為d, 則, 因此為等差數列, 則甲是乙的充分條件; 反之, 乙:為等差數列, 即為常數,設為t,即,則Sn=nan+1-t·n(n+1),有Sn-1= (n-1)an-t·n(n-1),n≥2, 兩式相減得:an=nan+1-(n-1)an-2tn,即an+1-an=2t,對n=1也成立,因此{an}為等差數列,則甲是乙的必要條件,所以甲是乙的充要條件,C 正確.

1.1.2 解答反思

本題以等差數列為出發點考查充要條件的推證,要求考生判別充分性和必要性,然后分別進行證明,解決問題的關鍵是利用等差數列的概念和特點進行推理論證,重點考查邏輯推理素養.

1.2 2023 年高考新課標全國I 卷第20 題 設等差數列{an}的公差為d,且d＞1. 令,記Sn,Tn分別為數列{an},{bn}的前n項和.

(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通項公式;

(2)若{bn}為等差數列,且S99-T99=99,求d.

1.2.1 解答過程

解: (1)∵3a2=3a1+a3,∴3d=a1+2d,解得a1=d,∴S3= 3a2= 3(a1+d) = 6d,又,即2d2-7d+3=0,解得d=3 或(舍去),∴an=a1+(n-1)·d=3n.

(2)解法1: ∵{bn}為等差數列,∴2b2=b1+b3,即,即,解得a1=d或a1= 2d, ∵d＞1, ∴an＞0, 又S99-T99= 99, 由等差數列性質知, 99a50-99b50= 99,即a50-b50=1,∴,即,解 得a50= 51 或a50= -50(舍 去) 當a1= 2d時,a50=a1+49d= 51d= 51, 解得d= 1, 與d＞1 矛盾,無解; 當a1=d時,a50=a1+ 49d= 50d= 51, 解得.

1.2.2 解答反思

對于第(1)問,考生需要利用等差數列的基本量列方程求解(體現了方程的思想的應用).

對于第(2)問,因為{bn}為等差數列,則b1,b2,b3三者構成等差數列,體現了從一般到特殊的思想,從而減少運算的難度和推理過程,易得到首項和公差的關系,再利用等差數列的性質,然后分類討論解題(體現了分類討論的思想),須多次化簡和因式分解解方程,學生要有較強計算能力(考查邏輯推理和數學運算的素養).

1.2.3 (2) 解法2: 因為{bn} 為等差數列, 則(關于n的一次型) , 所以a1-d=0 或d=a1-d即a1=d或a1=2d,下同解法1.

當an=d(n+1)時,所以. 又S99-T99= 99,由等差數列性質知, 99a50-99b50= 99, 即a50-b50= 1,,51d2-d-50 = 0,所以(不合,舍去)或d=1(不合,舍去)

1.2.4 解答反思

解法2 和解法3 均是根據{an}、{bn}都是等差數列,從而an、bn均是關于關于n的一次型(體現了函數的思想),進而到達簡化運算的目的. 也需要考生通過觀察式子的特點,會把式子中的分子n2+n分解成n(n+1),從中展現數學運算和邏輯推理的素養.

2 符合高考評價體系

該試題命制落實中國高考評價體系中“一核四層四翼”的考查要求,突出強調對等差數列的概念、等差數列性質、等差數列前n項和的公式等基礎知識的深入理解和靈活掌握,注重考查學科知識的綜合應用能力,促進考教銜接,引導學生提高在校學習效率,避免機械、無效的學習.

3 依據課程標準要求

教師應認真研究課程標準,準確把握課標對教學內容的要求,促進學生素養的提升. 實際上“課標”對等差數列方面的內容也提出這樣的要求.

3.1 理解等差數列的概念和通項公式的意義.

3.2 探索并掌握等差數列的前項和的公式,理解等差數列的通項公式與前n項和的公式的關系.

3.3 體會等差數列與一次函數的關系.

4 緊扣教材教師用書

用好教材中的“邊空”、“思考”、“探究”等欄目,有利于提升學生的邏輯推理和探究能力,對教材、教師用書中的典型例(習)題和課標中的教學與評價案例進行研究,有利于培養學生的綜合能力與創新能力.

4.1 教材中的“思考”的欄目

4.1.1 教材選擇性必修第二冊第21 頁“邊空”提出的問題: 對于等差數列{an}的相關量a1,an,d,n,Sn,已知幾個量就可以確定其他量? 這里強調基本量和基本法,滲透了方程的思想.

4.1.2 教材選擇性必修第二冊第14 頁設置了思考欄目,思考:

觀察等差數列的通項公式,你認為它與我們熟悉的哪一類函數有關?

由于an=a1+ (n- 1)d=dn+ (a1-d) 所以當d0 時, 等差數列{an} 的第n項an是一次函數f(x) =dx+ (a1-d)(x∈R) 當x=n的函數值, 即an=f(n).

探究等差數列與一次函數的關系,體會數列是一類特殊的函數,體現函數的思想.

4.2 教材、教參中例(習)題

4.2.1 教材選擇性必修第二冊第25 頁(習題4.2 綜合運用)第7 題: 已知Sn是等差數列{an}的前n項和.

(2)設Tn為數列的前前n項和,若S4=12,S8=40,求Tn.

4.2.2 普通高中教科書教選擇性必修第二冊師教學用書第85 頁(本章學業水平測試題第13 題)

設數列差{an}滿足a1+3a2+···+(2n-1)an=n.

(1)求數列{an}的通項公式;

本題主要通過數學問題情境評價學生對遞推數列、數列的裂項求和等基礎知識與基本技能的了解程度,通過運用化歸與轉化的思想和裂項相消的方法評價學生的運算求解能力.

4.2.3 2022 年高考新課標全國I 卷第17 題 記Sn為數列{an}的前n項和,已知是公差為的等差數列.

(1)求{an}的通項公式;

從中可以看出,2022 年高考和2023 年高考數列題在這里都可以找到他的原型,只要重視對這些問題的探究,學生就比較容易解決這兩年高考的數列題.

5 結束語

我們應依據課程標準、結合高考評價體系實施教學,創設良好的問題情境培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力. 采用啟發式、探究式等方式引導學生進行觀察、歸納、類比、遷移等活動,讓學生獲得基本活動體驗.重視基本概念、定理的教學. 科學使用教材,充分利用教材中的“探究”、“思考”等欄目引導學生進行思考與探究,挖掘教材、教參等的典型例(習)題并進行適當的改編、變式,提高學生的綜合能力. 重視基本概念的理解與掌握, 強化定理、公式、結論的推導,加強通性通法的應用,這樣才更有利于讓高中數學的教學回歸到數學本源,學生的核心素養才能得到更好的發展.