數學史融入高中課堂的教育價值

佛山科學技術學院 數學與大數據學院(528000) 張可琪

1 引言

自HPM 誕生以來,不乏西方學者對數學史教育價值的廣泛而深入的探討. 例如,英國學者J.Fauvel 總結了15 條數學史融入數學教學的教育價值[1];Tzanakis 和Arcavi 則從數學學習、數學和數學活動的本質、教師的背景知識、數學情感以及作為文化活動的數學五個方面對數學史的教育價值進行了闡述[2];Fankvist 提出從“工具”和“目標”兩個維度探討數學史的教育價值[3]. 上述學者對數學史教育價值的分類方法不盡相同,但均沒有明確區分數學史對教師與對學生的教育價值. Gulikers 和Blom 在Tzanakis 和Arcavi 的分類基礎上,基于教師與學生的角度,從概念視角、文化視角與動機視角三個維度對數學史的教育價值進行了具體的區分[4].

2005 年在西安召開了第一屆數學史與數學教育國際研討會,從那之后,數學史與數學教育相關研究在我國得到了更廣泛的關注,與此同時,數學史的教育價值成為相關研究的討論熱點之一,討論數學史教育價值的文獻層出不窮. 但不管是早期西方學者們對于數學史教育價值的探討,還是近十幾年來我國學者對于此方面的探討,都呈現出相同的特點:思辨遠遠多于實踐和實證研究[5]. 因此,深入教學實踐,研究數學史的教育價值, 更好地發揮數學史對學生的育人價值,是當前數學教育的熱點之一. 近年來,有的學者致力于與一線教師合作開發數學史融入數學教學的實踐與案例. 例如,學者汪曉勤經過多年實踐,結合相關數學教學案例,將數學史對學生的教育價值分成“知識之諧”、“方法之美”、“探究之樂”、“能力之助”、“文化之魅”和“德育之效”六類[5].

基于以上研究,依據人教版A 版高中數學教材的內容以及《普通高中數學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》(以下簡稱《課標(2017 年版)》)要求,結合相關數學史料與教學設計片段,探討數學史融入高中數學課堂的教育價值,以期為一線教師提供一定的案例參考.

2 數學史的教育價值分類維度

高中數學課程以學生發展為本, 落實立德樹人根本任務. 《課標(2017 年版) 》指出高中數學課程目標包括“四基”、“四能”、“數學核心素養”以及“情感和信念”四個方面[6]. 鑒于數學史在《課標(2017 年版)》四個方面的潛在作用,學者汪曉勤基于西方學者們關于數學史教育價值的分類進行了重新劃分,分為以下六個維度,并對其進行了定義[7].

(1)知識之諧: 知識的形成和發展有其自然而然的過程,符合學生的認知基礎,即知識的自然性和可學性;

(2)方法之美: 源于不同時間和空間的,具有靈活性、多樣性、獨創性等特性的思想或方法,展示了方法之美;

(3)探究之樂: 運用歷史數學問題或借鑒數學概念的發展,設計探究活動,讓學生體驗概念、公式或定理的起源和演變過程,獲得基本活動經驗;

(4)能力之助: 探究歷史數學問題有助于培養學生的“四基”、“四能”及“數學核心素養”;

(5)文化之魅: 數學史是數學文化不可分割的一部分,是構筑數學與人文之間的橋梁[8]. 通過這種聯系,數學史可以幫助學生領會科學價值、實踐價值、文化價值和審美價值,體現了文化之魅;

(6)德育之效: 新時代落實立德樹人根本任務要求教育要以學生為中心,從教育教學中,培養學生的學習興趣、自信心、習慣和科學精神等,以達到德育之效[5].

3 運用數學史的教育價值

數學是一門累積起來的學科,它將永遠融匯于它的過去以至未來當中,數學史就是數學本身[9]. 學者李文林稱數學史研究有三重目的,分別是為歷史而歷史、為數學而歷史以及為教育而歷史[10]. 第三重目的指的是在數學教學中利用數學史,發揮數學史的教育功能,實現其教育價值[11]. 教師適當地在教學中運用數學史,可以幫助學生了解數學意念是如何產生的,又是如何演變成今天我們所熟悉的形式的,加深學生對數學知識的認識與理解[12].

3.1 引入數學史,感受知識的形成過程

函數貫穿于中學數學課程的始終,在中學數學中具有重要地位. 我們知道, 在初中階段學生已經學習了一次函數、二次函數、反比例函數等知識,如何在學生已有的認知基礎上,幫助學生建立完整的函數概念,促進他們更深入地理解函數概念的本質,是高中階段函數教學的重點與難點[13]. 高中函數教學的關鍵在于,讓學生從初中“變量說”定義自然過渡到“對應說”定義,進而理解函數的意義[14]. 已有相關實證研究表明,高中生對函數概念的理解表現出一定的歷史相似性[15]. 因此,引入函數概念的演進歷史,有利于幫助學生感受函數概念自然而然的生成過程,構建知識之諧.

函數概念的演進歷史可分為“解析式說”、“變量依賴說”、“變量對應說”和“集合對應說”四個階段[5]. 1718 年,伯努利首次對函數進行了明確定義, 并將其局限于代數運算[13]. 1748 年,歐拉突破了伯努利的函數定義的局限,將函數的定義拓廣到任意解析式,歷史上稱此階段為“解析式說”階段[16]. 18 世紀中期,在一場對弦振動問題的爭論中,數學家們意識到,不是所有的函數都會有對應明確的解析式,因此,用解析式來定義函數顯然不完全正確. 1755 年,歐拉對“解析式”定義進行了更新,確定了“變量依賴”定義,此階段被稱為“變量依賴說”階段[17]. 1829 年,狄利克雷首次將任意確定的變量對應關系納入函數范疇,自此“對應關系”定義登上了歷史舞臺[5]. 進入20 世紀,集合論誕生之后,函數定義進一步建立在集合論的基礎之上,使得函數的概念更加的抽象,人們稱之為“集合對應”定義[15].

基于以上函數概念史料研究,在教學過程中,首先可采取附加式的方式, 展示歐拉等數學家的畫像, 講述“解析式說”階段的歷史事件,并讓學生回憶初中階段關于函數的知識. 盡管學生已學過一次函數、二次函數等多種函數知識,但對函數的認識大多停留在函數解析式的求解方面,這呈現出高度的歷史相似性. 其次,可采取復制式的方式,直接采用歷史上弦振動的問題,展示弦振動過程中的圖像,要求學生寫出其函數解析式,進而引發學生的認知沖突,順利地由“解析式說”階段過渡到“變量依賴說”階段. 最后,可采取順應式的方式,根據歷史材料,編制數學問題[18]. 例如,解釋“校運會男子100 米記錄統計表”這一例子. 通過例子,讓學生明白“變量依賴關系”的局限,產生尋求新的函數定義方式的心理缺口,進而順理成章地引出函數對應關系的兩種定義: 變量對應和集合對應.

在函數概念教學過程中,通過附加式、復制式和順應式的方式引入數學史,讓學生感受函數概念逐步形成的四個階段, 體會其中自然而然的生成過程, 幫助學生構建“知識之諧”. 與此同時,在函數概念的探究過程中,學生也能積累探究經驗,獲得“探究之樂”. 另外,學生了解了伯努利、歐拉等數學家在函數概念上作出的努力與貢獻,明白數學家也不是一開始就能得到正確的數學知識,而是要經過不斷地犯錯與改進,孜孜不倦地求真求實,才能更接近真理,從中感悟數學家的理性精神,培養正確的數學態度與價值觀,達到“德育之效”. 除此以外,在展示函數概念的同時,感受不同時空的數學家們思想的碰撞,呈現出多元的文化,展示了“文化之魅”.

3.2 重構數學史,感受知識的應用價值

數學具有重要的科學價值與豐富的人文價值[19]. 在數學課堂教學中,教師不僅要注重數學的科學價值,更要關注數學的人文價值,把握開發數學課程文化教育的機會,實現其文化價值的功能[20]. 人教A 版必修二第七章第一節復數的概念蘊含了豐富的數學歷史文化,教師應積極利用這一優質的課程資源,開發本節課的文化教育功能.《課標(2017 年版)》也提到:“在復數的教學中...... 可以適當融入數學文化,讓學生體會數系擴充過程中理性思維的作用[6]. ”這也間接反映了在復數概念的教學中,借鑒數學史進行重構式教學,既有助于學生感受復數概念的歷史形成過程,進一步理解復數的概念與意義,構建“知識之諧”,同時也有助于讓學生感受數學的文化和精神,領略“文化之魅”,進而達到“德育之效”.

復數概念的產生經歷了漫長而曲折的過程,這一過程最先由“負數開平方”問題而起. 公元1 世紀在《度量論》中所提到的“平頂金字塔不可能問題”,便是最先記載負數開平方的歷史文獻[21]. 在后來的漫長歲月里,也有眾多的數學家在討論一元二次方程的根時,都遇到了負數開平方的情況,但眾多的數學家對此不約而同地選擇了忽視. 直到16 世紀,意大利數學家卡當的“分十”問題的提出以及數學家邦貝利的求解三次方程的探討,數學家們才開始討論虛數,但此時虛數仍不被重視[22]. 時間來到17 世紀,被擱置已久的對虛數的研究,在代數基本定理、高次方程作圖問題和二元二次方程求解問題的出現后,才被數學家們正視起來[21-23]. 18 世紀,與復數相關的發現與應用層出不窮,例如,棣莫佛定理、虛數符號的出現以及其在流體力學中的應用,數學家們才逐漸接受并研究復數[24].

縱觀復數的產生和發展史,復數的引入并非源于實際的問題背景,而是解決數學內部問題的需要[25]. 在高中生已有的認知圖式中,負數不能開平方,這沒有意義,如此,學生便會對復數的學習產生不解與排斥,這種現象也呈現出歷史相似性. 因而,了解數學家在復數產生過程中所面臨的困惑,尋找復數概念產生的動因,有利于學生明白復數引入的必要性和合理性,增強學生的學習積極性. 在實際教學中,教師首先可采取復制式的方式,再現歷史上的卡當“分十”問題,以此引發學生關于“負數不能開平方”的認知沖突. 其次,可采取重構式的方式,讓學生探究三次方程的求根問題[5]以及萊布尼茨的二元二次方程組問題[23],在此過程中,教師還可以利用信息技術手段,讓學生通過直觀的方式感受到“n次方程有n個根”,基于以上探究,進一步讓學生體會到復數引入的必要性. 接著,通過類比負數的引入以及幾次數集的擴充,讓學生體會復數引入的自然性和合理性,從心理層面愿意接受并學習復數的相關知識[26]. 最后,可通過附加式的方式介紹歷史上數學家在微積分及流體力學等方面對于復數的運用,讓學生更深刻地感受到復數的應用價值,增強學習動機.

在復數概念的教學中,通過附加式、復制式和重構式的方式運用數學史,追溯知識源流,重現并組織學生自主探究歷史問題,幫助學生構建“知識之諧”,營造“探究之樂”并展示了“文化之魅”. 在教學中,學生經歷了數學運算、數學抽象與類比學習等過程,有助于數學思想方法與數學核心素養的培養,實現了“能力之助”. 值得一提的是,教師的教學應盡可能為學生理解知識發展的自然性與必然性服務,為學生體會知識形成過程中所蘊含的思維與方法服務[27]. 除此以外,從復數概念歷史發展的角度去認識與學習復數,學生從中感悟到數學家們不屈不撓、精益求精的精神,達到了“德育之效”.

3.3 借鑒數學史,培養數學核心素養

人教A 版《必修一》第二章第二節的內容為基本不等式. 《課標(2017 年版) 》要求“掌握基本不等式. 結合具體實例, 能用基本不等式解決簡單的最大或最小值問題[6]. ”從課標要求分析,對基本不等式的要求并不算高,加之學生在初中階段已經學習了勾股定理、完全平方公式及不等式等相關知識,有一定的認知基礎. 如果教師在該節內容的教學上,只是簡單呈現出基本不等式,然后花大量時間來練習求最值問題,這樣冰冷機械的方式可能看似實用、高效,但卻忽略了學生的情感發展,割裂了數學與人文的聯系[28]. 數學史中與基本不等式相關的內容并不多[29],但相關的證明方法卻是一件值得我們珍視的寶藏. 因此,教師可借鑒相關史料進行教學,一方面可以幫助學生領略多樣的證明方法,另一方面也可以體會到數學深厚的文化意蘊,滋生學習數學的興趣與自信心.

回顧教材, 首先在第二章第一節的探究活動中設置了趙爽弦圖并由此引出不等式a2+b2≥2ab, 其次在第二章第二節中對該不等式進行換元得出基本不等式,緊接著利用帕普斯半圓模型探究基本不等式的幾何解釋. 最后,在理解基本不等式的基礎上,進行具體實例的應用. 從教材的設計看,基本不等式這一知識的教學是符合HPM 設計理念的[30]. 而教師要做的便是,充分利用教材設計的妙處,進行適當的拓展,例如介紹均值不等式并幫助學生拓寬思路,學習豐富多樣的證明方法,感受數學中的方法之美. 具體到教學中,教師可從代數證法與幾何證法兩個角度出發,拓展證明方法. 例如,幾何證法中,在學習弦圖模型和半圓模型之后,可再介紹圓模型[30]. 由于圓模型與半圓模型的本質與思路相似,教師拓展這一方法也不會增加學生的接受負擔. 再如,代數證法中,教師可介紹和差術法、判別式法[30]和比例法[30-31]等,學生容易接受的方法. 在本節課的教學中,帶領學生感受多種證明方法,是為了能讓學生在學習基礎知識之外,學習到更多的方法,領略數學的魅力,增強學習動機. 值得一提的是,證明基本不等式或均值不等式的方法有很多, 教師應精挑細選多種方法進行教學,而這些方法又不會對學生造成太大的學習負擔,否則就是本末倒置了.

在基本不等式教學中借鑒數學史,多種證法的介紹構建了“知識之諧”,彰顯了“方法之美”,為學生營造了“探究之樂”. 同時,數學家們精彩紛呈的思路,精益求精的精神,也為達成“德育之效”添磚加瓦. 教學過程中借助弦圖、半圓與圓模型,培養學生數形結合的思想意識與直觀想象素養. 除此以外,代數證法的介紹更是為學生邏輯推理、數學運算等素養的培養錦上添花,實現了“能力之助”.

4 結語

中學數學課堂普遍存在重知識、能力,輕情感、信念的現象,導致學生對數學的認知過于片面、狹隘,不利于學生的全面發展. 教師適當地運用數學史,一定程度上可以幫助學生感受知識的形成過程與應用價值, 增強學生的信心與動力.總體而言,數學史的靈活運用有其不可替代的教育價值,值得教育工作者的關注與重視.