基于改進擬牛頓法的柔性直流系統潮流算法*

鄒建凱，韋延方

（河南理工大學電氣工程與自動化學院，河南焦作 454003）

0 引言

基于電壓源換流器的柔性直流輸電技術（Voltage Source Converter Based High Voltage Direct Current，VSCHVDC）是新能源大規模并網和消納的重要方式，但直流線路的引入使得變量數陡增，雅可比矩陣分解與求逆也變得異常繁雜[1]，這給潮流的快速求解帶來了一定的困難。因此，如何有效地提升交直流系統潮流求解速率已經成為了現代電力系統發展不可忽視的問題。適用于柔性直流輸電系統的潮流求解方法有統一法和交替法兩種形式[2]。統一法是將交流和直流系統的各潮流方程聯立求解，計及二者之間的耦合影響，對各種網絡和運行條件都有良好的適應性[3]。交替法將交、直流系統潮流方程分別求解，對交流系統雅可比矩陣的改動小，可以有效地利用現有的純交流系統潮流程序[4]。

現有的潮流求解方法大多基于經典的牛頓-拉夫遜（NR）法，經典NR 法在每次迭代中僅需一次三角（LU）分解[5]，同時具有二階收斂特性[6]，可以有效地求解潮流問題。但隨著電力系統規模的不斷增大，尤其是VSCHVDC的饋入，變量數陡增，復雜的雅可比矩陣分解與求逆變得異常繁雜。Broyden 方法[7]作為一種經典的擬牛頓法，使用更容易計算的近似矩陣來代替復雜的雅可比矩陣，只需要在初始化時計算一次雅可比矩陣，減小了單步迭代計算量，但較低的收斂階數使得其迭代次數有所增加。

為了提升潮流算法的計算效率，本文首先提出了適用于交直流系統潮流計算的Broyden 方法迭代形式，進而，針對該方法迭代次數過多的問題，提出了基于改進擬牛頓法[7]的潮流算法，該方法具備更高的收斂速度，在減少單步迭代計算量的同時又不會導致迭代次數增加過多，使得其計算效率得到了較大的提升。最后，對修改后的IEEE標準算例進行仿真測試，結果表明：本文算法具有與經典NR法相同的精確性，且其在計算速度方面更有優勢。

1 VSC-HVDC的數學模型和潮流方程

1.1 VSC-HVDC的穩態模型及控制方式

單側VSC-HVDC 系統的穩態數學模型如圖1 所示[8]，其穩態方程已有相關研究[9]，本文在此不再一一贅述。

圖1 VSC-HVDC穩態模型

電壓源換流器具有多個可控變量，其中每個換流器可采用的控制策略如下：（1）有功功率Ps恒定；（2）直流電壓Ud恒定；（3）直流電流Id恒定；（4）無功功率Qs恒定；（5）交流電壓Us恒定。其中，有功功率Ps、直流電壓Ud與直流電流Id可由移相角δ控制，無功功率Qs與交流電壓Us由調制度M進行控制。本文所采用的4 種控制方式組合的方案詳見文獻[10]。

1.2 含VSC-HVDC的交直流系統潮流方程

基于交直流潮流算法的統一迭代形式與系統的穩態方程，將純交流節點、直流節點、換流器VSC 的潮流方程進行聯立，設系統總節點數為n，直流節點與換流器的個數為nVSC，交流節點的個數nac=n-nVSC，得到含VSC-HVDC的交直流系統潮流方程為：

式中：U、θ為節點電壓幅值和相角；G、B分別為節點導納矩陣的實部與虛部；上標s表示該功率為節點注入功率；i為節點編號；j∈i表示j節點與節點i相連；a 為純交流節點；t為直流節點，其中1～nac為交流節點，nac+1～n為直流節點；Δd為換流器潮流方程；μ（0＜μ＜1）為換流器的直流電壓利用率；M（0＜M＜1）為換流器調制度；Ud為直流系統節點電壓；gd為直流系統節點導納矩陣元素。

2 算法原理

2.1 Broyden方法原理

經典NR 法雖然可以達到二階收斂速度，但每一步迭代需要計算n2個偏導數?jfi(x(k))（i，j=1，2，…，n）及n個分量函數的值f（x（k）），其計算量是很可觀的。因此，為了減少每步迭代的計算量，可采用Broyden 方法來解決非線性方程組的求解問題。Broyden方法是一種經典的擬牛頓法，這種方法的主要思想是用更容易計算的近似矩陣來代替復雜的雅可比矩陣，只需要在初始化時計算一次雅可比矩陣。Broyden秩1迭代公式[7]如下：

式中：函數f（x）為待求的方程；x（k+1）為第k次迭代后的修正值；sk-1=x（k）-x（k-1），yk-1=f（x（k））-f（x（k-1））；B0取f（x）在初始點x（0）的雅可比矩陣。

Broyden 秩1 方法將單步迭代計算量由O（n3）降為O（n2），大大地減少了計算量，一定程度上避免了誤差的累計傳播。但這種方法的收斂階數低于經典牛頓法，為超線性收斂，會導致迭代次數的增多。

2.2 改進擬牛頓法原理

針對Broyden 方法收斂階數較低，迭代次數增加等問題，文獻[7]提出了一種改進擬牛頓法用于求解非線性方程組，第k次的迭代公式如下：

式中：dkB= -B-1kf(x(k))，dkM= -B-1kf(z(k))z(k)=x(k)+dkB，使用式（2）來更新Bk。

改進擬牛頓法使用了三階NR 法的迭代形式，同時使用Broyden 方法更新其雅可比矩陣的近似矩陣，在一定情況下具有全局收斂性。該方法不僅保留了擬牛頓法單步迭代計算量小的優勢，同時還能減少了迭代次數，使得其算法效率相較于經典NR 法與Broyden 方法而言有較大的提升。

2.3 含VSC-HVDC的交直流系統改進潮流

電力系統潮流計算的實質為非線性方程組的求解。在 此，設 VSC-HVDC 的 變 量 參 數 為x=[U,θ,Ud,Id,δ,M,Ps,Qs]T，而 各 不 平 衡 量 為 Δf=[ΔP,ΔQ,Δd1,Δd2,Δd3,Δd4]T，雅可比矩陣用J表示。電力系統潮流計算即為求解方程f（x）=0。利用下式計算功率不平衡量Δf：

基于改進擬牛頓法，可得改進的含VSC-HVDC 的交直流系統潮流混合算法求解過程如下。

3 算例分析

為了驗證所提出改進潮流算法的有效性，同時對比改進算法與經典NR 法的計算效率，分別對14、30、57和118 節點的柔性直流輸電系統進行仿真分析（算例系統均由IEEE 標準算例系統修改得到），使用MATLAB R2019b 進行測試，仿真精度ε設置為10-6。限于篇幅，本文主要分析驗證了30 節點柔性直流輸電系統的交流潮流結果和直流潮流結果，圖2 為修改后的IEEE-30 節點交直流系統結構圖，圖中整流器與逆變器的參數設定相同，其 中XL=0.15p.u.，R=0.006p.u.，Rd=0.03p.u.，Xf=0.01p.u.（各參數均為標幺值）。

圖2 經修改的IEEE-30節點交直流系統

3.1 基本算例測試

為驗證所提算法在不同控制方式下的有效性和適用性，下面將分別對4 種控制方案進行仿真驗證。為便于比較分析，設定A 表示經典牛頓法，B 表示Broyden 方法，C 表示改進擬牛頓法。上述方法具有相同的收斂精度，限于篇幅，表1、表2僅給出了IEEE-30算例系統在C方法下交流系統、直流系統潮流計算的結果。

表1 交流系統潮流結果（方案1）

根據表1和表2的仿真結果可知，改進擬牛頓法具有和經典牛頓法一樣的高精確性；根據表2中4種不同控制方式下直流系統潮流結果可知，本文方法適用于換流器不同的控制方式及設定值。

表2 直流系統潮流結果

3.2 算法效率測試

表3 為不同算例系統在方法A、B、C 下的計算性能比較（僅以方案1 為例）。由表可知，由于收斂階數較低，方法B 的迭代次數相較于方法A 增加較多，因此雖然方法B 可以有效地減少單步迭代計算量，但其計算效率相較于方法A 提升較小，在各種算例情況下方法B 相較于方法A 的平均計算時間縮減率僅為8.371%；而方法C 在保留了低階算法單步計算量較少優勢的同時，減少了迭代次數，使得方法C 比A、B 兩種方法計算時間更短，方法C 相較于方法A 的平均計算時間縮減率可達到26.712%。

表3 各算例迭代次數和計算時間比較（方案1）

對于全部算例系統而言，方法C 所用的計算時間最短。同時，當節點數從14 增加到118 時，方法C 的計算時間增量也是最短的。這說明方法C 在實際應用方面相較于經典牛頓法和Broyden方法具備一定的速度優勢。

3.3 重負荷下算法性能對比

表4 為系統在重負荷情況下，方法A、B、C 的收斂性能對比（以IEEE-118 為例，控制方式為方案1，負荷改變的為節點44 的有功負荷，表中NC表示達到系統極限，算法不再收斂）。從表4 中可以看出，當負荷值從0.5 增加到2.992 時，3 種方法的迭代次數分別增加5、7、5 次，且方法C 的計算時間最少，僅為方法A 的一半左右，這表明方法C 在極端條件下具有很高的穩定性與高效性。

表4 重負荷下迭代次數和計算時間比較（方案2）

4 結束語

基于電壓源換流器的柔性直流輸電技術是新一代高壓直流輸電技術，它相較于傳統高壓直流輸電具有多項技術優勢。本文針對柔性直流輸電系統，提出了一種基于改進擬牛頓法的柔性直流系統潮流算法，該算法在每次迭代中不需要計算復雜的雅可比矩陣，而是使用更容易計算的近似矩陣來代替，極大地減少了計算量，同時保持了較高的收斂階數，使得算法效率相較于經典牛頓法和Broyden 方法得到了顯著的提升。同時，算例結果也驗證了本文提出的改進擬牛頓潮流算法的可行性與有效性。