基于分數階PID機器人自動行駛誤差分析*

彭 琳，唐德文※，陳 鋼

（1.南華大學機械工程學院，湖南衡陽 421001；2.核設施應急安全技術與裝備湖南省重點實驗室，湖南衡陽 421001）

0 引言

近年來隨著電動輪小機器人的發展，采用電機直接驅動車輪的方式也越來越普遍，這種方式具有較高的傳動效率，便于獨立控制且響應迅速等優點，非常有利于動力學控制。更適合未來的小機器人往智能及環保化發展[1]。與此同時，小型輪式機器人的直線行走PID控制技術在自動控制領域已經有了長足的發展，取得了巨大的進步[2]。

目前，針對自動行走的控制問題，科研工作者基于經典及現代控制理論已經提出多種控制方法，使用這些方法以減小自動行走的誤差，Ossama Mokhiamar 與Masato Abel[3]研究了車輛運動時車輪縱向和側向合力的最優分布，改善了側向加速度和橫擺角速度的響應速度，得出了性能加權函數能對車輛運動穩定性產生影響。E Esmailzadeh 等[4]建立了二自由度的車輛模型，該模型以橫擺角速度和質心側偏角作為狀態變量。以橫擺力矩為最優控制系統求出了其與車輛狀態參數之間的函數關系，并研究了不同參數對控制效果的影響。北京理工大學的舒進、陳思忠等[5]應用物理學知識、理論力學知識推導出了在進行側向和橫擺兩種運動時的二自由度方程。并推導出了前輪偏角與橫擺角速度和質心側偏角之間的傳遞函數。

以上研究對輪式機器人運動誤差分析取得了良好效果，但在復雜工況下輪式機器人受橫向和側向的信號干擾，采用常規的PID 控制系統，輪式機器人運動時的橫擺角速度與質心側偏角這兩個不同的變量雖可以同時得到控制，但其控制的精度仍然不夠精細[6-7]。為此，本文提出一種采用分數階PID 的控制策略，建立基于分數階PID 橫擺角控制系統的仿真模型，分析輪式機器人在不同工況下運動時的速度、角加速度、位移等，使輪式機器人可在復雜環境下運動可控，極大地提高了機器人的動態性能和魯棒性。

1 動力學模型

基于不同的考慮因素，可有針對性地選擇不同的自由度來分析機器人行駛系統中的不同問題[8]。然而自由度過高會導致建立的運動模型過于復雜，不利于運動微分方程的建立，故本文采用兩自由的機器小車模型，在兩自由度的模型下，機器人運動時會產生不同的橫擺角速度，轉向控制器將實際橫擺角速度與理想橫擺角速度的差值作為輸入，在傳統PID 控制理論上加入分數階控制理論，使其在整數階控制的基礎上增加了積分階次和微分階次兩個可變的參數，使得參數設置更加精確細致。如圖1所示。

圖1 兩自由度小車運動模型

機器人輪式行走機構幾何中心點O的位置和姿態，對式（1）積分，則有：

式中：VL為左輪速度；VR為右輪速度；B為軸距；θ為運動方向與X軸夾角。

式中：（x0,y0,θ0）為機器人幾何中心點O在t=0 的時刻的位置姿態；（x,y,θ）為機器人幾何中心點O當前的位置與方向。

故機器人行走機構的線速度和角速度可以表示為：

式中：v為線速度；θ˙為角速度。

在確定輪式機器人的基本結構的基礎上，可以通過控制機器人兩側的永磁同步電動機的轉速來控制機器人的運動，實現控制機器人線速度、轉向角速度、轉向角度等[9-11]。機器人運動時的受力如圖2所示。

圖2 機器人運動受力

式中：αf為左輪側偏角；αf為右輪側偏角；Lf為左輪到質心的距離；Lr為右輪到質心的距離；ωr為橫擺角速度；δf為左輪轉角；δr為右輪轉角。

可以得到機器人的運動微分方程為：

2 分數階PID控制參數的確定

分數階PID 控制原理實際是用分數階環節替代傳統的PID 控制器的比例環節，優化系統的傳遞函數，使得整個控制模型在PID 控制的優點上，有更好的動態響應性能和擾動抑制能力。在本文的研究中，首先預設一個理想橫擺角速度模型，再將分數階PID 控制器控制下的機器人實際橫擺角速度與理想橫擺角速度的值做差，再將實際值與理想值相疊加，最后將疊加值作為輸入，反饋回分數階PID 控制器，由控制器的輸出反饋給機器人，進而實現對機器人質心側偏角、橫擺角速度和側向加速度及側向位移的控制[12-13]，如圖3所示。

圖3 機器人控制系統原理

因為PIλDμ控制器是分數階PID 控制的核心，所以首先建立PIλDμ控制器。PIλDμ控制器的控制時域表達式為：

式中：λ為控制器積分項的階次；μ為控制器微分項的階次；KP為比例系數；KI為積分系數；KD為微分系數。

對上式進行拉普拉斯變換，得到分數階PID 控制器的傳遞函數：

分數階PID 控制器中的閉環控制系統被控對象的傳遞函數將決定其參數的整定，為了實現這個過程，需要推導出實際和理想橫擺角速度的傳遞函數。而上文推導的機器人輪式行走機構二自由度的運動學微分方程恰恰可以得出橫擺角速度與兩輪轉角的關系。由此，對運動學微分方程進行拉普拉斯變換可得橫擺角速度對后輪轉角的傳遞函數：

式中：σ為穩定度；ζ為阻尼比。

考慮到ζ搜索范圍對系統性能的影響并不大，所以ζ的取值不需要特別精確，選取ζ=0.5。設定[0.4，5]為σ的范圍，設定0.1為系統的步長。確定σ值的原則是系統單位階躍響應的時間平方加權誤差平方積分最小。此時如果系統始終保持穩定，則代表σ的值可行，系統穩定后便可以由此來確定極點。若系統無法保持穩定，則需要KP的值不斷調整優化，直到系統穩定。在確定完極點和比例系數后，再用相同的方法整定其他的控制參數。

（3）確定λ、μ第i次搜索范圍i∈[1,4]。當i=1時，μ∈[0.1，1]、λ∈[0.1，1]，取 步 長Δi= 0.01；i＞1，μ∈[max（Δi,μi-1-2μi-1），（μi-1+2μi-1）]，λ ∈[max（Δi，λi-1-2λi-1），（λi-1+2λi-1）]，Δi=Δi-1/10

（4）隨著5 個參數的值第i次確定完。使用得出的5個參數完成特征方程的構建，若4 個指標均能滿足控制系統的要求，則表示完成了參數整定的過程；若仍有指標無法滿足系統的控制要求，則要重新選取最接近指標的λi、μi值，并使其在原有基礎上累加，重復上述步驟；若i＞4后仍不滿足，則需重新確定5個參數，然后重復上述方法。

在確定完λ、μ值后，使用分數階PID 控制系統的Outaloup[14]近似求解法，該近似求解的算法原理是對G（s）=(s/ωn)α傳遞函數取近似值，并通過構建濾波器來最終實現微積分近似求解，由于分數階微積分的計算不能在實際應用中直接實現，而分數階PIλDμ控制器的核心就是微積分算子sα的有理化，解出控制系統控制器的積分項和微分項，即：sλ=G1（s）、sμ=G2（s）。在構建濾波器求解時，只考慮頻率段（φb,ωh）[15]，其中，φbωh=1。該頻率段為中間頻率段，在該頻率段可以構建出連續濾波器的傳遞函數為：

由MATLAB/Simulink 軟件實現濾波器的設計，濾波器的N值決定其精度，當N值越大，控制精度就會越高，但往往計算也會更加復雜，控制信號經由濾波器實現α階的微積分計算，就能實現分數階PID的控制效果。

3 基于MATLAB/Simulink 仿真

仿真采用的模型參數如表2所示。

表2 仿真模型參數

為了便于仿真，接下來的仿真實驗選擇對車輪轉角階躍輸入進行分析，進而來分析輪式機器人的行駛穩定性[16]。取機器人行駛速度為0.8 m/s，取行駛時的階躍信號幅值為0.1 rad。建立MATLAB/Simulink 仿真模型，如圖4～5所示。輸入相應的仿真參數進行計算，隨后得到橫擺角速度、側向加速度、質心側偏角、側向位移4 個物理量的響應曲線。將在分數階PID 控制下得到的仿真響應曲線與PID控制下的行駛數據仿真曲線相對比。

圖4 PID控制系統仿真模型

圖5 分數階PID控制系統仿真模型

仿真相應對比曲線如圖6～9所示。由圖6～7可以看出，分數階PID 控制的自動行駛系統的橫擺角速度達到穩定值的響應時間比PID 控制下所需要的時間更短，機器人的橫擺角速度降低了23.6%，側向加速度降低了22.1%，機器人的行駛穩定性和循跡能力得到了明顯提高。

圖6 橫擺角速度的響應曲線

圖7 側向加速度的響應曲線

由圖8 可以看出，分數階PID 控制的自動行駛系統下機器人的質心側偏角在經歷2 s左右的波動之后基本保持為0，不論是響應時間還是側偏角超調量都要小于PID控制，側偏角超調量更是降低了71.4%明顯提高了機器人在行駛時的運動穩定性。

圖8 質心側偏角的響應曲線

由圖9可以看出，在同樣的行駛距離下，分數階PID控制的自動行駛系統下機器人的側向偏移量明顯比PID控制下的機器人降低了29.5%，提高了機器人保持直線行駛的能力，改善了控制的精確性。

圖9 側向位移的響應曲線

4 結束語

本文針對常規PID 控制精度不夠的情況，設計了分數階PID 控制策略，構建了基于分數階PID 橫擺角控制系統的仿真模型并采用MATLAB/Simulink 聯合仿真對控制效果進行仿真驗證，并將仿真結果與PID 控制仿真結果相比較，主要結論如下。

（1）與PID 控制相比，使用分數階PID 控制的機器人自動行走時的橫擺角速度降低了23.6%，側向加速度降低了22.1%，機器人行走時的運動穩定性有很大改善。

（2）與PID 控制相比，采用分數階PID 控制的自動行駛機器人的質心側偏角也比PID 控制時降低了71.4%，可以得到更加優越的控制效果。

（3）分數階PID 控制時機器人側向位移的位移量相比于PID 控制降低了29.5%。故在使用分數階PID 控制方法作為控制策略時，機器人擁有更優越的控制效果，提升了小型輪式機器人的行駛穩定性。