數學教材研究的分層厘思*

王保紅 韓龍淑

（太原師范學院數學與統計學院，山西晉中，030619）

數學是人類理性精神的杰出代表，是形成人類認知方式的主導科學，是人類思維的精確表達方式，數學毋庸置疑地被設置為基礎教育的主課程之一。而數學又具有非常特殊的學科特質，如數學思維的抽象性、表達的嚴謹性、語言的隱喻性、知識的累積性、發展的前瞻性等，決定了數學教育中數學知識的傳承更加依靠數學教材的凝練。

“近年來數學教材研究在國際數學教育研究中發展非常迅速，可以說正處于最活躍的時期，有必要對數學教材研究領域中的一些基本問題進行深入地研究和厘清，以使整個領域得到更好地發展。”[1]因此著力探討數學教育中教材研究的多元主體，論述為數學知識傳遞而進行的逐層建構，以及所具有的價值承載，以期為數學教材研究乃至數學教育研究提供可資借鑒的參考。

一、從認知主體看數學教材研究的維度

數學教材是根據國家數學課程標準編選的供教學用，并要求學生掌握的文字類和視聽類基本材料。數學教材的形成、開發和使用是數學家、數學教育家、數學課程與學科專家、眾多的數學教師以及學生之間相互融合的結果，是數學教材研究主體間互動的產物。

1.數學家和數學教育家決定數學教材內容的本質和取向

在數學發展中數學家的智慧凝練和豐富的數學知識，構成人類文化中重要的組成部分，是數學知識鏈得以形成和連續的最前端。數學教育家是數學知識傳遞的重要繼承者、實踐者和推進者，他們不僅具備寬厚的數學基礎知識，而且從長期的教育實踐工作中形成了與時代相契合的教育思想和理論，踐行并指導著數學知識的傳承，影響著當時和以后的數學教育活動。

數學家和數學教育家共同決定數學教材的根本內容及其價值取向，共同賦予了不同歷史時期數學教材的科學性和時代性，為數學教材的編制以及教材在數學教與學中的應用做出了根本性的規定。

2.數學課程與學科專家實施數學教材的編制

數學課程與學科專家基于特定的國家教育方針和政策，結合教育思想和理論，憑借專業洞察力和實踐經驗，對數學學科的培養目標、課程水準和基本內容作出規定，并形成數學教育的指導性文件——數學課程標準。在課程標準的指導下，教材編寫專家和數學教研人員及優秀的一線教師共同將國家課程標準具體化，研制出顯性的文本成果，即數學教材。教材層次分明、循序漸進地安排了數學學科內容，為數學的教與學提供了組織有序的信息，方便教師和學生的課堂教學活動。

編制課程標準和實用教材是課程設計的頂層環節，是數學知識傳承的重要保障和依托。數學教師以此為準則制定教學實施總體方案，分析教學對象，分解教學目標，確定教學策略，選擇和設計教學媒體及教學方式方法等。

數學課程和學科專家以及相關教育人員對課程和教材的編制，保證了教育過程中的普適性、基礎性、選擇性和實踐性，為數學教師理解教材并開發教材提供了依據，使學生理解數學知識和發展心智成為可能。

3.數學教師在教學實踐中實現教材增值

數學教學是教師的教和學生的學共同組成的活動，是學校進行數學智育、學科德育和數學美育的主要途徑，是學校數學教育的中心工作。教師是數學教學活動的設計者、組織者、引導者和參與者，他們以教材附載的知識、技能和價值傳授為宗旨，將課程標準內化到具體的教學過程中，結合教學條件和學生特點，竭力高效高質地完成教學計劃。

為了優化數學教學，數學教師不僅要尊重數學教材的權威性，還要對其進行二次開發，創造性的在數學教學活動中使用教材。針對學情數學教師會對教材有所調整、刪減和補充，是對數學教材的豐富和增值。此外數學教師本身就是主體性可再生型“教材”，教師在教學活動中發揮主觀能動性，通過教學將自己的經驗、價值觀和專業素養傳遞給學生，因此好教師本身就是一部生動的高品質的“活教材”[2]。

數學教師不僅是數學課程理念和數學教材的執行者，也是數學教材的研發者。通過課堂教學活動，數學教師有效地實現了對教材的再開發和增值，體現了教育過程中的靈活性和選擇性，為學生更好地理解教材提供了動力支持和價值引領。

4.學生個體對數學教材進行自我內化與建構

數學教學活動的立足點是學生。教學活動是通過教師有目的、有計劃和有組織的指導，使學生掌握數學知識，強化數學實踐技能，發展數學審美情趣，形成正確的數學價值觀的過程。數學教材是國家設置的學生學習的文本資源，是學生數學活動的主要材料，是學生數學知識建構和數學素養提升的基礎。

數學學習是學生掌握數學學科的基本概念、原理、思維方式以及情感態度和價值觀的過程，是全面提升數學核心素養的過程。在實際的教學體驗中，學生通過教師的引領展開有效知識探究，學生主動進行教材內容的自我內化，促進自己的知識結構和體系的構建。

二、從知識鏈的傳遞看數學教材研究的形態

數學教材是數學知識鏈的重要承載物，是國家層面上對數學教育的規定性制約，它深刻地影響著當代對數學人才的培養。

1.學科形態的知識

“科學是包含由主體及其形成的共同體、實踐的客體對象、主體所持有的信念背景、所使用的方法、所形成的理論成果、具體的運行機制等要素組成的復雜系統。這就要求我們從社會的、歷史的、文化的、語言的、認知的不同語境加以分析。”[3]數學是由數學家共同體經過漫長的積累和若干途徑獲得的，經過提升總結和凝練的系統認識，形成了學術形態的數學科學知識，是數學史上探討的人類共同的文化累積，是數學哲學上討論的知識論范疇。

當討論個體通過與環境相互作用后獲得的知識，強調知識是一個流動、動態的混合體，隨著刺激和學習而改變與更新，就進入到教育心理學層面的數學知識，將學術形態的數學知識轉變為教育形態的數學教學知識。數學教育是從小學、中學到大學的有機體，變動任何一部分都會影響全身；數學教育也是從小學到大學的一個知識傳遞鏈，這個傳遞鏈可以看成一根水管，數學知識就在這個水管中流著。知識鏈是個整體，各個節點都影響甚至決定著知識的傳遞速度和成效[4]。因此，必須從人類數學文化的“大”教材中精選優擇，形成適合教育的具有邏輯內涵的學科形態的數學知識體系，流入到數學知識的傳遞鏈之中。

2.教育形態的知識

數學課程的開發和數學教材的編制是適應時代要求的行為，要符合學生認知特點和教育教學規律，滿足學生和社會發展需要。為了提升數學教材編寫質量，有四個主要的著力點：一是要以扎實的數學功底和對數學內容本質的透徹理解為前提，挖掘數學課程育人價值的方法和能力，確保數學教材編寫的教育性；二是要保證數學教材結構體系的邏輯連貫性、內容的準確性并經過規范的實證檢驗來體現數學教材的科學性；三是要保證教學內容的適應性、學習素材的現實性、學生認識準備的銜接性、注重個體的差異性和教材的可讀性，實現數學教材編寫符合學生學習心理和教師教學心理；四是要保證教材編寫隊伍和編輯出版團隊的專業性[5]。

數學教材具有基礎性和時代性，也符合教育學、心理學和美學的要求，協調了知識結構和師生心理結構之間的平衡。教材中呈現的數學教育形態的知識，是對數學學科知識近一步的精細化，將其轉變成為可操作的教學程序，極大地方便數學教師進行課堂教學，也更好地幫助學生逐步系統地接受和掌握數學知識。

3.教學形態的知識

教師還必須掌握關于學生學習、教學理論、教學策略、教學評價等教學知識，才能使教師真正成為教學活動合格的設計者、組織者、引領者和參與者。基于此提出了數學學科教學知識，即MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge），它是數學學科知識（MK）、一般教學法知識（PK）和有關數學學習的知識（CK），以及針對中小學數學教師必須掌握的教育技術知識（TK）的深度融合[6]。這是20世紀80年代以舒爾曼為代表的研究者提出的PCK理論在數學學科中的再發展。

數學教師擁有MPCK就是教師如何把數學學科知識轉化為教學形態的知識，就是教師對數學教材中涵蓋的知識體系進行的實踐性創造，結合教學法和學習理論，充分考慮教學對象的不同、教學方法的選擇、教學目標的落實，形成具有個性化的教學設計，努力實現數學教學的最優化，從而超越了教材中數學學科知識的效果，是對數學教材的二次開發，是對數學教材的有效增值。

4.學習形態的知識

數學教師是數學教材的先行學習者，理解和研讀教材、增值教材的目的都是為了學生個體對數學知識的獲得和數學素養的提升。學生個體位于數學知識鏈的傳遞和建構的最末端。“教師只有把教材中學習的新內容與學生頭腦中原有的認知結構相聯系，活化出一幅幅學生學習的場景，才能有助于學生開展有意義學習，從而產生新的認知結構，使教材真正成為學生學習的認知地圖，把‘學術形態’‘教學形態’的知識轉化為‘學習形態’的知識”[7]。

現代課程與教學觀已經轉向“學習者中心”，確立“學生發展為本”的核心理念。要求將學生從被動學習者轉變為能動的學習者，從表層學習者轉變為深度學習者，注重學生獲得“優質知識”，注重“問題產生、問題分享和問題深化”的教學設計[8]，不僅使學生獲得數學基礎素養，更要獲得發現問題等富有創造力的高階認知能力。現代的學生處在知識訊息爆炸式增長的稠密環境，有強烈的求知欲和自我表達的愿望，更能提升學習的主動性而產生有意義學習，更好地獲得個體數學知識的更新。

三、從價值取向看數學教材研究的價值承載

1.課程理念的實施承載著國家教育意志

德國學者Rezat指出任何數學課本的開發都有其特定的歷史背景，形成有其文化氛圍，產生有一定的目的，使用有其特定的意圖[9]。依照特定歷史時期國家性質制定的教育目的和方針政策，是課程設置和教材編寫遵照的根本所在。

遵照黨的十九大提出的“要全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人的根本任務，發展素質教育，推進教育公平，培養德智體美全面發展的社會主義建設者和接班人”，教育部制定了《普通高中數學課程標準（2017年版）》。據此人教版高中必修教科書A版于2019年發行，該教材注重先進的教育思想和教育理念，反映社會發展的新變化和科技進步新成果，既能通過適當的方式呈現人工智能、大數據技術提升學生數學建模和探究的綜合能力，又能在情境創設、任務設置等方面緊密聯系當今社會及生活實際，培養學生的社會參與意識和能力。

如將2019年1月1日起執行的向國家繳納的個人所得稅計算法作為實例，用函數概念及其蘊含的數學思想方法解決實際問題。該題目既能提高學生學習興趣，又能提升學生數學建模素養，還能在教育領域體現國家意志。再如在“指數函數和對數函數”章節中引入考古學家利用遺址中碳14殘留量，測定良渚文化遺址存在于公元前3300至公元前2500年，說明中華5000年文明史是有實證依據的。黨的十九大指出文化是一個國家和民族的靈魂，該題目凸顯對我國傳統文化的自信和認同，堅定文化自信，厚植文化底蘊，通過數學教材傳承中華民族優秀傳統文化。

2.教師理解和開發教材實現自身專業發展

數學教師理解教材并二次建構增值教材，實質上也是對教師數學專業素養和品質的提升。“教師教材理解包含教師對教材知識、教材組織形式、教材價值、教材時代使命的理解等。新時代人才培養的根本任務是立德樹人，這要求教師教材理解將走向知識體系、方法論、思維方式與價值觀的融合。”[10]

事實上PCK概念的提出就是源于對教師專業發展的反思，解決學科知識和教育專業知識相分離的問題，MPCK的研究旨在豐富教師的數學學科教學知識。教師理解教材本身就是在豐富MPCK，使具體的教學過程既有方法論的指導，又有教育宗旨和價值觀的滲透，從而提升課堂教學質量和教師的專業水準。

3.學生理解和內化數學教材實現自我成長

現代課堂教學和學習觀的確立，拋棄了“學習”的劃一化、被動性、個人主義傾向，強調學習的自主性、活動性、協同性，認為“學習”是主體經驗的不斷積累和不斷重構的內在體悟的過程，提倡“以學習者為中心的三位一體的價值導向”，從“知、智、志”三方面說明教育的根本目的，即科學知識的傳遞和獲得、能力和智慧的培養以及個人志趣、人格、意志、自信心等方面的綜合素養提升。

盡管數學學習必然要求以獲得夯實的學科知識和技能為基礎，但在對數學知識的探尋過程中，學生學會從數學角度發現和提出問題，通過對富有挑戰性的問題的分析和解決，促進知識之外的自信心和意志、價值感的獲取，實現學生自我成長、境界提升和生命完善。

四、數學教材研究的啟示

數學教材研究是“對數學教材本身及教材與其他因素之間關系的科學研究”，從數學教材研究的角度出發，厘清了教材研究的多元認知主體，分析了教材研究的客體的形成，主客體共同影響了作為自變量的教材和作為因變量的教材，解讀了數學教材研究的主客體共同的價值承載，展示了數學教育在數學知識鏈的傳遞中體現的更豐富的意義和內涵。這些數學教材的研究主體要素、客體對象和價值承載相互獨立又相互聯系、相互作用而構成了有機整體（如圖1）。

圖1 數學教材研究的整體框架

1.擴大數學教材研究主體間的深層“對話”

數學教材的多元主體共同實現了教材的研發和傳承，體現出多元的知識信念和價值判斷。通過數學教材，數學家及教育家、數學學科專家、教師和學生、學生與學生之間形成了深層的“對話”，將對數學的不同認知視閾相互融合并逐步達成一致性理解，從而實現數學知識在多元主體中的更新累積甚至倍增。

2.貫通數學知識鏈中的各個知識節點

事實上數學教材研究的多元主體構成了龐大的“學習共同體”，“真正的學習實踐是一種基于理解的參與，一種文化實踐的參與”，每一位認知主體都是學習的主權者，同時也是協同的學習者，在數學知識鏈中都附帶了自身建構的印跡。要重視數學知識鏈的整體性和貫通性，特別是最頂層的優選精擇中要將新的數學發展潮流及時反映到數學教育之中。

3.實現數學教材有效的多元價值承載

提升數學教材的教育性、科學性、心理性和專業性是教材改革與創新的四個永恒主題，是提高教材質量的主要著力點，也是落實核心素養的關鍵點。數學教材是國家意志的集中體現，是濃縮精致化后的數學文化傳承，要將傳統經驗賦予時代精神，做好繼承和創新，經得起歷史檢驗，使其具有長久生命力。

4.實現對個體生命成長提升的深切關注

數學課程開發與教材編制的本質要求是“立德樹人”，通過傳授知識內容，傳遞人類豐富的文化遺產，達到個體生命內涵的領悟，意志和行為的規范，并最終啟迪生命自由的天性，激發生命個體的稟賦。因此在“以人為本”的社會中，落地的數學教育最能體現對個體生命成長和提升的深切關懷。