類比探究 提煉方法 彰顯本質(zhì)

劉園園

摘 要：專題教學(xué)在提高學(xué)生解題能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維等方面具有重要應(yīng)用.在教學(xué)中，對于一些重點(diǎn)的、熱點(diǎn)的、難點(diǎn)的問題可以以專題的方式呈現(xiàn)，讓學(xué)生通過類比探究提煉解決問題的方法，感悟問題的本質(zhì)，提高解題效率.

關(guān)鍵詞：專題教學(xué)；方法；解題效率

近幾年來，有關(guān)函數(shù)圖象中角度存在性問題成了中考的寵兒.此類問題具有一定難度，考試均分不高.為了突破這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)，筆者將以此類問題改編形成專題，采用從簡單到困難的類比法，形成這一系列問題的解題思路，掌握解題的方法，提高解題效率^［1］.

1?問題呈現(xiàn)，體驗(yàn)解題策略

【例1】?如圖1，拋物線y=x²-2x-3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，和y軸交于C點(diǎn)，P是拋物線的動點(diǎn)，設(shè)m為點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

問題1：若點(diǎn)P使得∠PBA=45°，求m的值.

以上問題難度不大，學(xué)生很快就找到了解題方法.

生1：根據(jù)已知可求得點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，-3），連結(jié)BC，∠OBC=45°，又∠PBA=45°，所以點(diǎn)P就是點(diǎn)C，故求得m=0.結(jié)合圖1可知，滿足條件的點(diǎn)P不唯一.采用畫圖的方法即可以找到P點(diǎn)，該點(diǎn)是拋物線和直線的交點(diǎn).同時，∠PBA=45°，這樣可以得出PB所在的直線，解析式如下：y=-x+3.

接著與拋物線方程聯(lián)立，并求解得x₁=3（舍去），x₂=-2，所以m=-2.

師：很好，生1是從代數(shù)的角度出發(fā)，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)得到了m值.還有誰應(yīng)用了這一方法呢？（學(xué)生紛紛舉手）

根據(jù)課堂反饋，大多數(shù)學(xué)生都應(yīng)用了這一方法.代數(shù)法思維起點(diǎn)低，符合大多數(shù)學(xué)生的思維習(xí)慣，故應(yīng)用的人較多.

師：看來大家和生1一樣厲害.請大家思考一下，該問題是否有更簡捷的方法呢？

生2：先在圖1上畫出點(diǎn)P的大概位置，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交于點(diǎn)D.因?yàn)椤螾BA=45°，所以PD=BD，又點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，用點(diǎn)P坐標(biāo)表示線段，故有｜m²-2m-3｜=-m+3，也可以得到答案.

師：很好，生2從幾何的角度出發(fā)，先是構(gòu)造直觀的幾何圖形，畫出滿足條件的角，然后將角度問題轉(zhuǎn)化為線的問題，利用點(diǎn)的坐標(biāo)解決了問題.

設(shè)計(jì)意圖：開展教學(xué)過程中讓學(xué)生學(xué)會站在不同角度去思考，采用不同的方法來解決問題，讓數(shù)學(xué)思維被充分激活.這樣可以為之后的解題提供更多的資源，促進(jìn)學(xué)生解決問題能力的提升^［2］.

2?認(rèn)知發(fā)展，提煉解題策略

問題2：已知條件不變，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，是否存在第二象限內(nèi)的點(diǎn)P，使得∠PBA=∠ABD？若存在，請求m的值.

在問題1順利求解后，教師將問題進(jìn)行拓展，給出了問題2.問題2與問題1相比，難度略有提升，為了讓學(xué)生能夠更好地解決問題，教師繼續(xù)讓學(xué)生進(jìn)行小組探究，以此集思廣益，讓學(xué)生快速找到解決問題的突破口.

生3：按照生2的思路，可以先在第二象限內(nèi)尋找點(diǎn)P，連結(jié)BP，然后想辦法求出BP的解析式.如果想將BP的解析式求出來，先要將AC直線的解析式求出.再加上BD⊥AC的條件是可以求出BD解析式的，之后可以將D點(diǎn)的坐標(biāo)算出.同時，令D′、D關(guān)于x軸對稱.此時可以求得出BD′直線的解析式，而BD′的直線解析式與BP的相同.求出直線BP解析式后，與拋物線聯(lián)立即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).這樣雖然能夠求解，但是感覺過程有些煩瑣，所以沒有直接計(jì)算，想看看是否還有其他解題路徑.

師：說得很好，大家是否還有更為簡捷的方法呢？

生4：我的思路和生3基本相同，不過在求直線BP的解析式時，我是先算直線BD與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，易得其交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），這樣根據(jù)∠PBA=∠ABD，可知直線BP經(jīng)過（0，3），從而求得直線BP的解析式.

師：很好，充分利用圖象特征，有效地簡化了運(yùn)算過程.你們還有其他想法嗎？

師：很好，幾位同學(xué)的思路都非常清晰，都是圍繞“求直線BP的解析式”展開的，雖然運(yùn)算過程有所不同，但是其解題思路基本一致.還有沒有其他思路可以求解呢？是否可以運(yùn)用幾何法求解呢？（教師啟發(fā)學(xué)生跳出原有思維的禁錮，嘗試應(yīng)用幾何法求解）

生6：在圖1上尋找點(diǎn)P的大概位置，過點(diǎn)P作x軸的垂線，且交于點(diǎn)E，則有∠ACO=∠ABD，又∠PBA=∠ABD，所以∠PBA=∠ACO，易證△ACO∽△PBE，這樣BE=3PE，故3（m²-2m-3）=-m+3.

師：非常好，你是怎么想到這個方法的呢？

生6：我想到這個方法是受了問題1的啟發(fā)，作垂線后發(fā)現(xiàn)相似三角形，于是就按照這個思路求得了m值.

師：很好，結(jié)合以上過程說一說，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

生7：在求角度這個問題時只要利用好了圖形，就可以直接把圖轉(zhuǎn)變成為線的問題，非常直觀，再轉(zhuǎn)化成為求交點(diǎn)坐標(biāo)的問題就能輕松解決.

生8：采用代數(shù)法計(jì)算出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再將解析式求出，然后聯(lián)立方程，運(yùn)用方程的思想方法求得交點(diǎn)坐標(biāo).這種方法雖然運(yùn)算過程煩瑣，但是易于理解.

生9：在求交點(diǎn)坐標(biāo)時也可以運(yùn)用幾何法，即根據(jù)圖形特點(diǎn)構(gòu)造特殊的圖形，如特殊三角形或相似三角形，結(jié)合線段的等量關(guān)系，利用方程法解決問題.應(yīng)用該方法可以有效規(guī)避煩瑣的運(yùn)算，有利于提高解題效率.

設(shè)計(jì)意圖：在問題1的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，讓學(xué)生通過問題的解決總結(jié)歸納解決此類問題的方法，形成解題策略，提高學(xué)生解題效率.

3?借助應(yīng)用，深化策略理解

通過以上兩個問題的探究，解題策略已經(jīng)形成，為了進(jìn)一步加深策略理解，教師趁熱打鐵，給出了問題3.

問題3：若點(diǎn)P使得∠PAC=∠ACO，求m的值.

問題給出后，教師讓學(xué)生獨(dú)立思考，基于前面的解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快找到了解決問題的方法.

生10：取AP與y軸的交點(diǎn)為E.因?yàn)椤螾AC=∠ACO，所以AE=EC.設(shè)OE的長度為x，則CE=3-x，AE=3-x，x只需要利用勾股定理就可以求出，之后E點(diǎn)坐標(biāo)也可以得出，再得到這兩值之后，就可以計(jì)算出AP直線的解析式，有效解決了問題.

生11：我前面的解題思路和生10相同，但是求出點(diǎn)E的坐標(biāo)后，我沒有求解析式，而是過點(diǎn)P作x軸的交點(diǎn)D，利用△AOE∽△ADP，求得了m值.

設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)中，為了檢測學(xué)生解題策略的掌握情況，教師繼續(xù)給出問題，加強(qiáng)解題策略，加深學(xué)生對這類問題的認(rèn)知，提升運(yùn)用水平.

4?橫向延伸，積累活動經(jīng)驗(yàn)

問題給出后，教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后進(jìn)行小組交流，并以互動的方式充分地展示學(xué)生的解題過程.在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用不同的方法解決了問題，積累了豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，升華了認(rèn)知.

設(shè)計(jì)意圖：將解決拋物線問題的經(jīng)驗(yàn)遷移至雙曲線問題上，通過對比分析鞏固了原認(rèn)知，讓學(xué)生的思維得到了拓展，深化了解題的能力.很多數(shù)學(xué)的知識與方法是存在聯(lián)系的，在教學(xué)中教師要多從“聯(lián)系”的角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生將相似或相關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行類比，繼而明確問題的本質(zhì)，提高學(xué)生解決問題的能力^［3］.

5?教學(xué)思考

專題型的解題教學(xué)，是十分重要的方法，需要采用專項(xiàng)練習(xí)，幫助學(xué)生掌握一類解題方式，從而實(shí)現(xiàn)會一題通一類的效果.

以習(xí)題為載體開展的專題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生采用類比法，解決某些特定問題，以此提升解題效率.在專題訓(xùn)練中，教師要打破就題論題的格局，多給學(xué)生一些獨(dú)立思考的時間和空間，引導(dǎo)學(xué)生通過對相似或相關(guān)內(nèi)容的類比掌握解決此類問題的方法，并在解題的基礎(chǔ)上讓學(xué)生學(xué)會思考，學(xué)會學(xué)習(xí).

若想提高專題訓(xùn)練的效果，教師應(yīng)按照由淺入深的方式加以呈現(xiàn)，以此調(diào)動學(xué)生參與課堂的積極性.在解題教學(xué)的過程中，教師不要將方法和經(jīng)驗(yàn)直接呈現(xiàn)給學(xué)生，需要讓學(xué)生在解題時去感悟解決的過程、方法，以及解題時的靈感，促使學(xué)生有效發(fā)展思維能力.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂.正因?yàn)橛辛藬?shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的存在，數(shù)學(xué)知識變得更加系統(tǒng)、全面.本課中，先從形入手，確定解題思路，然后通過“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，高效地解決了問題.

總之，教師在設(shè)計(jì)專題時應(yīng)以學(xué)生的思維為起點(diǎn)，通過“低起點(diǎn)、小坡度”的問題逐層深入，讓學(xué)生在類比探究中積累解題經(jīng)驗(yàn)，掌握解決一類問題的方法，提高教學(xué)效率.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 黃悅軍.核心素養(yǎng)視角下初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)模式的構(gòu)建與實(shí)踐［J］.理科考試研究，2020（14）：30-33.

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［3］ 王榮華.核心素養(yǎng)視角下初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)策略［J］.福建教育學(xué)院學(xué)報，2021（8）：38-40.