數式結構貫代數

王琳琳

摘 要：代數問題占據了初中數學的半壁江山.但是代數問題往往結構多樣，形式多變，學生在處理問題時常常遇到困難.為了幫助學生更好地解決代數問題，教師在教學過程中要抓住數式結構這個關鍵，引導學生以此為解題的落腳點與突破點.

關鍵詞：代數；數式結構；解題教學

《義務教育數學課程標準（2022版）》增加了兩個代數基本事實，增加代數推理.將“數與代數”領域整合為“數與運算”“數量關系”兩個主題.史寧中教授認為數學基本思想無外乎抽象、推理、和模型思想.代數領域的抽象主要體現在用符號表示數、數量關系和變化規律.而推理建立在概念符號的基礎上，與幾何中的推理相比，代數中的推理則偏重計算，通過計算和推理比較數式，數量關系.“數量關系”通過式子表達，研究數式結構對于代數教學大有裨益，本文將結合專家講座淺談初中教學中如何充分利用數式結構指導代數教學.

1?教學觀點

在生長數學公益講壇中，諸士金老師指出從小學到初中數學學習的兩大困境：

“數系擴充和用字母表示數”

以此拋出第一個具體問題1：“3x+1怎么看”？

觀點1：從宏觀角度說，從數到式的結構化認識是對現實中數、數量以及數量關系的抽象.

觀點2：從動態和靜態觀點看，3x+1流動起來看是函數，是規律，3×1+1，3×2+1、…靜態結構可以看成AB結構+1可以看成A+B結構.

觀點3：套入不同的問題背景對應不同的問題，不同的角色，買東西，x是蘋果的個數，1是塑料袋的價格；出租車起步價1元，超過里程每公里3元……

觀點4：數量關系在數學的大家庭里能反映出位置關系，即數形結合.

觀點5：式結構除了可以看成代數式結構還有算式的結構如A+B，A=a×b一結構是一級運算，二結構是二級運算.

諸老師補充：數量及數量關系的抽象需要更多問題巨象化說明并緊接著拋出問題2：

“2x+3y=5怎么看？方程的式結構你怎么看”？

觀點1：A+B=5，A和B互為控制關系，x是y的函數，y也是x的函數，但若變為A²+B²=5，則A與B只互為控制關系，而非函數關系.

觀點3：式結構可以看成f（a）：從a開始，追求通透的數學理解，使其結構脈絡分明，不僅要知道結構的結點，也要關注建立不同式結構之間的關系、法則和思想方法，這是f.

諸老師總結：研究數的結構化特征是基于數感、符號感基礎上的抽象意識、推理意識（運算），而進入初中之后研究式的結構化特征是基于數結構特征的一般化研究，能更為系統全面地刻畫現實世界中的數量、數量關系及其變化的規律性，有利于發展學生的抽象能力，凸顯式結構的一般性特征.關注式結構的內在特征及其結構的演變，可以更好地在數學內部發展推理能力、運算能力，凸顯式結構發展性特征.

特級教師卜以樓接著作階段性總結：

從1開始，從1到a，一切從a開始，1是數字，a是字母，y=ax²，y=a（x+1）²…給數學以生命，它會給你無限精彩，把數學上成生命成長的課，那么學生不再是學數學，而是享受數學……

那么“式結構的教學怎么進行？”幾位老師以具體案例給出了答案.

案例1：以“字母表示數”為例

【例題】?（1） 框圖中五個數的和與中間的數有什么關系？這個結論有一般性嗎？

（2）圖中有這種位置關系的5個數的和是95，求這五個數.

（3） 在日歷表中你還能發現哪些規律？

（4） 你還能提出哪些問題？

這里可能提出下列問題：

問題1：在生活中，圖表可以表示什么？

問題2：在數學中，有用符號表示的例子么？舉例說明

問題3：你能將這些符號表述的例子分類么？

問題4：你怎么看待用字母表示數中的字母？

這里圖表其實對應的是數，第一次接觸的話，要讓學生體會用字母表示數的必要性，有一部分用字母表示數的意識和觀念，要提升為能力，首先必要性：第一很簡約，第二數字表示不完……而字母具有高度的抽象性，簡潔性，概括性……

接下來思考：① 字母和數有什么相同和不同之處？

學生可能舉例：3和a，3就是3，a可以3，-3，0……

② 求3的絕對值，-4的絕對值，a的絕對值呢？-a是負數么？……

③ 用式子表示加法（乘法）交換律……

在不斷的追問和應答中，培養學生用結構眼光看世界，發展學生抽象能力和歸納能力，形成從生活到數學的數學眼光，在定義和概念形成的過程中認識式結構.

專家總結：數學抽象包括三個階段（層次）：

簡約階段：將繁雜的實際問題簡單化、條理化，感受到可以借助圖（還不是圖形）或更簡單的文字清晰地表達.

如，面對一群跳來跳去的青蛙這一繁雜的事物，利用“一只青蛙一張嘴，兩只青蛙四條腿……”這樣很簡潔、有條理的文字表達，關注一只青蛙的嘴、眼、腿的關系.

符號階段（對應符號意識）：去掉具體的內容，利用概念、符號、關系表述已經簡約化的事物.如，可以借助數的概念、字母、符號建立青蛙的嘴、眼和腿的關系：嘴的數量是1，設眼的數量為a，腿的數量為b，則有a=1×2，b=1×4，

這樣的表達已經初步把事物關系的本質用數學來表征.

普適階段（對應模型思想）：建立一般法則，進行簡單推理，形成數學模型，解釋更多具體事物.如，對一只、兩只、三只……青蛙的嘴、眼和腿的關系，抽象形成n，2n，4n……這樣具有一般意義的數學模型.這三個階段構成一個從特殊到一般、從感性到理性、從現象到本質的抽象過程.

案例2：以“代數式的值”為例

問題1：代數式2x的實際意義是什么？

問題2：當x=-2，求代數式2x的值.

問題3：x還可以取哪些值？2x的值有什么變化？

問題4：所有代數式的值都會和2x值的變化一樣么？舉例說明

凡變化必有序，序是從無到有，是數學中的重要特征，對問題的排序，從無序到有序，問題及解決.

案例3：“用二元一次方程組解決問題”為例

用模型表達解問題，發展學生的應用意識和創新意識，促進學生用式、方程、不等式和函數等模型刻畫實際問題，在問題解決的過程中，創新策略、優化式結構.

問題1：你能舉例說明2x+3的實際意義么？你能求出x的值么？如果不能請你結合例子添加條件，求出x的值.

問題2：你能舉例說明方程x+3=4和2x=4的所刻畫的實際意義嗎？

（注：二元一次方程組中的x表示的是同一個量）

問題3：你能用符號語言表示上述方程的“式結構”么？

有了這些作基礎可以展開從方程到實際問題的追問1：你能舉例說明方程2x+3=4和2（x+3）=4的所刻畫的實際意義么？

再從實際問題到方程：例1：某一天菜場菠菜的價格為：青菜2元/千克，蒜苗4元/千克，結合上述信息便一道應用題，使所列方程為：2x+4（5-x）=12.

2?教學謀劃

方程是引導學生理解數式結構的好媒介，可以引導學生用不同符號來理解同一事物的具體數量，充分感受“算兩次”思想，感受不同的代數式可以表示同一數量的思想，感受代數式應用的廣泛性.

為了充分理解數式結構貫代數，我們可以對整個初中教學進行謀劃，比如：

某專賣店銷售核桃，其進價為40元/kg，按60元/kg出售，平均每天可售出100kg，后來經過市場調查發現，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20kg，若該專賣店銷售這種核桃想要平均每天獲利2240元，每千克核桃應降價多少元？……

2.1?在初中數學“大系統”中進行謀劃

七上“用字母表示數”

某專賣店銷售核桃，其進價為40元/kg，按60元/kg出售，平均每天可售出100kg，后來經過市場調查發現，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20kg，如果每千克降價x元，則每千克利潤為? ? ? ? ? ??元，銷售數量為? ? ? ? ? ? ??千克.

七下“整式的乘法——多項式乘以多項式”：

2.3?在初中數學“中系統”中進行謀劃

追問1：這個長方形面積能為25m²么？能為30m²？最大為多少？

追問2：總利潤能為2250么？總利潤能為3000元么？總利潤最大是多少元？

新課標對于《根與系數的關系》一節內容提出了更高的學習要求，尤其重視其代數推理過程，為了適應新課標，也為了讓學生通過觀察數式結構來思考解決問題方法，對于此課定理的形成過程教學設計和過程展示如下：

問題：方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，請猜想x₁+x₂、x₁·x₂與各項系數a、b、c之間有什么關系？

追問1：如何證明？你有哪些方法？

學生容易想到用求根公式將兩根表示出來再相加和相乘，化簡即得，不做過多贅述.

追問2：方程還可以寫成a（x-x₁）（x-x₂）=0，比較兩個方程，能否得到根與系數之間的關系？

一元二次方程的兩根式學生不熟悉，可以加入適當問題幫學生理解：

① 我們學習過因式分解解一元二次方程，方程的左邊可以寫成因式乘積的形式.

② 方程如果有一個根是x₁，則方程左邊應該有因式？（x-x₁）

③ 方程如果有一個根是x₁、x₂，則方程左邊應該有因式？（x-x₁）（x-x₂）

④ 一元二次方程一般式中二次項系數為a，但是上式展開二次項系數為1，怎么辦？（容易想到前面加a即可）

這樣就得到兩根式，這個過程的探索讓學生對于式結構的理解也大有裨益，不應直接忽略.

3?總結

研究數式結構可以把握數量之間的一般關系和規律.在經歷用數和字母表示數量，用代數式、方程表示數量關系，用運算和推理判斷數與代數式之間的大小關系三部曲后，學生對于代數中的核心要點：“符號”“表示”“運算推理”爛熟于心，運用自如.萬物是模型，式有千面終歸一；結在其間為關鍵，構出關系自生長.