多思維視角切入，多變式層面拓展

裴巧玲

摘 要：涉及圓錐曲線中的離心率的取值范圍（或最值）問題，往往是高考命題中比較常見的一種基本方式.借助一道模擬題的探究，就橢圓離心率的最值分析與求解，從不同思維視角切入加以分析與解決，合理變式與拓展，總結思路與技巧策略，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：圓錐曲線；離心率；橢圓；最小值；變式

離心率是圓錐曲線（這里主要指橢圓與雙曲線）中的主干知識和重點知識，關于求離心率值的范圍（或最值）問題具有很好的探究價值.這類問題往往注重高中各必備版塊知識的交點，注重數學思想和方法的綜合，使之成為各類考試的高頻考點之一.由于此類問題綜合性強，數學思維能力和數學運算能力要求高，學生在解題中普遍存在進入難、深入難、析出難這“三難”，成為各類數學試卷命題中的一個重點與難點.

1?問題呈現

4?教學啟示

4.1?思路總結，策略歸納

圓錐曲線（這里主要指橢圓與雙曲線）的離心率的取值范圍（或最值）問題是各類考試的熱點題型之一，對圓錐曲線中已知特征關系的轉化是解決此類問題的關鍵.以下三種思路是比較常見的求解策略：

（1） 利用圓錐曲線的定義、余弦定理或勾股定理，構造關于參數a，b，c的不等關系；

（2） 利用圓錐曲線的基本性質，如：通徑，三角形中的邊角關系，曲線上的點到焦點距離的取值范圍等，建立相應的不等關系；

（3） 利用幾何圖形中幾何量的大小，如：線段的長度、角的大小等，構造幾何度量之間的關系.

另外，對于雙曲線而言，有時還可以利用其漸近線的斜率比較來合理建立相應的不等關系等.

4.2?方向指導，思想引領

圓錐曲線（這里主要指橢圓與雙曲線）的離心率的取值范圍（或最值）問題可以概括為顯示約束條件和隱藏約束條件兩種題型，以“形”為主的解題的方向和以“數”為主的解題兩種解題方向，解不等式法和函數值域法兩種求解取值范圍（或最值）的方法.

離心率問題往往與平面向量、解三角形等知識結合，考查學生對圓錐曲線的基本知識（如定義、焦點三角形的性質等）、基本方法的理解和掌握，考查化歸與轉化、函數與方程、數形結合等數學思想的運用等.

另外，雙曲線的離心率是雙曲線一個非常重要的幾何性質.其求解方法涉及到解析幾何、代數運算等知識點，往往綜合性強，方法靈活，沒有固定的模式可套，如何根據題設條件找到切入點，構建含有離心率的關系式是解決這類問題的關鍵所在.

參考文獻：

［1］ 鄒慧妤.圓錐曲線的幾何性質在解題中的應用研究［J］.數理化解題研究，2023（34）：98-100.

［2］ 宋雅靜.高考數學圓錐曲線試題的解題方法研究［D］.寧夏師范學院，2023.