基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計
——以“空間向量及其運算(1)”為例

?江蘇省邗江中學(xué) 王瑞丁

1 學(xué)情及目標(biāo)分析

1.1 學(xué)情分析

學(xué)生在必修二中已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的相關(guān)概念及運算，但對于如何使用已知的一組基底表示平面內(nèi)的任意向量往往會有畏難情緒和思維障礙[1]，所以本節(jié)課要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，特別是在證明四點共面的問題上，教師在引導(dǎo)的過程中，要讓學(xué)生多參與、多思考、多交流，從而培養(yǎng)他們分析和解決問題的能力，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件.

1.2 目標(biāo)分析

(1)理解空間向量的相關(guān)定義，掌握空間向量的線性運算(重點).

(2)理解方向向量和共面向量的定義，通過類比平面向量共線的充要條件及平面向量基本定理，探究空間向量共線及共面的充要條件(難點).

(3)掌握空間中的“共線向量定理”及其應(yīng)用(重點).

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

春節(jié)期間，小明游覽廣州白云山(O)后，乘坐地鐵到花城廣場(A)觀賞珠江，然后抵達廣州塔(B)游玩，如圖1，小明的實際位移是什么？什么數(shù)學(xué)概念可以用來表示其位移過程？

圖1

小明如果還要登上廣州塔頂端(D)俯瞰廣州漂亮的景色，如圖2所示，那其實際位移是什么？該怎樣表示這個過程呢？

圖2

設(shè)計意圖：情境導(dǎo)入通過展示廣州白云山及珠江的圖片，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，既縮短了數(shù)學(xué)與生活的距離，又增強了民族自豪感.同時，教師引導(dǎo)學(xué)生通過平面向量知識類比學(xué)習(xí)空間向量，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)空間向量的加減法運算作鋪墊.

2.2 類比探究，揭示規(guī)律

思考1：基本概念的類比

平面向量中我們學(xué)習(xí)過哪些基本概念？類比平面向量所學(xué)的基本概念，是否同樣可以得到空間向量的基本概念？

平面向量空間向量定義既有大小又有方向的量平移自由向量,平移后不發(fā)生改變表示法幾何表示:→字母表示:a,AB→向量的模向量的大小a,AB→相等向量方向相同且長度相等相反向量方向相反且長度相等單位向量長度等于1個單位長度的向量零向量長度為0的向量

思考2：線性運算法則的類比

在平面向量中，我們學(xué)習(xí)了哪些運算法則？在空間向量中，這些運算法則是否適用？

平面向量空間向量加法運算三角形法則或平行四邊形法則減法運算三角形法則數(shù)乘運算ka(k為正數(shù)、負數(shù)、零)

思考3：運算律的類比

前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的哪些運算律？這些平面向量的運算律在空間向量中是否成立？

平面向量空間向量加法交換律a+b=b+a加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b)+c向量和實數(shù)的加法分配律λ(a+b)=λa+λb(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a

思考4：共線向量的類比

在平面向量中，我們學(xué)習(xí)了共線向量，那么對于空間向量，結(jié)論是否仍然成立？

探究1對任意兩個空間向量a，b，如果a=λb(λ∈R)，a與b有什么位置關(guān)系？反過來，a與b有什么位置關(guān)系時，a=λb？

探究2對平面內(nèi)任意兩個不共線向量a，b，由平面向量基本定理可知，這個平面的任意一個向量p可以寫成p=xa+yb，其中(x,y)是唯一確定的有序?qū)崝?shù)對.對兩個不共線的空間向量a，b，如果p=xa+yb，那么向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系？反過來，向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系時，p=xa+yb？

設(shè)計意圖：對于平面向量的知識脈絡(luò)，學(xué)生掌握得比較透徹，空間向量的知識體系與其具有高度的相似性，讓學(xué)生自己去閱讀、比較、辨別、思悟，從平面向量到空間向量，從二維到三維，體會概念的類比過程.通過深入類比，學(xué)生的思維逐步過渡到空間向量；通過概念辨析，加深學(xué)生對向量內(nèi)涵與外延的理解，突破重難點；通過歸納知識點和方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)類比、歸類、整理意識.

2.3 典型剖析，鞏固提升

例1在正方體ABCD-A′B′C′D′中：

例2已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′，化簡下列各式：

圖3

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解題，通過例題鞏固、理解空間向量基本概念，會用線性運算法則、共線定理解決實際問題.進一步讓學(xué)生體會空間向量在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算及邏輯推理核心素養(yǎng).

2.4 反思回顧，自主總結(jié)

(1)空間向量的基本概念.(2)空間向量的線性運算法則及運算律.(3)運算律.(4)共線向量：①定義；②方向向量；③共線定理.

結(jié)論1：空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一個平面內(nèi)的兩個向量.

結(jié)論2：三個不共面的向量的和等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體的體對角線所表示的向量.

設(shè)計意圖：系統(tǒng)梳理整節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.

2.5 課后作業(yè)

(1)(多選)下列命題，錯誤的是( ).

A.若a≠b，則|a|≠|(zhì)b|

B.若|a|>|b|，則a>b

C.若a=b，則||a|=|b|

D.若|a|=|b|，則a=b或a=-b

設(shè)計意圖：通過練習(xí)鞏固本節(jié)課所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

3 小結(jié)

教育心理學(xué)家奧蘇伯爾曾說過：“影響學(xué)生唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么.”[2]

本節(jié)課教師引導(dǎo)學(xué)生回憶平面向量的基本知識，在回憶舊知識的過程中，學(xué)生通過自行類比探究空間向量的新概念與知識；而在解決例題的過程中，學(xué)生需要使用線性運算法則、共線定理等，符合學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展順序.因此，本教學(xué)設(shè)計立足于學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、合作、探究、交流的過程，螺旋式培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象等核心素養(yǎng).